%De manière à ce que template latex ressemble au mieux au template word, on empêche latex de créer la page de titre et la créons à la main
%En taille de police 12, la commande \large donne une taille de police 14
%On utilise la commande \sffamily pour créer des caractères sans-serif
\begin{center}
\large\textbf{\sffamily TP N$^\circ H2$: Expérience de Schuster}\\%
\large\sffamily Groupe N$^\circ16$: Ancarola Raffaele, Cincotti Armando\\%
\large\sffamily\today\qquad Magrez Arnaud\\%
\end{center}
% Introduction
\section{Introduction}
Le rapport masse charge {\it q/m} pour une particule chargée, est une quantité physique utile en électrodynamique, notamment pour la déscription de la trajectoire prise par des particules chargées dans un champs éléctromagnétique.
Ce rapport est employé dans de nombreux domaines scientifiques dont il est possible de citer: la microscopie éléctronique, la physique des accélérateurs de particules, la physique nucléaire, la spectropsopie Auger et d'autres.
Dans le rapport qui suit, elle sera illustrée la procédure de détérmination du rapport {\it e/m}, c'est à dire du rapport charge masse d'un éléctron, en suivant le cadre de l'éxperience de Schuster.
La détermination de ce rapport par cette éxpérience, produite aussi par Thomson, a contribué d'entre autres, à la détérmination de la charge élémentaire {\it e} de l'éléctron par l'éxpérience Millikan conduite en 1909.
\section{Calculs analytiques et base théorique}
\section{Conditions et démarche expérimentale}
L'expérience de Schuster permet d'observer la trajectoire d'un flux d'électrons ayant une certaine vitesse initiale et soumis à un champ magnétique uniforme.
Le flux est observé dans une ampoule en verre, se trouvant entre deux bobine d'Hemoltz, que positionnées à une distance de leur rayon entre elles, permettent d'obtenir un champ magnétique uniforme entre les deux, la où se trouve l'ampoule. Le flux d'éléctron est éjécté dans l'ampoule par un champ éléctrique généré par un canon à éléctrons. Il est important de noter que le champs éléctrique n'intervient pas sur les éléctrons une fois éjéctés, ainsi il est possible de mieux exploiter les calculs analytiques étudiant ce système, car la trajectoire reste hélicoidale. La trajectoire deviendrait ellyptique autrement.
Soit le champ éléctrique que le champ magnétique sont pilotés réspéctivement par un générateur de tension ''Leybold'' et un générateur de courant ''Topward Electric''. L'expérimentateur peut au travers de cet apparéillage modifier directement la vitesse d'éjéction du flux d'éléctrons et l'intensité du champ magnétique.
Pour finir, l'expérimentateur dispose aussi d'un banc optique disposé parrallèlement aux bobines, grace auquel il peut être mésuré le diamètre du cercle à l'aide de fentes optique mobiles, permettant de cibler le flux d'éléctrons dans l'ampoule en verre.
Les grandeurs directement mésurable sont:
\begin{itemize}
\item Le diàmètre du cercle décrit par les éléctrons, par l'exploit du banc optique.
\item Le courant d'alimentation des bobine hemoltz, par un ampèromètre à aiguille.
\item La tension appliquée au canon à éléctrons, par un voltemètre à aigulle.
\item L'angle du plan du cercle par rapport à la verticale, par l'exploit d'un rapporteur se trouvant sous l'ampoule.
\end{itemize}
Il est important, pour pouvoir observer le flux dans l'ampoule, de travailler dans un salle de laboratoire sombre.
\paragraph{Montage}
Comme décrit dans le schéma en figure (...), pour l'expérience de Schuster est nécessaire de monter deux circuit distinct
Le premier alimentant les bobines de Hemoltz dans lequel un ampèremetre est inséré en série avec l'alimentation pour en mésurer le courant.
Le deuxième alimente le canon à éléctrons, un Voltmètre est connécté en parallèle à la sortie pour la mésuration de la tension.
\paragraph{Mésurations}
En faisant varier tension, courant et angle du plan du cercle, il est possible de récolter plusieures mésurations permettant ensuite l'éstimation du rapport charge masse de l'éléctron à travers les rélations (6) (10) (14) et (15). Dans la suite du document sera décrite chaque mésuration et cité l'équation utilisée pour l'éstimation du rapport.
\subsection{Observations}
\paragraph{Estimation de la contribution du champ magnétique terrestre}
L'intensité du champ magnétique terrestre est estimée à ${\it H_e} =36 A/m$. Le champ magnétique généré par les bobines de Hemoltz sous un courant minimal de 0.9 A estimé grace à la formule (), correspond à ${\it H_{min}} =574.86 A/m $. L'intensité du champ magnétique terrestre corréspond donc au 6.2\% de ce dernier.
%De plus on remarque grace à une boussole, que pour un tel courant l'aigulle est deviée seulement de $2^{\circ}$ par rapport au champ magnétique généré par les bobines sous ce courant, alors que sans l'action des bobine elle pointe à $30^{\circ}$ par rapport au plan des bobines.
Il faut ajouter que pour cette expérience une plage de courant allant de 1.6 A juqu'à 2.5 A a été choisi, et que donc l'action du champ magnétique terrestre est tout affait négligéable.
\paragraph{Variation du pas d'hélice}
Une fois allumé les deux circuit, l'ampoule est incliné pour faire apparaitre une trajectoire hélicoidale. En faisant varier l'angle d'inclinaison $ {\bf\theta}$, la tension d'alimentation du canon {\bf U} à éléctron et le courant {\bf I} d'alimentation des bobines, il est vérifié que le pas d'hélice change uniquement avec ${\it\theta}$ et {\it U}.
Il est ainsi vérifié que le pas d'hélice dépend uniquement de $v_p = v\cdot sin(\theta)$. En effet {\it v} dépend de {\it U} mais pas de {\it I} comme il est possible de voir dans la rélation (2).
\section{Résultats}
\subsection{Mésures}
Les plages de valeurs de {\bf U} et {\bf I} ont étées choisies pour obtenir des mésurations de meilleure qualitée, et de façon que le cercle décrit par les éléctrons puisse rester dans le diamètre de l'ampoule.
\paragraph{r=f(B)}
Une prémière mésuration corréspond à fixer trois tensions et, en faisant varier le courant, mésurer le rayon de la trajectoire circulaire.
Les mésurations et erreurs sur celles-cis sont illustrée dans la figure () et la table (1).
Dans ce cas l'ampoule à une inclinaison $\theta=0$ et le rayon est mésuré en cm.
\begin{table}
\caption{Mésurations du rayon en fonctions de I pour U fixe}
\center
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\bf{ U [V]}&$180 {\pm1}$&$200 {\pm1}$&$220 {\pm1}$\\
Á noter: dans la table (1) les premières mésurations pour les 200 V et les 220 V sont absentes, ceci parce-que pour ces valeures de $\frac {2U}{B^2}$ le dyamètre du cercle dépassait celui de l'ampoule, et donc aucun cercle apparaissait.
\paragraph{r=f(U)}
Une deuxième mésuration corréspond à fixer un courant et, en faisant varier la tension, mésurer le rayon de la trajectoire circulaire.
Les mésurations et erreurs sur celles-cis sont illustrée dans la figure () et la table (2).
Dans ce cas l'ampoule à une inclinaison $\theta=0$ et le rayon est mésuré en cm.
\begin{table}
\caption{Mésurations de r en fonction de U pour I fixe}
\center
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\bf{I [A]}&$2.25 {\pm0.025}$\\
\hline
\bf{U [V]}&\\
\hline
$180 {\pm1}$&$4.85 {\pm0.1}$\\
\hline
$190 {\pm1}$&$4.9 {\pm0.1}$\\
\hline
$200 {\pm1}$&$5.1 {\pm0.1}$\\
\hline
$210 {\pm1}$&$5.2 {\pm0.1}$\\
\hline
$220 {\pm1}$&$5.45 {\pm0.1}$\\
\hline
$230 {\pm1}$&$5.65 {\pm0.1}$\\
\hline
$240 {\pm1}$&$5.8 {\pm0.1}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
\subsection{Estimation du rapport e/m}
\paragraph{Traéctoire circulaire}
En introduisant les valeur mésurés dans la rélation (6), elles peuvent être obtenues quatre différentes éstimations du rapport {\it e/m}. (Table (3))
\begin{table}
\caption{Estimations de e/m pour une trajectoire circulaire}
\center
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
Conditions de mésurations &{\bf e/m} [C/kg]\\
\hline
U fixe à 180 V &$(5.99154 {\pm0.19})\cdot10^{10}$\\
\hline
U fixe à 200 V &$(5.2290 {\pm0.1})\cdot10^{10}$\\
\hline
U fixe à 220 V &$(4.93385 {\pm0.05})\cdot10^{10}$\\
\hline
I fixe à 2.25 A &$(4.6223 {\pm0.06})\cdot10^{10}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
\paragraph{Trajéctoire hélicoidale}
En créant un angle d'inclinaison non nul pour le plan du cercle, la trajectoire du flux d'éléctrons devient hélicoidale, et grace aux rélation () et () il est possible, en mésurant les rayons avant et après inclinaison, et en mésurant l'angle d'inclinaison, estimer {\it e/m} de deux façons différentes.(Table (4))
Les mésurations ont été éffectuées pour une tension $ U =240 V$ et un courant $ I =2.25 A$
\begin{table}
\caption{Estimations de e/m pour une trajectoire hélicoidale}
L'éstimation des différents erreurs à été faite de plusieures manière pour les différents types de valeurs.
Pour les valeurs mésurés, l'erreur est éstimée à 1/2 de l'écart minimum présent sur les instrument de mésurations. Dans le cas du rayon cet erreur est doublée car sont nécessaires deux mésurations.
Pour la propagation de l'erreur dans l'estimation de grandeurs dépendantes de valeurs sujettes à erreur, l'erreur est établie par la formule de l'erreur absolue.
TODO insérer formule erreur absolu.
Pour l'erreur sur les estimations provenant d'une série de mésures, il est pris l'écart quadratique moyen.
TODO insérér formule de l'écart quadratique moyen.
\section{Discussion des résultats}
La valeur tabulée du rapport charge masse de l'éléctron est $e/m =1.75882\cdot10^{11} C/kg $.
Les valeures estimées dans la table (3) sont plus petites d'un facteur 3 ou 3.5, cela montre la présence d'un grand nombre d'erreur cumulé sur plusieures mésuration. Les facteurs d'erreurs sont nombreux, à partir de ceux dus à l'incertitudes des mésurations, dont ces du rayon et du courant interviennent dans l'éstimation de {\it e/m} au carré, et sont donc à l'origine de la plus grande propagation d'erreur pour ce qui concerne le calcul du rapport.
Les mésurations de l'angle $\theta$ et du rayon {\it r} du cercle, font confiance à une éstimation '' à l'oeil '' de l'experimentateurs. Pour le rayon, qui est mésuré par l'utilisation d'un banc optique, l'erreur est grand. Si en effet l'experimentateur n'as pas l'abitude d'utiliser des tels instruments, il est facile de cumuler un grand erreur, et faut rémarquer qu'en plus les fentes optiques pouvaient pointer dans des directions différentes par rapport à la normale du plan du cercle. C'est donc probable que les fentes n'étaient pas pointées dans la même direction, ce qui pour une distance du cercle de plusieurs centimètre induit une certaine erreur.
En effet, si l'on considère une petite variation $d\phi\approx sin(\phi)$, un erreur de $2\cdot d\phi\cdot R/2$ (R est le rayon des bobines de Hemoltz employées) est à considérer sur la mésuration car les mésurations à faire sont deux.
L'erreur écrite dans la table (3) ne permet pas d'inclure la valeur tabulée de {\it e/m} car elle est plutôt une erreur sur la précision que sur l'éxactitude(accuracy), stimée sur une série de valeurs, et ne tiens donc pas en considération de la propagation de l'erreur
Pour les valeur éstimées dans la table (4) on remarque une incertitude plus grande que le 100\%, qui permet donc malgré elle, pour l'éstimation faite avec la rélation (6), d'inclure la valeur tabulée. En effet les discours faits sur la propagations de l'erreur de mésuration, est valable aussi pour ces valeurs, et cette incertitude en témoigne l'importance.
Dans le cas de l'éstimation de {\it e/m} par la rélation (15), une diminition d'ordre 10 de la valeur est enrégistrée. Ceci à cause du fait que l'erreur ce propage à travers les termes ${\it r_\theta}$ et ${\it r_0}$.
Pour finir, les mésurations sont biasées par la difficulté d'obtenir une salle de laboratoire assez sombre pour bien observer le flux d'éléctrons.
En effet cet éxpérience à été éffectuée un jour d'autaumne très soléillé, et les rideaux ne retenait pas toute la lumière venant de l'extérieur, ce qui provoquait l'apparitions de reflex indésirée sur l'ampoule, lesquels couvraient la faible lumière du flux.
V = \sqrt{2 U \frac{e}{m}}\approx 9.3776\cdot 10^6 m/s
\end{equation}
\paragraph{2)}
Par les rélation (12) et (13) on a
\begin{align}
l &= 2\pi\frac{mV}{eB}\sin{\theta}\approx 11.91 \: cm \\
r_\theta&= \frac{mV}{eB}\cos{\theta}\approx 3.28 \: cm
\end{align}
\section{Literature References}
References are cited in the text just by square brackets \cite{ref1}. %
Two or more references at a time may be put in one set of brackets \cite{ref1, ref2}. %
The references are to be numbered in the order in which they are cited in the text and are to be listed at the end of the contribution under a heading References, see our example below.
% Bibliographie
\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{ref1}
J. van der Geer, J.A.J. Hanraads, R.A. Lupton, \textit{The art of writing a scientific article}, J. Sci. Commun. \textbf{163} (2000) 51-59.
\bibitem{ref2}
W. Strunk Jr., E.B. White, The Elements of Style, third ed., Macmillan, New York, 1979.