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Fri, Jan 3, 15:58

rapport1.tex
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% debut d'un fichier latex standard
\documentclass[a4paper,9pt,twoside]{article}
% pour l'inclusion de figures en eps,pdf,jpg
\usepackage{graphicx}
% quelques symboles mathematiques en plus
\usepackage{amsmath}
% le tout en langue francaise
\usepackage[francais]{babel}
% on peut ecrire directement les caracteres avec l'accent
% a utiliser sur Linux/Windows
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
% a utiliser sur le Mac
%\usepackage[applemac]{inputenc}
% pour l'inclusion de links dans le document
\usepackage[colorlinks,bookmarks=false,linkcolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
% module pour les graphiques
\usepackage{tikz}
\usepackage{pgfplots}
% module pour positionner les images
\usepackage{float}
%\usepackage[bottom = 0.5in]{geometry}
\usepgfplotslibrary{external}
\pgfplotsset{width=12cm, compat=1.3}
\tikzexternalize
\paperheight=300mm
\paperwidth=210mm
\setlength{\textheight}{220mm}
\setlength{\topmargin}{-1.2cm} % pour centrer la page verticalement
%\setlength{\footskip}{5mm}
\setlength{\textwidth}{15cm}
\setlength{\oddsidemargin}{0.56cm}
\setlength{\evensidemargin}{0.56cm}
\pagestyle{plain}
% quelques abreviations utiles
\def \be {\begin{equation}}
\def \ee {\end{equation}}
\def \dd {{\rm d}}
\newcommand{\mail}[1]{{\href{mailto:#1}{#1}}}
\newcommand{\ftplink}[1]{{\href{ftp://#1}{#1}}}
%
% latex SqueletteRapport.tex % compile la source LaTeX
% xdvi SqueletteRapport.dvi & % visualise le resultat
% dvips -t a4 -o SqueletteRapport.ps SqueletteRapport % produit un PostScript
% ps2pdf SqueletteRapport.ps % convertit en pdf
% pdflatex SqueletteRapport.pdf % compile et produit un pdf
% ======= Le document commence ici ======
\begin{document}
% Le titre, l'auteur et la date
\title{Gravitation universelle et point de {\it Lagrange}}
\date{\today}
\author{Raffaele Ancarola\\{\small \mail{raffaele.ancarola@epfl.ch}}}
\maketitle
\tableofcontents % Table des matieres
% Quelques options pour les espacements entre lignes, l'identation
% des nouveaux paragraphes, et l'espacement entre paragraphes
\baselineskip=16pt
\parindent=15pt
\parskip=5pt
\section{Introduction} %------------------------------------------
Dans cet éxpérience on va simuler le comportement d'un corps lancé
en diréction de la lune. Pour ceux qui concèrnent les variables en jeux, on va considerer
la force gravitationelle de la terre et de la lune et il y aura aussi le
frottement visquex de l'atmosphère.
La première partie permet de calculer le point d'équilibre (ou point de
{\it Lagrange}) entre la terre et la lune, ou bien, où les attractions s'annullent
l'une par rapport à l'autre.
La deuxième partie concèrne l'étude de convérgence numérique par rapport au
{\it schema d'Euler} et les pas de temps choisi.
La simulation est exécuté par un programme écrit
en {\it C++}.
\section{Calcul de la position d'équilibre}
\subsection{Donnés}
\subsubsection{Constantes}
\begin{itemize}
\item Constante de gravitation universelle: $G = 6.674 \cdot 10^{-11} \frac{m^3}{kg \cdot s^2}$
\item Masse de la terre: $M_T = 5.972 \cdot 10^{24} kg$
\item Masse de la lune: $M_L = 7.342 \cdot 10^{22} kg$
\item Masse du corps: $m = 1000kg$
\item Position du centre de la terre: $z_T = 0 m$
\item Position du centre de la lune: $z_L = 3.844 \cdot 10^8 m$
\item Position à la surface de la terre: $z_0 = 6.378 \cdot 10^6 m$
\item Densité de l'air à la surface: $\rho_0 = 1.3 \frac{kg}{m^3}$
\item Coefficient de diminution de la densité de l'air: $\lambda = 10^4 m$
\item Constante de traînée aérodynamique: $C_x = 0.3$
\item Rayon du disque du corps: $R = 0.5m$
\end{itemize}
\subsubsection{Relations}
Soit $z(t)$ la position du corps au temps $t$.
L'attraction terrestre $F_T$ et de la lune $F_L$:
\begin{equation} \label{earth_g}
F_T(z) = - G \cdot \frac{m M_T}{z(t)}
\end{equation}
\begin{equation} \label{moon_g}
F_L(z) = G \cdot \frac{m M_L}{z_L - z(t)}
\end{equation}
La densité de l'air en fonction de l'hauteur $z - z_0$:
\begin{equation} \label{density}
\rho(z) = \rho_0 e^{-\frac{z - z_0}{\lambda}}
\end{equation}
La force de frottement visqueux de l'air:
\begin{equation} \label{friction}
F_f(z, V) = - \frac{1}{2} \pi C_x \rho(z) R^2 V^2
\end{equation}
Où $V$ est la vitesse du corps, donc $V = \frac{dz}{dt}$.
\subsection{Résultats analytiques}
Le but est de chercher d'abord la position d'équilibre du corps en admettant
qu'il est lancé à une vitesse $V_0$ depuis la surface de la terre, donc à la
position initielle $z_0$.
Pour calculer ce point on considère que la force totale agissant
doit être nulle en ce point $z_e$:
\begin{equation} \label{total_f}
F_{totale} = F_T(z_e) + F_L(z_e) + F_f(z_e) = 0
\end{equation}
En première approximation, on néglige le frottement de l'atmosphère, on obtien
alors:
\begin{equation} \label{equilibrium}
\begin{split}
F_T(z_e) = F_L(z_e) & \quad \leftrightarrow \quad \frac{M_T}{z_e^2} = \frac{M_L}{(z_L - z_e)^2} \\
(\frac{z_L}{z_e} - 1)^2 = \frac{M_L}{M_T} & \quad \leftrightarrow \quad \frac{z_L}{z_e} = \sqrt{\frac{M_L}{M_T}} + 1 \\
z_e = \frac{z_L}{\sqrt{\frac{M_L}{M_T}} + 1} & = 3.46 \cdot 10^8m
\end{split}
\end{equation}
On utilise à ce point là la consérvation de l'énergie pour trover $V_0$:
\begin{equation} \label{energy}
\begin{split}
& \frac{1}{2} m V_0^2 - G \frac{m M_T}{z_0} + G \frac{m M_L}{z_L - z_0} = - G \frac{m M_T}{z_e} + G \frac{m M_L}{z_L - z_e} \\
& V_0 = \sqrt{2G (M_T (\frac{1}{z_0} - \frac{1}{z_e}) + M_L (\frac{1}{z_L - z_e} - \frac{1}{z_L - z_0}))} = 1.1086 \cdot 10^4 \frac{m}{s}
\end{split}
\end{equation}
\section{Simulations}
Dans cette partie on va simuler le système en utilisant un {\it schema d'Euler}.
C'est-à-dire que la position $z$ et la vitesse $V$ sont déduits par cet
algorithme d'intégration numérique:
\begin{equation}
\begin{split}
& z_{n+1} = z_n + dt \cdot V_n \\
& V_{n+1} = V_n + dt \cdot a(t_n, z_n)
\end{split}
\end{equation}
Où $dt$ est le pas de temps, $z_n = z(n \cdot dt)$ et $V_n = V(n \cdot dt)$.
\subsection{Verification du point d'équilibre}
Il s'agit de verifier les résultats obtenues analytiquement dans la partie
précedente. On pose donc la position et vitesse initielle $z_0$ et $V_0$
réspectivement et on pose aussi le temps total de simulation à 24 heures.
En particulier, on va étudier l'évolution numérique des données
par rapport au variations de pas de temps $dt$ et les valeurs obtenues de
position et vitesse à la fin de la simulation.
Ce graphique montre ce qu'on obtien:
\begin{figure}[H]
\begin{tikzpicture}
\pgfplotsset
{
%scale only axis,
%scaled x ticks = base 10:2,
xmin = 0, xmax = 90,
height = 7cm
}
\begin{axis}
[
axis y line*= left,
xlabel={$dt \: [1000 \; s]$},
ylabel={$z \: [10^7 \; m]$},
ymin=0, ymax= 21,
ymajorgrids = true,
grid style = dashed,
]
\addplot[smooth, mark = square, blue]
coordinates {
(86.4, 9.153)
(43.2, 15.77)
(21.6, 18.37)
(10.8, 19.57)
(5.4, 20.14)
(2.7, 20.42)
};
\label{z_plot}
\addlegendentry{$z_{finale}$}
\end{axis}
\begin{axis}
[
axis y line*= right,
axis x line= none,
ymin = -12, ymax = 15,
ylabel ={$V \: [10^2 \; \frac{m}{s}]$}
]
\addlegendimage{/pgfplots/refstyle=z_plot}\addlegendentry{$z_{finale}$}
\addplot[smooth, mark =*, red]
coordinates {
(86.4, -10.61)
(43.2, 4.699)
(21.6, 9.450)
(10.8, 11.51)
(5.4, 12.47)
(2.7, 12.94)
};
\label{v_plot}
\addlegendentry{$V_{finale}$}
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{Position et vitesse à la fin de chaque simulation en fontion des pas de temps}
\end{figure}
On deduit que le schema d'euler converge pour ce sistème, mais très lentement.
\subsection{Frottement de l'air}
On applique le même proceder du point précedent, mais on ajoute le frottement
visqueux de l'atmosphère et on arrête la simulation à 10 seconds à la place de
24 heures. En effet, il s'agit ici d'étudier l'effet de la pesanteur combinée au frottement,
le tout simulé toujours par un {\it schema d'Euler}.
\begin{figure}[H]
\begin{tikzpicture}
\pgfplotsset
{
%scale only axis,
%scaled x ticks = base 10:2,
xmin = 0, xmax = 55,
height = 6cm
}
\begin{axis}
[
axis y line*= left,
xlabel={$dt \: [10^{-3} \; s]$},
ylabel={$z - z_0 \: [10^4 \; m]$},
ymin=3.2, ymax= 3.5,
ymajorgrids = true,
grid style = dashed,
]
\addplot[smooth, mark = square, blue]
coordinates {
(50, 3.310)
(25, 3.363)
(12.5, 3.388)
(6.25, 3.401)
(3.13, 3.407)
(1.56, 3.410)
};
\label{z_plot_i}
\addlegendentry{$z - z_0$}
\end{axis}
\begin{axis}
[
axis y line*= right,
axis x line= none,
ymin = 2.2, ymax = 2.5,
ylabel ={$V \: [10^3 \; \frac{m}{s}]$}
]
\addlegendimage{/pgfplots/refstyle=z_plot_i}\addlegendentry{$z - z_0$}
\addplot[smooth, mark =*, red]
coordinates {
(50, 2.348)
(25, 2.395)
(12.5, 2.419)
(6.25, 2.430)
(3.13, 2.436)
(1.56, 2.439)
};
\label{v_plot_i}
\addlegendentry{$V$}
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{Position et vitesse à la fin de chaque simulation en fontion des pas de temps}
\end{figure}
\end{document} %%%% THE END %%%%

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