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Mon, May 5, 07:05
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diff --git a/doc/manual/bibtex.bib b/doc/manual/bibtex.bib
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-
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Binary files /dev/null and b/doc/manual/figures/doc_wheel.pdf differ
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new file mode 100644
index 000000000..b2a8e5727
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+ id="tspan3072">Guillaume</tspan><tspan
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+ id="tspan3074">Shapes evaluation</tspan><tspan
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+ <text
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+ <text
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+ id="tspan3126">Structural Model</tspan></text>
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+ id="tspan3120">Srinivasa</tspan><tspan
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+ id="tspan3122">LibMultiScale</tspan></text>
+ <text
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+ style="font-size:21.99999994px;font-style:normal;font-variant:normal;font-weight:normal;font-stretch:normal;text-align:center;line-height:125%;letter-spacing:0px;word-spacing:0px;writing-mode:lr;text-anchor:middle;fill:#000000;fill-opacity:1;stroke:none;font-family:Sans;-inkscape-font-specification:Sans"
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+ id="tspan3114">Nicolas </tspan><tspan
+ sodipodi:role="line"
+ id="tspan3116">Implicit simulations</tspan><tspan
+ sodipodi:role="line"
+ id="tspan3118" /></text>
+ <text
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+ sodipodi:role="line"
+ id="tspan3070"
+ x="665.1781"
+ y="257.65851">laws</tspan></text>
+ <text
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+ style="font-size:22.00000012px;font-style:normal;font-variant:normal;font-weight:normal;font-stretch:normal;text-align:center;line-height:125%;letter-spacing:0px;word-spacing:0px;writing-mode:lr;text-anchor:middle;fill:#000000;fill-opacity:1;stroke:none;font-family:Sans;-inkscape-font-specification:Sans"
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+ id="tspan3078">Peter</tspan><tspan
+ sodipodi:role="line"
+ id="tspan3080">Adding an element</tspan></text>
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+ y="478.43958">Mohadeseh</tspan><tspan
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+ y="505.93958">Adding a constitutive</tspan><tspan
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+ id="tspan3112"
+ x="253.17754"
+ y="533.43958"> law</tspan></text>
+ <text
+ xml:space="preserve"
+ style="font-size:22.00000003px;font-style:normal;font-variant:normal;font-weight:normal;font-stretch:normal;text-align:center;line-height:125%;letter-spacing:0px;word-spacing:0px;writing-mode:lr;text-anchor:middle;fill:#000000;fill-opacity:1;stroke:none;font-family:Sans;-inkscape-font-specification:Sans"
+ x="461.99161"
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+ id="tspan3104">Marco</tspan><tspan
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+ id="tspan3106">Cohesive element</tspan></text>
+ <text
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+ style="font-size:22px;font-style:normal;font-variant:normal;font-weight:normal;font-stretch:normal;text-align:center;line-height:125%;letter-spacing:0px;word-spacing:0px;writing-mode:lr-tb;text-anchor:middle;fill:#000000;fill-opacity:1;stroke:none;font-family:Sans;-inkscape-font-specification:Sans"
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- { globaldict begin /?pdfmark /pop load def /pdfmark
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- {
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- { pop cairo_selectfont } if } bind def
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-%%EndProlog
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-Encoding 1 /uni0046 put
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- color_packet 0 get 0.299 mul
- color_packet 1 get 0.587 mul add
- color_packet 2 get 0.114 mul add
- cvi
- /gray_packet exch def
- compression 0 eq
- {
- /number_pixels 1 def
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- /number_pixels exch 1 add def
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- pixels 0 number_pixels getinterval
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- /offset exch 3 mul def
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- compression 0 eq
- {
- /number_pixels 3 def
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- currentfile byte readhexstring pop 0 get
- /number_pixels exch 1 add 3 mul def
- } ifelse
- 0 3 number_pixels 1 sub
- {
- pixels exch color_packet putinterval
- } for
- pixels 0 number_pixels getinterval
-} bind def
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- } ifelse
- } ifelse
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-2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b
-2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b2b1d00>
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-0.8 w
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-q 1 0 0 -1 0 128.037506 cm
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-q 1 0 0 -1 0 128.037506 cm
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-q 1 0 0 -1 0 128.037506 cm
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-0.8 w
-[ 1.6 1.6] 0 d
-q 1 0 0 -1 0 128.037506 cm
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-[] 0.0 d
-q 1 0 0 -1 0 128.037506 cm
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-16 0 0 16 39.575446 119.076569 Tm
-/f-0-0 1 Tf
-<01>Tj
-ET
-BT
-16 0 0 16 -1.453125 65.247992 Tm
-/f-0-0 1 Tf
-<02>Tj
-ET
-q 1 0 0 -1 0 128.037506 cm
-17.184 98.43 m 11.754 98.441 l 11.695 18.695 l 17.695 18.68 l S Q
-0.8 w
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-[ 1.6 1.6] 0 d
-q 1 0 0 -1 0 128.037506 cm
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-q 1 0 0 -1 0 128.037506 cm
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-[] 0.0 d
-q 1 0 0 -1 0 128.037506 cm
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-q 1 0 0 -1 0 128.037506 cm
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-q 1 0 0 -1 0 128.037506 cm
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-[] 0.0 d
-q 1 0 0 -1 0 128.037506 cm
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-q 1 0 0 -1 0 128.037506 cm
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-q 1 0 0 -1 0 128.037506 cm
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-q 1 0 0 -1 0 128.037506 cm
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-q 1 0 0 -1 0 128.037506 cm
-19.574 15.988 m 19.574 10.562 l 67.336 10.562 l 67.336 16.562 l S Q
-BT
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-ET
-BT
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-<02>Tj
-ET
-BT
-11.2 0 0 11.2 35.575446 1.476569 Tm
-/f-0-0 1 Tf
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-BT
-11.2 0 0 11.2 167.575446 1.476569 Tm
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-ET
-Q Q
-showpage
-%%Trailer
-count op_count sub {pop} repeat
-countdictstack dict_count sub {end} repeat
-cairo_eps_state restore
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index bb968b7e9..b86abb943 100644
--- a/doc/manual/manual.tex
+++ b/doc/manual/manual.tex
@@ -1,885 +1,911 @@
\documentclass[a4paper,11pt]{book}
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+\newcommand{\code}[1]{\texttt{#1}}
\newcommand{\note}[1]{\textbf{Note: }\textit{#1}}
-\newcommand{\todo}[1]{({\small\color{red}\textbf{TODO: }\textbf{#1}})}
+\newcommand{\todo}[1]{~({\small\color{red}\textbf{TODO: }\textbf{#1}})}
\bibliographystyle{plain}
\title{\textbf{\Huge AKANTU}\\
\vspace{0.5cm}
\textbf{\huge User's Guide}\\
\vspace{1cm}
{\small \today{} --- Version \version}
}
\date{}
\makeindex
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\chapter{Introduction}
-\section{Data structures\label{chap:data-structure}}
+% \section{Data structures\label{chap:data-structure}}
-\subsection{Vectors\label{sec:vectors}}
+% \subsection{Vectors\label{sec:vectors}}
-The Vector class is a template class that can store scalar types as Real, UInt,
-Int or bool. A Vector instance is defined by its size and its number of
-component. It also has an identifier and some extra internal variables for
-memory handling purpose.
+% The Vector class is a template class that can store scalar types as Real, UInt,
+% Int or bool. A Vector instance is defined by its size and its number of
+% component. It also has an identifier and some extra internal variables for
+% memory handling purpose.
-\begin{itemize}
-\item The size is the number of tupels stored in the Vector.
-\item The number of component is the number of values stored for each tuple.
-\end{itemize}
+% \begin{itemize}
+% \item The size is the number of tupels stored in the Vector.
+% \item The number of component is the number of values stored for each tuple.
+% \end{itemize}
-\begin{figure}[!htb]
- \centering
- \includegraphics{figures/vectors}
- \caption{View of a Vector of size n and c compenents, (a) representation of
- the vector, (b) representation of the storage of the same Vector.}
- \label{fig:vectors}
-\end{figure}
+% \begin{figure}[!htb]
+% \centering
+% \includegraphics{figures/vectors}
+% \caption{View of a Vector of size n and c compenents, (a) representation of
+% the vector, (b) representation of the storage of the same Vector.}
+% \label{fig:vectors}
+% \end{figure}
+
+% All the data are linerarized in memory in an array called values. This class
+% member is public. So for a Vector of size $n$ and $c$ component, to access the
+% $j^{th}$ component of th $i^{th}$ tuple, you have to get $values[i * c +
+% j]$. You can also access to this value with accessor \code{at(i, j)} or the
+% constant accessor \code{get(i, j)}.
+
+% If you want to store a matrix on each tuple you have to linearize it. For
+% exemple if you want to store a m * k matrix on each tuple you must specify c = m
+% * k. To access a particular value in a matrix of a tuple you will have to do
+% something like $values[ i * m * k + j_i * m + j_j]$.
+
+% \subsubsection{Vector storage convention within FE object\label{sec:FE-convention}}
+
+% The point of this section is to describe the convention of storage for vectors
+% intented to be passed to {\bf FE} object methods. Indeed a convention of
+% necessary since gradient operators or integrtaion loops will use vectors as
+% input and ouput. Such vectors will be ordered with a specific convention that
+% we intend to describe now.
+
+% For vector objects, the size of the vector is always the number of nodes
+% associated. The number of components is related to the order of the tensor
+% considered. For a scalar field it is 1, for a vectorial field, the size of the
+% vector is the number of components. For a $m\times n$ matrix field the number of
+% components is $m\times n$.
+
+% One common operation is the manipulation of continuum fields at the quadrature
+% point positions. Here the size of the vector is $mn\_element \times
+% nb\_quad\_points$ and the number of components is related to the stored
+% object. For instance the method \verb$interpolateOnQuadraturePoints()$ take a
+% nodal field stored in a vector($n\_nodes$,$dim$) and return a vector($n\_elem
+% \times n\_quads$,$dim$).
+
+% Basic gradient operations, like method \verb$gradientOnQuadraturePoints()$, will
+% take as input a vector($n\_nodes$,$dim$) and return a vector($n\_elem \times
+% n\_quads$,$dim \times spatial\_dimension$) where spatial dimension is the number
+% of dimension in which the domain is embedded.
+
+% In the same way the integration routines expect vector($n\_elem \times
+% n\_quads$,$dim$) and will return vector($n\_elem$,$dim$). For non-Gaussian
+% integrations, the input by be direction a nodal field. (At present time, only
+% gaussian integrators are implemented within akantu).
+
+% Last but not the least is the vectorial assembly process for which accept as
+% input vector($n\_elem \times n\_quads \times n\_nodes\_per\_element$,$dim$)
+% and will return a vector($n\_nodes$,$dim$) nodal object.\\
+
+% {\bf The general convention is that the number of component shall always be the
+% size of the object manipulated at the lowest level. The object could be a
+% per-element, of per quadrature point or even per node basis this will also
+% apply as shown below. The figures \ref{fig:vector-chain} and
+% \ref{fig:interpolate-storage} shows the pattern of the vectors is the case a
+% interpolation on quadrature points.}
+
+% \begin{figure}
+% \begin{equation}
+% \left(
+% \begin{array}{c}
+% N_1 \\
+% \vdots \\
+% N_I
+% \left\{
+% \begin{array}{c}
+% a_1 \\
+% \vdots \\
+% a_{dim} \\
+% \end{array}
+% \right. \\
+% \vdots \\
+% N_{nb\_nodes}
+% \end{array}
+% \right)
+% \begin{array}{c}
+% \Longrightarrow \\
+% interpolate\\
+% On\\
+% Quadrature\\
+% Points\\
+% \end{array}
+% \left(
+% \begin{array}{c}
+% E_1 \\
+% \vdots \\
+% E_e
+% \left\{
+% \begin{array}{c}
+% q_1 \\
+% \vdots \\
+% \left.
+% \begin{array}{c}
+% a_1 \\
+% \vdots \\
+% a_{dim}
+% \end{array}
+% \right\} q_i \\
+% \vdots \\
+% q_p \\
+% \end{array}
+% \right. \\
+% \vdots \\
+% E_{nb\_elements}
+% \end{array}
+% \right)
+% \end{equation}
+% \caption{\label{fig:vector-chain}Pattern of vectors manipulated during
+% interpolation on quadrature points. Symbols N (resp. E, q) denotes nodes
+% (resp. elements, quadrature points).}
+% \end{figure}
+
+% \begin{figure}[!htb]
+% \centering
+% \includegraphics[width=\textwidth]{figures/interpolate}
+% \caption{Input and output vector of interpolateOnQuadraturePoints. The output
+% Vector has nb\_quadrature\_points tuples, the quadrature points are grouped
+% by elements (p is the number of quadrature points per element).}
+% \label{fig:interpolate-storage}
+% \end{figure}
+
+\chapter{Planning}
-All the data are linerarized in memory in an array called values. This class
-member is public. So for a Vector of size $n$ and $c$ component, to access the
-$j^{th}$ component of th $i^{th}$ tuple, you have to get $values[i * c +
-j]$. You can also access to this value with accessor \code{at(i, j)} or the
-constant accessor \code{get(i, j)}.
-
-If you want to store a matrix on each tuple you have to linearize it. For
-exemple if you want to store a m * k matrix on each tuple you must specify c = m
-* k. To access a particular value in a matrix of a tuple you will have to do
-something like $values[ i * m * k + j_i * m + j_j]$.
-
-\subsubsection{Vector storage convention within FE object\label{sec:FE-convention}}
-
-The point of this section is to describe the convention of storage for vectors
-intented to be passed to {\bf FE} object methods. Indeed a convention of
-necessary since gradient operators or integrtaion loops will use vectors as
-input and ouput. Such vectors will be ordered with a specific convention that
-we intend to describe now.
-
-For vector objects, the size of the vector is always the number of nodes
-associated. The number of components is related to the order of the tensor
-considered. For a scalar field it is 1, for a vectorial field, the size of the
-vector is the number of components. For a $m\times n$ matrix field the number of
-components is $m\times n$.
-
-One common operation is the manipulation of continuum fields at the quadrature
-point positions. Here the size of the vector is $mn\_element \times
-nb\_quad\_points$ and the number of components is related to the stored
-object. For instance the method \verb$interpolateOnQuadraturePoints()$ take a
-nodal field stored in a vector($n\_nodes$,$dim$) and return a vector($n\_elem
-\times n\_quads$,$dim$).
-
-Basic gradient operations, like method \verb$gradientOnQuadraturePoints()$, will
-take as input a vector($n\_nodes$,$dim$) and return a vector($n\_elem \times
-n\_quads$,$dim \times spatial\_dimension$) where spatial dimension is the number
-of dimension in which the domain is embedded.
-
-In the same way the integration routines expect vector($n\_elem \times
-n\_quads$,$dim$) and will return vector($n\_elem$,$dim$). For non-Gaussian
-integrations, the input by be direction a nodal field. (At present time, only
-gaussian integrators are implemented within akantu).
-
-Last but not the least is the vectorial assembly process for which accept as
-input vector($n\_elem \times n\_quads \times n\_nodes\_per\_element$,$dim$)
-and will return a vector($n\_nodes$,$dim$) nodal object.\\
-
-{\bf The general convention is that the number of component shall always be the
- size of the object manipulated at the lowest level. The object could be a
- per-element, of per quadrature point or even per node basis this will also
- apply as shown below. The figures \ref{fig:vector-chain} and
- \ref{fig:interpolate-storage} shows the pattern of the vectors is the case a
- interpolation on quadrature points.}
-
-\begin{figure}
- \begin{equation}
- \left(
- \begin{array}{c}
- N_1 \\
- \vdots \\
- N_I
- \left\{
- \begin{array}{c}
- a_1 \\
- \vdots \\
- a_{dim} \\
- \end{array}
- \right. \\
- \vdots \\
- N_{nb\_nodes}
- \end{array}
- \right)
- \begin{array}{c}
- \Longrightarrow \\
- interpolate\\
- On\\
- Quadrature\\
- Points\\
- \end{array}
- \left(
- \begin{array}{c}
- E_1 \\
- \vdots \\
- E_e
- \left\{
- \begin{array}{c}
- q_1 \\
- \vdots \\
- \left.
- \begin{array}{c}
- a_1 \\
- \vdots \\
- a_{dim}
- \end{array}
- \right\} q_i \\
- \vdots \\
- q_p \\
- \end{array}
- \right. \\
- \vdots \\
- E_{nb\_elements}
- \end{array}
- \right)
- \end{equation}
- \caption{\label{fig:vector-chain}Pattern of vectors manipulated during
- interpolation on quadrature points. Symbols N (resp. E, q) denotes nodes
- (resp. elements, quadrature points).}
-\end{figure}
+\begin{description}
+\item[03/12/12] Cyprien: Explicit time integration scheme
+\item[03/29/12] Aur\'elia: Boundary conditions
+\item[04/13/12] L\'eonardo: Existing constitutive laws
+\item[04/20/12] Mohadeseh: Adding a constitutive law
+\item[04/27/12] Peter: Adding an element
+\item[05/04/12] Till: Structural mechanics model
+\item[05/11/12] Guillaume: Heat transfer model
+\item[05/18/12] Marco: Cohesive elements
+\item[05/25/12] Alejandro: Contact detection
+\item[06/01/12] David: Contact resolution
+\end{description}
\begin{figure}[!htb]
\centering
- \includegraphics[width=\textwidth]{figures/interpolate}
- \caption{Input and output vector of interpolateOnQuadraturePoints. The output
- Vector has nb\_quadrature\_points tuples, the quadrature points are grouped
- by elements (p is the number of quadrature points per element).}
- \label{fig:interpolate-storage}
+ \includegraphics[width=\linewidth]{figures/doc_wheel}
+ \caption{Documentation wheel\label{fig:doc_wheel}}
\end{figure}
-\chapter{How to use Akantu}
-\section{Getting start}
+\chapter{How to use \akantu}
+\section{Getting started}
\subsection{Downloading the code}
-SVN URL to get akantu :
+SVN URL to get \akantu :
\begin{command}
> svn co svn+ssh://username@intranet-lsms.epfl.ch/space/repositories/SimulPack/akantu/trunk akantu
\end{command}
-\subsection{Compiling akantu}
+\subsection{Compiling \akantu}
\begin{command}
> mkdir build
> cd build
> ccmake <path to akantu sources>
\end{command}
-Set the option that you need
+Set the options that you need
\begin{command}
> make
> make install
\end{command}
\section{Solid Mechanics model\index{SolidMechanicsModel}}
-The solid mechanics model is a specific implementation of the model interface
-dedicated to handle the equation of motion. The model is instantiated for a
-given mesh. It will create his own \code{FEM} object to do the interpolation,
-gradient, integration and assembly operations. A solid mechanics model can
-simply be instantiated like this.
+The solid mechanics model is a specific implementation of the \code{Model}
+interface dedicated to handle the equation of motion. The model is instantiated
+for a given mesh. It will create its own \code{FEM} object to do the
+interpolation, gradient, integration and assembly operations. A solid mechanics
+model can simply be instantiated like this:
\begin{cpp}
SolidMechanicsModel model(mesh, spatial_dimension);
\end{cpp}
-This model contain \code{Vectors} that we will describe now.
+This model contains \code{Vectors} that will be described in the following.
\begin{description}
\item[Boundary] contains a boolean value for each degree of freedom specifying
- if it is blocked or not. If it is blocked a Dirichlet boundary condition is
- prescribed, other why a Neumann boundary condition can be imposed.
+ whether it is blocked or not. if it is blocked a Dirichlet boundary condition
+ is prescribed, otherwise a Neumann boundary condition can be imposed.
\item[Displacement] contains the displacements of the degrees of freedom. It can
- be either a computed displacement for free degrees of freedom or an imposed
- displacement in case blocked ones.
-\item[Velocity] contains the velocities of the degrees of freedoms, as for the
- \textbf{Displacement} it can be computed or imposed velocities depending on
+ be either a computed displacement for free degrees of freedom or an imposed
+ displacement in case of blocked ones.
+\item[Velocity] contains the velocities of the degrees of freedoms. As the
+ \textbf{Displacement}, it contain computed or imposed velocities depending on
the nature of the degrees of freedoms.
-\item[Acceleration] contains the accelerations of the degree of freedoms, as for
- the \textbf{Displacement} it can be computed or imposed velocities depending
+\item[Acceleration] contains the accelerations of the degree of freedoms. As the
+ \textbf{Displacement}, it contain computed or imposed accelerations depending
on the nature of the degrees of freedoms.
\item[Force] contains the external forces applied on the nodes.
-\item[Residual] contains the difference between external and internal forces. On
+\item[Residual] contains the difference between external and internal forces. On
blocked degrees of freedom, \textbf{Residual} contains the support reactions.
\end{description}
-We will present how to use this model in more details through some examples.
-
-\subsection{Set up a model}
-\subsubsection{Create and load a mesh\label{sect:common:mesh}}
+Some examples for understanding how to use this model will be presented in the
+following.
+\subsection{Model setup}
+\subsubsection{Creating and loading a mesh\label{sect:common:mesh}}
\begin{cpp}
UInt spatial_dimension = 2;
Mesh mesh(spatial_dimension);
MeshIOMSH mesh_io;
mesh_io.read("square.msh", mesh);
\end{cpp}
-\subsubsection{Set initial conditions \label{sect:smm:initial_condition}\todo{Aur\'elia}}
-\subsubsection{Set boundary conditions\label{sect:smm:boundary} \todo{Aur\'elia}}
+\subsubsection{Setting initial conditions \label{sect:smm:initial_condition}
+ \todo{Aur\'elia}}
+\subsubsection{Seting boundary conditions\label{sect:smm:boundary}
+ \todo{Aur\'elia}}
\begin{cpp}
const Vector<Real> & position = mesh.getNodes();
Vector<bool> & boundary = model.getBoundary();
Vector<Real> & displacment = model.getDisplacement();
for (UInt n = 0; n < nb_nodes; ++n) {
if(position(n,0) < Math::getTolerance()) boundary(n,0) = true;
if(position(n,1) < Math::getTolerance()) boundary(n,1) = true;
if(std::abs(position(n,0) - bar_length) < Math::getTolerance()) {
boundary(n,0) = true;
displacment(n,0) = 0.1;
}
}
\end{cpp}
-This conditions put the left and bottom side on rollers
+These conditions put the left and bottom side on rollers.
+
-\subsection{Static Resolutions\label{sect:smm:static}}
+\subsection{Static resolving\label{sect:smm:static}}
-The \code{SolidMechanicsModel} class can handle different method of resolutions,
-the first one that we will present is the static case. In this case the equation
-to solve is the following,
+The \code{SolidMechanicsModel} class can handle different methods of resolution,
+the first one that will be presented is the static case. In this case, the
+equation to solve is as following,
\begin{equation}\label{eqn:smm:static}
K u = f_{ext}
\end{equation}
-with $K$ the stiffness matrix, $u$ the displacement and $f_{ext}$ the external
+where $K$ is the stiffness matrix, $u$ the displacement and $f_{ext}$ the external
forces applied to the system.
-To solve such a problem we will use the static solver of the
-\code{SolidMechanicsModel}\index{SolidMechanicsModel} object. To do this we must
-first instantiate a model and initialize it. To create the model we need a mesh
-that can be read from a file as explained in section
-\ref{sect:common:mesh}. Once we have an instance of a \code{SolidMechanicsModel}
-we need to initialize it, to do so the easiest way is to use the
+To solve such a problem the static solver of the
+\code{SolidMechanicsModel}\index{SolidMechanicsModel} object is used. First a
+model has to be instantiates and initialized. To create the model, a mesh that
+can be read from a file is needed, as explained in section
+\ref{sect:common:mesh}. Once an instance of a \code{SolidMechanicsModel} is
+instantiated, the easiest way to initialize it is to use the
initFull\index{SolidMechanicsModel!initFull} function by giving a material file
containing the material parameters, and by specifying the good flags. The first
-flag define if we want to use a implicit or explicit time scheme. It has no
-importance in this example. The second flag define if we are interested in
-solving a dynamic problem. In our case we should set it to \code{false} to
+flag defines if we want to use an implicit or explicit time scheme. It has no
+importance in this example. The second flag defines if we are interested in
+solving a dynamic problem. In our case, we should set it to \code{false} to
select a static problem.
\begin{cpp}
SolidMechanicsModel model(mesh);
model.initFull("material.dat", true, false);
\end{cpp}
-Once the model is created and initialized we can set the boundary conditions as
-explained in the section \ref{sect:smm:boundary}. The boundary condition will
-prescribe the external forces for the free degrees of freedoms $f_{ext}$ and the
-displacement for the others. To completely define the system represented in
-equation (\ref{eqn:smm:static}) we must compute the stiffness matrix
-$K$. \index{SolidMechanicsModel!assembleStiffnessMatrix}
+Once the model is created and initialized we can set the boundary conditions can
+be set as explained in section \ref{sect:smm:boundary}. The boundary condition
+will prescribe the external forces for the free degrees of freedoms $f_{ext}$
+and the displacement for the others. To completely define the system
+represented in equation (\ref{eqn:smm:static}), we must compute the stiffness
+matrix $K$. \index{SolidMechanicsModel!assembleStiffnessMatrix}
\begin{cpp}
model.assembleStiffnessMatrix();
\end{cpp}
-In fact to find the equilibrium we modify slightly the equation
-\ref{eq:smm:static} in order to apply a Newton-Raphson convergence algorithm.
+In fact, to find the equilibrium we modify slightly the equation
+(\ref{eqn:smm:static}) in order to apply a Newton-Raphson convergence algorithm.
\begin{eqnarray}\label{eq:smm:static-newton-raphson}
K^{i+1} \delta u^{i+1} &=& r = f_{ext} - f_{int} = f_{ext} - K^{i} u^{i}\\
u^{i+1} &=& u^{i} + \delta u^{i+1}
\end{eqnarray}
-In the Newton-Raphson iteration we update $K$ according to the displacement
+In the Newton-Raphson iteration, we update $K$ according to the displacement
computed at the previous iteration and we loop until the forces are balanced,
-that is to say $r = 0$. To do this we have to evaluate $r$ and then solve the
+that is to say $r = 0$. To do this, we have to evaluate $r$ and then solve the
system.\index{SolidMechanicsModel!updateResidual}
\index{SolidMechanicsModel!solveStatic}
\begin{cpp}
model.updateResidual();
model.solveStatic();
\end{cpp}
In an elastic case the solution is directly found at the first iteration. But
-for non elastic case we need to iterate as long as the residual is not null.
+for non elastic case, we need to iterate as long as the norm of the residual is
+not zero.
\begin{cpp}
Real norm;
UInt count = 0;
model.updateResidual();
while(!model.testConvergenceResidual(1e-3, norm) && (count < 100)) {
if (prank == 0)
std::cout << "Iter : " << ++count
<< " - residual norm : "
<< norm << std::endl;
model.solveStatic();
model.updateResidual();
};
\end{cpp}
-At the end of the resolution the final solution is contained in the
-\code{displacement} vector.
-
-A full example of how to resolve a static problem is presented in the code
-\code{example/manuel/implicit\_static.cc}. This example is composed of a 2D
-plate of steel blocked with rollers on left and bottom sides as shown on figure
-\ref{fig:smm:static}. The nodes from the right side of the sample are displaced
-from $0.01\%$.
+At the end of the resolution the final solution is stored in the
+\code{displacement} vector. A full example of how to resolve a static problem
+is presented in the code \code{example/manuel/implicit\_static.cc}. This
+example is composed of a 2D plate of steel, blocked with rollers on left and
+bottom sides as shown in figure \ref{fig:smm:static}. The nodes from the right
+side of the sample are displaced from $0.01\%$ of the length.
\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics{figures/implicit_static}
\caption{Numerical setup\label{fig:smm:static}}
\end{figure}
-\subsection{Dynamic resolutions}
+\subsection{Dynamic methods}
-In the solid mechanics model different way to solve the equation of motion are
-implemented. The equations to solve is
+Different ways to solve the equation of motion are implemented in the solid
+mechanics model. The complete equations that should be solved is
\begin{equation}\label{eqn:equation-motion}
-M\ddot{u} + C\dot{u} + Ku = f_{ext} -f_{int} = q
+M\ddot{u} + C\dot{u} + Ku = f_{ext} -f_{int} = r
\end{equation}
-where $M$, $C$ and $K$ are respectively the mass, damping and stiffness
-matrices.
+where $M$, $C$ and $K$ are the mass, damping and stiffness matrices
+respectively.
-In the previous section we already explained how to solve this equation in the
+In the previous section, we already explained how to solve this equation in the
static case where $\ddot{u} = \dot{u} = 0$. Here we will explain how to solve
-this equation in the general case. For this we must add a time
-discretization. The most common is the Newmark method, which is the default one
-in Akantu.
+this equation in the general case. To reach this purpose, a time discretization
+should be added. The most common discretization method in solid mechanics is the
+Newmark-$\beta$ method, which is the default one in \akantu.
-For the Newmark method the equation (\ref{eqn:equation-motion}) become the system
-of three equations (see \cite{curnier92a}
-\cite{hughes-83a} for more detail):
+For the Newmark-$\beta$ method, equation (\ref{eqn:equation-motion}) becomes a
+system of three equations (see \cite{curnier92a} \cite{hughes-83a} for more
+detail):
\begin{eqnarray}
M \ddot{u}_{n+1} + C \dot{u}_{n+1} + K u_{n+1} &=&
- q_{n+1} \label{eqn:equation-motion-discret} \\
+ r_{n+1} \label{eqn:equation-motion-discret} \\
u_{n+1} &=& u_{n} + (1 - \alpha) \Delta t \dot{u}_{n} + \alpha \Delta t
\dot{u}_{n+1} + (1/2 - \alpha) \Delta t^2
\ddot{u}_n \label{eqn:finite-difference-1}\\
\dot{u}_{n+1} &=& \dot{u}_{n} + (1 - \beta) \Delta t \ddot{u}_{n} + \beta
\Delta t \ddot{u}_{n+1}\label{eqn:finite-difference-2}
\end{eqnarray}
In this new equations, $\ddot{u}_n$, $\dot{u}_n$ and $u_n$ are the
-approximations of $\ddot{u}(t_n)$, $\dot{u}(t_n)$ and $u(t_n)$. The equation
-(\ref{eqn:equation-motion-discret}) is the equation of motion in term of
-approximate solutions and (\ref{eqn:finite-difference-1}) and
-(\ref{eqn:finite-difference-2}) are the finite difference formulas describing the
-evolution of the approximate solutions. The $\alpha$ and $\beta$ parameters
+approximations of $\ddot{u}(t_n)$, $\dot{u}(t_n)$ and $u(t_n)$. Equation
+(\ref{eqn:equation-motion-discret}) is the equation of motion in terms of
+approximate solution and the equations (\ref{eqn:finite-difference-1}) and
+(\ref{eqn:finite-difference-2}) are the finite difference formulas describing
+the evolution of the approximate solutions. The $\alpha$ and $\beta$ parameters
determine the stability and the accuracy of the algorithm. Classical values for
$\alpha$ and $\beta$ are usually $\beta = 1/2$ for no numerical damping and $0 <
\alpha < 1/2$.
\begin{center}
\begin{tabular}{c|l}
$\alpha$ & Methode ($\beta = 1/2$)\\
\hline
$0$ & central difference\\
$1/6$ & Fox-Goodwin (royal road)\\
$1/3$ & Linear acceleration\\
- $1/2$ & Average acceleration(trapezoidal rule)
+ $1/2$ & Average acceleration (trapezoidal rule)
\end{tabular}
\end{center}
-To be able to solve this system of equation the equation
+To be able to solve this system of equations, equations
(\ref{eqn:equation-motion-discret})-(\ref{eqn:finite-difference-2}) should be
-split in a predictor-corrector system of equation. Moreover in the case of
-non-linear equation, as for the static case, we apply a iterative algorithm such
-as the Newton-Raphson method. With this conditions the sytem of equation can be
-wrote as:
-
+split in a predictor-corrector system of equations. Moreover, in the case of a
+non-linear equation as for the static case, an iterative algorithm such as the
+Newton-Raphson method is applied. Respecting these conditions, the system of
+equation can be written as:
\noindent\textit{Predictor:}
\begin{eqnarray}
- u^{0}_{n+1} &=& u_{n} + \Delta t \dot{u}_n + \frac{\Delta t^2}{2} \ddot{u}_n \\
+ u^{0}_{n+1} &=& u_{n} + \Delta t \dot{u}_n + \frac{\Delta t^2}{2} \ddot{u}_n
+ \\
\dot{u}^{0}_{n+1} &=& \dot{u}_{n} + \Delta t \ddot{u}_{n} \\
\ddot{u}^{0}_{n+1} &=& \ddot{u}_{n}
\end{eqnarray}
\noindent\textit{Solve:}
\begin{eqnarray}
- (c M + d C + e K^i_{n+1}) w = q_{n+1} - f^i_{int~n+1} - C \dot{u}^i_{n+1} - M \ddot{u}^i_{n+1}
+ (c M + d C + e K^i_{n+1}) w = f_{ext~n+1} - f^i_{int~n+1} - C \dot{u}^i_{n+1} -
+ M \ddot{u}^i_{n+1}
\end{eqnarray}
\noindent\textit{Corrector:}
\begin{eqnarray}
\ddot{u}^{i+1}_{n+1} &=& \ddot{u}^{i}_{n+1} + c w \\
\dot{u}^{i+1}_{n+1} &=& \dot{u}^{i}_{n+1} + d w \\
u^{i+1}_{n+1} &=& u^{i}_{n+1} + e w
\end{eqnarray}
where $i$ is the Newton-Raphson iteration counter and $c$, $d$ and $e$ are
parameters depending on the method used to solve the equations
\begin{center}
\begin{tabular}{l|c|c|c|c}
& $w$ & $e$ & $d$ & $c$\\
\hline
- in acceleration &$ \delta \ddot{u}$ & $\alpha \beta \Delta t^2$ &$\beta \Delta t$ &$1$\\
- in velocity & $ \delta \dot{u}$& $1/\beta \Delta t$ & $1$ & $\alpha \Delta t$\\
- in displacement &$\delta u$ & $ 1$ & $1/\alpha \Delta t$ & $1/\alpha \beta \Delta t^2$
+ in acceleration &$ \delta \ddot{u}$ & $\alpha \beta \Delta t^2$ &$\beta
+ \Delta t$ &$1$\\
+ in velocity & $ \delta \dot{u}$& $1/\beta \Delta t$ & $1$ & $\alpha \Delta
+ t$\\
+ in displacement &$\delta u$ & $ 1$ & $1/\alpha \Delta t$ & $1/\alpha \beta
+ \Delta t^2$
\end{tabular}
\end{center}
-\note{In you want to use the implicit solver Akantu should be compiled at least
- with one sparse matrix solver such as Mumps\cite{mumps}.}
+\note{If you want to use the implicit solver \akantu should be compiled at
+ least with one sparse matrix solver such as Mumps\cite{mumps}.}
\subsubsection{Implicit time integration}
-The example presented here is \code{example/manuel/implicit\_dynamic.cc}
-
-This example consists in a beam blocked on one side and on a roller on the other
-side, on which we apply a constant force in the middle. The figure
-\ref{fig:smm:implicit:dynamic} present the geometry of this case. The material
+The example presented here is \code{example/manuel/implicit\_dynamic.cc}. This
+example consists of a beam blocked on one side and is on a roller on the other
+side. A constant force is applied in the middle of this beam. Figure
+\ref{fig:smm:implicit:dynamic} presents the geometry of this case. The material
used is a linear elastic one.
-We can give a approximation (eqn. (\ref{eqn:smm:implicit})) of the dynamic
-answer of the middle point of the beam.
+The equation (\ref{eqn:smm:implicit}) gives an approximation of the dynamic
+response of the middle point of the beam.
\begin{equation}\label{eqn:smm:implicit}
u(\frac{L}{2}, t) = \frac{1}{\pi^4} (1 - cos(\pi^2 t) +
\frac{1}{81}(1 - cos(3^2 \pi^2 t)) +
\frac{1}{625}(1 - cos(5^2 \pi^2 t)))
\end{equation}
\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[scale=.6]{figures/implicit_dynamic}
\caption{Numerical setup}
\label{fig:smm:implicit:dynamic}
\end{figure}
-To resolve the this problem with an implicit time integration scheme we should
-as first create a \code{SolidMechanicsModel} object initialize it and set the
-initial and boundary conditions. Everything is really similar to the example in
-static (section \ref{sect:smm:static}) except that in this one during the
-initialization of the model we have to specify that it is a dynamic case by
-setting the flags to \code{true}.
+To solve this problem with an implicit time integration scheme, first a
+\code{SolidMechanicsModel} object should be created and initialized. Then the
+initial and boundary conditions have to be set. Everything is similar to the
+example in static (section \ref{sect:smm:static}), however in this case during
+the initialization of the model, the implicit dynamic case should be selected by
+setting the two flags to \code{true}.
\begin{cpp}[escapechar=\%]
SolidMechanicsModel model(mesh);
model.initFull("material.dat", true, true);
/* Boundary conditions see section %\ref{sect:smm:boundary}% */
\end{cpp}
-Then we have to compute the stiffness matrix $K$ and the mass matrix $M$. Since
-the material is elastic in this case $C = 0$.
+Then, the stiffness matrix $K$ and the mass matrix $M$ should be
+assembled. Since the material is elastic in this case $C$ is equal to zero.
\index{SolidMechanicsModel!assembleStiffnessMatrix}
\index{SolidMechanicsModel!assembleMass}
\begin{cpp}
model.assembleStiffnessMatrix();
model.assembleMass();
\end{cpp}
-Since we are doing a dynamic simulation we should do specify what is the $\Delta
-t$ we want to use. In the case of implicit simulations by default \code(Akantu)
-use a trapezoidal rule. That is to say $\alpha = 1/2$ and $\beta = 1/2$ which is
-unconditionally stable. Therefore why can choose whatever we want for the time
-step.
-\index{SolidMechanicsModel!setTimeStep}
+Since a dynamic simulation is conducted, a time step $\Delta t$ has to be
+specified. In the case of implicit simulations, \akantu use a trapezoidal rule
+by default. That is to say $\alpha = 1/2$ and $\beta = 1/2$ which is
+unconditionally stable. Therefore the value of the time step can be chosen
+arbitrary. \index{SolidMechanicsModel!setTimeStep}
\begin{cpp}
model.setTimeStep(time_step);
\end{cpp}
-Now everything is set to do the time stepping. The time loop should contain the
-predictor, the solve and the corrector with the Newton-Raphson convergence
-algorithm even if the material is linear. By default the equation are solved in
-displacement.
-\index{SolidMechanicsModel!implicitPred}
+Now everything is set to do the time stepping. The time loop should contains the
+predictor, the solving and the corrector steps with the Newton-Raphson
+convergence algorithm even if the material is linear. By default the equations
+are solved \emph{in displacement}. \index{SolidMechanicsModel!implicitPred}
\index{SolidMechanicsModel!implicitCorr}
\index{SolidMechanicsModel!updateResidual}
\index{SolidMechanicsModel!solveDynamic}
\begin{cpp}
for (Real time = 0; time < simulation_time; time += time_step) {
model.implicitPred();
UInt count = 0;
/// Newton-Raphson convergence loop
do {
model.updateResidual();
model.solveDynamic();
model.implicitCorr();
++count;
} while(!model.testConvergenceIncrement(1e-12, error) && count < 100);
pos << time
<< "," << displacment(node_to_print, 1)
<< "," << analytical_solution(time) << std::endl;
}
\end{cpp}
-\note{Here we have a elastic material so $K$ is constant, but for other material
- we should assemble $K$ at each iteration.}
+\note{In case of an elastic material $K$ is constant, but for other materials
+ $K$ has to be re-assembled at each iteration.}
\note{For the convergence loop it is a good usage to put also a limit in terms
- of number of iterations to avoid an infinite loop in case of a error criteria
- to hard to reach.}
+ of the number of iterations to avoid an infinite loop in case of an error
+ criterion too hard to reach.}
\subsubsection{Explicit dynamic}
\subparagraph{Description:}\label{ref:smm:explicit:paragraphdescription}
The explicit dynamic scheme is based on the Newmark-$\beta$ time integration
scheme with $\alpha=0$ (see equation). In akuntu $beta=1/2$ see (part 1). The
displacement, velocity and acceleration fields are directly calculated from
their values at $t$. The advantages and drawbacks of this method compared to
implicit dynamic scheme are:
\\
\\
\textbf{Advantages:}
\begin{itemize}
\item Simple and rapid.
\item Adapted for the problems evolving on very short duration (crash,...).
\end{itemize}
\textbf{Drawbacks:}
\begin{itemize}
\item Conditionally stable.
\item The step time depend on the mesh size.
\end{itemize}
\subparagraph{Implementation:}
The beginning of the simulation is similar to the static and implicit dynamic.
The model is created from \code{SolidMechanicsModel} class and initialized.
In the initialization, the use of explicit scheme is noted by both flags equal
to false (see section).
\begin{cpp}
SolidMechanicsModel model(mesh);
model.initFull("material.dat", false, false);
\end{cpp}
\index{SolidMechanicsModel!initFull}
\note{In explicit it is possible to write because both
\code{model.initFull("material.dat")}
- flags are equal to false by default in \code{Akantu}.}
+ flags are equal to false by default in \akantu.}
To improve the computation time in explicit scheme, the matrix mass $M$ in
the equation \ref{eqn:equation-motion-discret} is lumped.
This method consist to distibute the total mass of element on these nodes
in order to transform $M$ into diagonal matrix.
\begin{cpp}
model.assembleMassLumped();
\end{cpp}
\index{SolidMechanicsModel!assembleMassLumped}
It has been noted in the paragraph Description
\ref{ref:smm:explicit:paragraphdescription} that the explicit scheme is
conditionally stable.
The direct computation of the displacement, velocity and acceleration fields
from their values at $t$ leading to the unstability of the scheme over stable
time step.
The following line allows to obtain the stable time step value.
\begin{cpp}
time_step = model.getStableTimeStep();
\end{cpp}
\index{SolidMechanicsModel!StableTimeStep}
The stable time step is defined as
\begin{equation}
\Delta t = \Delta x \sqrt{\frac{\rho}{2 \mu +\lambda}}
\end{equation}
\label{eqn:smm:explicit:stabletime}
where is the $\Delta x$ is characteristic length, $\mu$ and $\lambda$ are the
first and second Lame's coefficients and $\rho$ the density. The stable time is
time spent by the compressive wave to cross the smallest characteristic length of
the mesh.
However, note that if the time step of the computation is equal to stable time step,
the simulation results still remains instable.
Therefore, before to impose the time step, it is advisable to multiply the stable
time step by a critical factor often chosen equal to $0.1$.
\begin{cpp}
const Real time_factor = 0.1;
Real applied_time_step = time_step * time_factor;
model.setTimeStep(applied_time_step);
\end{cpp}
\index{SolidMechanicsModel!setTimeStep}
Before to start the explicit loop, it is necessary to initialize the explicit scheme.
The initials displacement and velocity fields given by the user or equal to zero by
default (see \ref{sect:smm:initial_condition}).
The loop following allows, for each time step, to udapte the displacement, velocity
and acceleration fields which are given by Newmark$-\beta$ equations with $\beta=1/2$
and $\alpha=0$.
\begin{cpp}
for (UInt s = 1; (s-1)*applied_time_step < total_time; ++s) {
model.explicitPred();
model.updateResidual();
model.updateAcceleration();
model.explicitCorr();
}
\end{cpp}
\index{SolidMechanicsModel!explicitPred}
\index{SolidMechanicsModel!explicitCorr}
\index{SolidMechanicsModel!updateResidual}
\index{SolidMechanicsModel!updateAcceleration}
In the code shown above, the explicit loop contains four steps:
\begin{itemize}
\item \code{model.explicitPred()} allows to compute the displacement field at $t+1$ and a
part of the velocity field at $t+1$, noted $\dot{u}_{n+1/2}$, which will be used later in
the \code{model.explicitCorr()}. The solved equations are :
\begin{eqnarray}
u_{n+1} &=& u_{n} + \Delta t \dot{u}_{n} + \frac{\Delta t^2}{2} \ddot{u}_{n} \\
\dot{u}_{n+1/2} &=& \dot{u}_{n} + \Delta t \ddot{u}_{n}
\label{eqn:smm:explicit:onehalfvelocity}
\end{eqnarray}
\item \code{model.updateResidual()} and \code{model.updateAcceleration()} allow to
solve the following equations which give acceleration increment $\delta \ddot{u}$:
\begin{eqnarray}
(M + \frac{1}{2} \Delta t C + ) \delta \ddot{u} = f_{ext} - f_{int~n+1} - C \dot{u}_{n} - M \ddot{u}_{n}
\end{eqnarray}
\note{The internal force $f_{int~n+1}$ is computed from the displacement $u_{n+1}$.}
\item \code{model.explicitCorr()} compute the velocity and acceleration fields at $t+1$:
\begin{eqnarray}
\dot{u}_{n+1} &=& \dot{u}_{n+1/2} + \frac{\Delta t}{2} \delta \ddot{u} \\
\ddot{u}_{n+1} &=& \ddot{u}_{n} + \delta \ddot{u}
\end{eqnarray}
\end{itemize}
To illustrate this theoric part, an example using explicit scheme is proposed in the
following.
The example presented here is: \code{example/manuel/explicit\_dynamic.cc}.
This example consists to simulate the propagation of a wave in a steel beam. The beam
is blocked on one side and a displacement is applied on the other side which is equal
to $0.05m$, as shown in figure \ref{fig:smm:explicit}.
\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[scale=.6]{figures/explicit_dynamic}
\caption{Numerical setup \label{fig:smm:explicit}}
\end{figure}
The length and height of the beam are $10m$ and $1m$, respectively. The material is
assumed linear elastic, homogeneous and isotropic (density: $7800kgm^{-3}$, Young's
modulus: $210*10^{9}Pa$ and Poisson's ratio: $0.3$).
The potential, kinetic and total energies are computed. The critical factor is equal to $10\%$ of the stable step time. The simulation total time is $0.01s$.
\subsection{Constitutive laws\todo{L\'eonardo}}
\subsubsection{Elastic}
\subsubsection{Caughey}
\subsubsection{Neo-hookean}
\subsubsection{Visco-elastic}
\subsubsection{Damage Marigo}
\subsubsection{Damage Mazars}
\subsection{Adding a new constitutive law\todo{Mohadeseh}}
\subsection{Contact\todo{Alejendro, David, Vlad}}
\subsection{Cohesive laws\todo{Marco}}
\section{Structural Mechanics model\todo{Till}}
\section{Heat Transfer model\todo{Guillaume}}
% \subsection{Contact Neighbor Structure}
% The contact neighbor structure is an interface which is ment to be heritated
% from in order to implement different type of contact neighbor structures. It
% has the following protected attributes:
% \begin{itemize}
% \item id
% \item contact search
% \item master surface
% \item neighbor list
% \item type
% \end{itemize}
% The \emph{id} and the \emph{type} are characteristics of the contact neighcor
% structure object which define its id and its type. The \emph{contact search}
% attribute is the associated contact search object to the given contact
% neighbor structure object. The \emph{master surface} attribute is the id of
% the associated master surface for which the neighbor structure has to be
% built. Finally, the neighbor list is the constructed neighbor structure which
% defines the impactor nodes that are in the neighborhood of either a given
% master node or a given master surface element, depending on the type of
% contact neighbor structure.
% The contact neighbor structure provides the accessor \emph{getNeighborList} to
% the constructed neighbor list and forces the heritated classes to provide a
% public \emph{initNeighborStructure} function, which initializes the neighbor
% structure, as well as a public \emph{update} function, which updates the
% neighbor structure.
% \subsubsection{Regular Grid Neighbor Structure}
% The regular grid neighbor structure builds a regular grid around the master
% surface and uses it in order to construct the neighbor list. This neighbor
% structure can construct both types of neighbor list, the
% \subsection{Implementation of a new solid mechanics problem}
% Let us imagine you want to implement a new material called
% "toto" in akantu. The have to complete the following steps (in
% any order) :
% \begin{enumerate}
% \item
% Declare a new material in the file
% \textit{Akantu/model/solid\_mechanics/solid\_mechanics\_model\_material.cc}.
% You have to had this line after the list of possible cases
% \begin{verbatim}else if(mat\_type == "toto") material =
% parser.readMaterialObject<MaterialToto>(*this,mat_id);
% \end{verbatim}
% \item
% Include the new material in \textit{Akantu/model/solid\_mechanics/material.hh} \\
% add the line :
% \begin{verbatim}
% #include "materials/material\_toto.hh"
% \end{verbatim}
% \item
% For compilation include the new file to compile in
% \textit{Akantu/CMakelist.txt} by adding
% \begin{verbatim}
% model/solid_mechanics/materials/material_toto.cc
% \end{verbatim}
% \item
% In \textit{Akantu/model/solid\_mechanics/materials}, create (or copy from
% an allready existing material) the three following files :\\
% - material\_toto.cc\\
% - material\_toto.hh\\
% - material\_toto\_inline\_impl.cc
% \item
% Modify the files !
% \end{enumerate}
\printindex
\bibliography{biblio}
\end{document}

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