diff --git "a/Chapitre 9 - Produits scalaires et espaces euclidens/9.6-9.7 Comment trouver une base orthogonale au orthonormale - Le proc\303\251d\303\251 de Gram-Schmidt.ipynb" "b/Chapitre 9 - Produits scalaires et espaces euclidens/9.6-9.7 Comment trouver une base orthogonale au orthonormale - Le proc\303\251d\303\251 de Gram-Schmidt.ipynb"
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  "cells": [
   {
    "cell_type": "markdown",
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    "source": [
     "# **Concept(s)-clé(s) et théorie**\n",
     "\n",
     "## Proposition 1\n",
     "Soient $V$ un $\\mathbb{R}$-espace vectoriel muni d'un produit scalaire $\\langle \\cdot,\\cdot\\rangle$ et $S = \\{v_1, \\dots, v_k\\} \\subset V$ une famille orthogonale de vecteurs non-nuls. Alors $S$ est une famille libre.\n",
     "\n",
     "## Définition 1\n",
     "Soit $V$ un $\\mathbb{R}$-espace vectoriel muni d'un produit scalaire $\\langle \\cdot,\\cdot\\rangle$. Pour $u,v \\in V$, on définit la **projection orthogonale de $u$ sur $v$** par $$ proj_v u = \\dfrac{\\langle u,v \\rangle}{\\langle v,v \\rangle} v = \\dfrac{\\langle u,v \\rangle}{||v||^2}v$$\n",
     "\n",
     "## Proposition 2\n",
     "Soit $V$ un $\\mathbb{R}$-espace vectoriel muni d'un produit scalaire $\\langle \\cdot,\\cdot\\rangle$. Alors les affirmations suivantes sont vérifiée:\n",
     "\n",
     "1. Pour tous $u,v \\in V$ le vecteur $proj_v u \\in V$ appartient à $Vect(\\{v\\})$\n",
     "2. Pour tous $u,v \\in V$, on a $\\langle u - proj_v u, v \\rangle = 0$\n",
     "\n",
     "## Théorème 1: Procédé de Gram-Schmidt\n",
     "Soient $V$ un $\\mathbb{R}$-espace vectoriel muni d'un produit scalaire $\\langle \\cdot,\\cdot \\rangle$ et $S = \\{x_1, \\dots, x_k\\}$ une famille de vecteurs dans $V$. Alors en posant successivement\n",
     "\\begin{equation}\n",
     "\\begin{aligned}\n",
     "v_1 &= x_1 \\\\\n",
     "v_2 &= x_2 - proj_{v_1}x_2 \\\\\n",
     "v_3 &= x_3 - proj_{v_1}x_3 - proj_{v_2}x_3 \\\\\n",
     "\\vdots & \\qquad \\\\\n",
     "v_k &= x_k - proj_{v_1}x_k - proj_{v_2}x_k - \\cdots - proj_{v_{k-1}}x_k\n",
     "\\end{aligned}\n",
     "\\end{equation}\n",
     "la famille $\\{v_1, \\dots, v_k\\}$ ainsi obtenue est une famille orthogonale.\n",
     "\n",
     "## Théorème 2: Proprietes du procédé de Gram-Schmidt\n",
     "Soient $V$ un $\\mathbb{R}$-espace vectoriel muni d'un produit scalaire $\\langle \\cdot,\\cdot \\rangle$ et $S = \\{x_1, \\dots, x_k\\}$ une famille de vecteurs *linéarment indépentants* dans $V$. La procédé de Gram-Schmidt applique à la famille $S$ définit une suite de vecteurs $v_1, \\dots v_k$ telle que $\\{v_1, \\dots, v_k\\}$ est une famille de vecteurs deux-à-deux ortogonaux, non-nuls et donc linéarment indédendants. De plus, on a $$ Vect(S) = Vect(v_1, \\dots, v_k)$$\n",
     "\n",
     "## Remarque 1\n",
     "1. Si $\\{x_1, \\dots, x_k\\}$ est une base de $V$, le procédé de Gram-Schmidt donne une base orthogonale $\\{v_1,\\dots, v_k\\}$ de $V$.\n",
     "2. Si l'on souhaite avoir une base orthonormale de $V$, il suffit de normaliser la base obtenue."
    ]
   },
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     "# Exercises et Exemples"
    ]
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     "import Librairie.AL_Fct as al\n",
     "import Corrections.corrections as corrections\n",
     "import numpy as np\n",
     "import sympy as sp"
    ]
   },
   {
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    "source": [
     "## Exercice 1\n",
     "\n",
     "Considérez les $\\mathbb{R}$-espaces vectoriels suivants, équipés avec le produit scalaire donnè. Considérez les éléments donnés $u$ et $v$ de ces espaces. Calculez la projection orthogonale de $u$ sur $v$.\n",
     "\n",
     "1. $\\quad$ $V = \\mathbb{R}^2$; $\\qquad \\qquad$ $\\langle u,v \\rangle_V = u^Tv$; $\\qquad \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad \\quad$ $u = \\begin{pmatrix} -1 \\\\ 2 \\end{pmatrix}$ $\\qquad \\ \\ $ $v = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 1 \\end{pmatrix}$\n",
     "\n",
     "2. $\\quad$ $V = \\mathbb{R}^3$; $\\qquad \\qquad$ $\\langle u,v \\rangle_V = u^TAv \\quad avec \\ \\ A=\\begin{bmatrix} 2 & 0 & -1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ -1 & 0 & 2 \\end{bmatrix}$ $\\qquad$ $u = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 2 \\\\ 1 \\end{pmatrix}$ $\\qquad \\quad \\ \\ $ $v = \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ -1 \\end{pmatrix}$\n",
     "\n",
     "3. $\\quad$ $V = \\mathbb{R}^5$; $\\qquad \\qquad$ $\\langle u,v \\rangle_V = u^Tv$; $\\qquad \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad \\quad \\ $ $u = \\begin{pmatrix} -1 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 1 \\end{pmatrix}$ $\\qquad \\quad $ $v = \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ -1 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{pmatrix}$\n",
     "\n",
     "4. $\\quad$ $V = \\mathbb{P}^2(\\mathbb{R})$; $\\qquad \\quad$ $\\langle f,g \\rangle_V = \\int_0^1 f(x)g(x) \\ dx$; $\\qquad \\qquad \\qquad \\qquad \\ \\ \\ $ $f(x) = x^2 - 1$ $\\qquad$ $g(x) = x$\n",
     "\n",
     "5. $\\quad$ $V = \\mathbb{P}^3(\\mathbb{R})$; $\\qquad \\quad$ $\\langle f,g \\rangle_V = \\int_{-1}^1 (1-x^2)f(x)g(x) \\ dx$; $\\qquad \\qquad \\quad \\ \\ \\ $ $f(x) = x^2 -x$ $\\qquad$ $g(x)=x+1$"
    ]
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    "source": [
     "# CAS 1\n",
     "ans = [1/2,1/2] # inserez ici votre réponse\n",
     "corrections.Ex1Chapitre9_6_7(ans, case_nb=1)"
    ]
   },
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     "# CAS 2\n",
     "ans = [0, 1/3, -1/3] # inserez ici votre réponse\n",
     "corrections.Ex1Chapitre9_6_7(ans, case_nb=2)"
    ]
   },
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     "# CAS 3\n",
     "ans = [0, 0, 0, 0, 0] # inserez ici votre réponse\n",
     "corrections.Ex1Chapitre9_6_7(ans, case_nb=3)"
    ]
   },
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     "# CAS 4\n",
     "x = sp.Symbol('x')\n",
     "ans = x**1 # inserez ici votre réponse\n",
     "corrections.Ex1Chapitre9_6_7(ans, case_nb=4)"
    ]
   },
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    "source": [
     "# CAS 5\n",
     "x = sp.Symbol('x')\n",
     "ans = x**1 # inserez ici votre réponse\n",
     "corrections.Ex1Chapitre9_6_7(ans, case_nb=5)"
    ]
   },
   {
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    "source": [
     "## Exercice 2\n",
     "\n",
     "Considérez les ensembles de vecteurs suivants dans $\\mathbb{R}^n, \\ n \\in \\{2,3,4\\}$. Tirez parti de la méthode interactive qui suit pour appliquer la méthode de Gram-Schmidt et dériver un ensemble orthonormé de vecteurs.\n",
     "Supposez que le produit scalair soit le produit standard $\\langle u,v \\rangle = u^Tv$ dans tous les cas.\n",
     "\n",
     "**Remarque**: pour exécuter correctement l'algorithme, gardez l'ordre donné des vecteurs!\n",
     "\n",
     "1. $\\mathcal{S}_1 = \\left\\{ \\begin{bmatrix} 2 \\\\ 1 \\end{bmatrix}, \\begin{bmatrix} -1 \\\\ -1 \\end{bmatrix} \\right\\}$\n",
     "\n",
     "2. $\\mathcal{S}_2 = \\left\\{ \\begin{bmatrix} 2 \\\\ 0 \\\\ 1 \\end{bmatrix}, \\begin{bmatrix} 1 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{bmatrix}, \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 0 \\\\ 1 \\end{bmatrix} \\right\\}$\n",
     "\n",
     "3. $\\mathcal{S}_3 = \\left\\{ \\begin{bmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ -1 \\end{bmatrix}, \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{bmatrix}, \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 0 \\\\ 1 \\end{bmatrix}, \\begin{bmatrix} 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{bmatrix} \\right\\}$\n",
     "\n",
     "4. $\\mathcal{S}_4 = \\left\\{ \\begin{bmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 1 \\end{bmatrix}, \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ -1\\end{bmatrix}, \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 1 \\end{bmatrix}, \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 0\\end{bmatrix} \\right\\}$"
    ]
   },
   {
    "cell_type": "markdown",
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    "source": [
     "### Instructions\n",
     "\n",
     "Pour utiliser la méthode interactive de Gram-Schmidt, procédez comme suit:\n",
     "\n",
     "1. Insérez le numéro de dossier souhaité dans la cellule suivante\n",
     "2. Exécutez la cellule appelée \"SÉLECTION DES PARAMÈTRES\" pour sélectionner le type d'opération et les coefficients nécessaires\n",
     "3. Exécutez la cellule appelée \"EXÉCUTER L'ÉTAPE DE L'ALGORITHME GRAM-SCHMIDT\" pour exécuter l'étape de l'algorithme de Gram-Schmidt avec les paramètres précédemment sélectionnés\n",
     "\n",
     "En outre:\n",
     "\n",
     "1. Vous pouvez annuler une opération en sélectionnant le bouton \"Revert\".\n",
     "\n",
     "2. Si les coefficients insérés sont incorrects, vous pouvez essayer avec de nouvelles valeurs sans effectuer une opération \"Revert\".\n",
     "\n",
     "3. Les coefficients qui ne sont pas liés à l'opération sélectionnée peuvent être définis sur n'importe quelle valeur, car ils ne sont pas utilisés dans le code."
    ]
   },
   {
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    "execution_count": null,
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    "outputs": [],
    "source": [
     "case_number = 3"
    ]
   },
   {
    "cell_type": "code",
    "execution_count": null,
    "metadata": {},
    "outputs": [],
    "source": [
     "if case_number == 1:\n",
     "    vectors = [[2,1], [-1,-1]]\n",
     "    dim=2\n",
     "elif case_number == 2:\n",
     "    vectors = [[2,0,1], [1,1,0], [0,0,1]]\n",
     "    dim=3\n",
     "elif case_number == 3:\n",
     "    vectors = [[1,0,-1], [0,1,1], [0,0,1], [1,1,1]]\n",
     "    dim=4\n",
     "elif case_number == 4:\n",
     "    vectors = [[1,0,0,1], [0,1,1,-1], [0,1,0,1],[0,1,1,0]]\n",
     "    dim=4\n",
     "else:\n",
     "    print(f\"{case_number} n'est pas un numéro de cas valide!\" \n",
     "          f\"Numéros de cas disponibles: [1,2,3,4]\")\n",
     "step = 0\n",
     "VectorsList = [vectors]"
    ]
   },
   {
    "cell_type": "code",
    "execution_count": null,
    "metadata": {},
    "outputs": [],
    "source": [
     "# SÉLECTION DES PARAMÈTRES\n",
     "norm_coeff, proj_coeffs, operation, step_number = al.manual_GS(dim=dim)"
    ]
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    "execution_count": null,
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    "source": [
     "# EXÉCUTER L'ÉTAPE DE L'ALGORITHME GRAM-SCHMIDT\n",
     "vectors = al.interactive_gram_schmidt(norm_coeff, proj_coeffs,\n",
     "                                      operation, step_number, \n",
     "                                      vectors.copy(), VectorsList)"
    ]
   },
   {
    "cell_type": "markdown",
    "metadata": {},
    "source": [
     "## Exercise 3\n",
     "\n",
     "Considérez les ensembles de fonctions suivants, dans les intervalles donnés et avec le produit scalir donné. Tirez parti de la méthode interactive qui suit pour appliquer la méthode de Gram-Schmidt et dériver un ensemble orthonormé de vecteurs. Vous pouvez vous aider à calculer les intégrales en exécutant la cellule appelée \"Cellule d'aide pour calculer les intégrales\"\n",
     "\n",
     "\n",
     "**Remarque**: pour exécuter correctement l'algorithme, gardez l'ordre donné des fonctions!\n",
     "\n",
     "1. $\\mathcal{F}_1 = \\left\\{1, x, x^2\\right\\}; \\qquad \\quad \\ \\ [a;b] = [-1;1] \\qquad \\langle f,g \\rangle = \\int_a^b f(x) g(x) \\ dx$\n",
     "2. $\\mathcal{F}_2 = \\left\\{1, x, x^2, x^3 \\right\\}; \\qquad \\ [a;b] = [0;1] \\qquad \\ \\ \\langle f,g \\rangle = \\int_a^b f(x) g(x) \\ dx$\n",
     "3. $\\mathcal{F}_3 = \\left\\{1, x^2, x^4 \\right\\}; \\qquad \\quad [a;b] = [-1;1] \\qquad \\langle f,g \\rangle = \\int_a^b (1-|x|) f(x) g(x) \\ dx$"
    ]
   },
   {
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    "source": [
     "case_number = 2"
    ]
   },
   {
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    "execution_count": null,
    "metadata": {},
    "outputs": [],
    "source": [
     "x = sp.Symbol('x')\n",
     "\n",
     "if case_number == 1:\n",
     "    functions = [1 + 0*x, x, x**2]\n",
     "    int_limits = [-1, 1]\n",
     "    weight_function = 1.0 + 0*x\n",
     "    dim=3\n",
     "elif case_number == 2:\n",
     "    functions = [1.0 + 0*x, x, x**2, x**3]\n",
     "    int_limits = [0, 1]\n",
     "    weight_function = 1.0 + 0*x\n",
     "    dim=4\n",
     "elif case_number == 3:\n",
     "    functions = [1.0 + 0*x, x**2, x**4]\n",
     "    int_limits = [-1, 1]\n",
     "    weight_function = (1 - sp.abs(x))\n",
     "    dim=3\n",
     "else:\n",
     "    print(f\"{case_number} n'est pas un numéro de cas valide!\" \n",
     "          f\"Numéros de cas disponibles: [1,2,3,4]\")\n",
     "    \n",
     "step = 0\n",
     "FunctionsList = [functions]"
    ]
   },
   {
    "cell_type": "code",
    "execution_count": null,
    "metadata": {},
    "outputs": [],
    "source": [
     "# SÉLECTION DES PARAMÈTRES\n",
     "norm_coeff, proj_coeffs, operation, step_number = al.manual_GS(dim=dim)"
    ]
   },
   {
    "cell_type": "code",
    "execution_count": null,
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    "source": [
     "# EXÉCUTER L'ÉTAPE DE L'ALGORITHME GRAM-SCHMIDT\n",
     "functions = al.interactive_gram_schmidt_func(norm_coeff, proj_coeffs,\n",
     "                                             operation, step_number, \n",
     "                                             functions.copy(), \n",
     "                                             FunctionsList,\n",
     "                                             int_limits=int_limits,\n",
     "                                             weight_function=weight_function)"
    ]
   },
   {
    "cell_type": "code",
    "execution_count": null,
    "metadata": {},
    "outputs": [],
    "source": [
     "# Cellule d'aide pour calculer les intégrales\n",
     "x = sp.Symbol('x')\n",
     "func = weight_function * x # insert here the expression of your function, using 'x' as variable\n",
     "I = al.integrate_sp_function(func, x, int_limits)"
    ]
   },
   {
    "cell_type": "markdown",
    "metadata": {},
    "source": [
-    "[Passez au notebook du chapitre 9.8-9.9: La projection orthgonale sur un sous-espace vectoriel - La projection orthogonale: examples et remarques supplémentaires](./)"
+    "[Passez au notebook du chapitre 9.8-9.9: La projection orthgonale sur un sous-espace vectoriel - La projection orthogonale: examples et remarques supplémentaires](./9.8-9.9%20La%20projection%20orthogonale%20sur%20un%20sous-espace%20vectoriel%20-%20La%20projection%20orthogonale%20examples%20et%20remarques%20supplémentaires.ipynb)"
    ]
   }
  ],
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