diff --git "a/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/10.1 Matrices et transformations orthogonales.ipynb" "b/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/10.1 Matrices et transformations orthogonales.ipynb" index 2a3b689..e767561 100644 --- "a/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/10.1 Matrices et transformations orthogonales.ipynb" +++ "b/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/10.1 Matrices et transformations orthogonales.ipynb" @@ -1,158 +1,165 @@ { "cells": [ { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "import numpy as np\n", "import sympy as sp\n", "from IPython.display import display, Latex, Markdown\n", "import plotly\n", "import plotly.graph_objects as go\n", "import sys, os\n", "sys.path.append('../Chapitre 8 - Valeurs propres, vecteurs propres, diagonalisation')\n", "from Ch8_lib import *\n", "sys.path.append('../Librairie')\n", "import AL_Fct as al\n", "from Ch10_lib import *" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "### DÉFINITION 1：\n", "Soient $V$ un espace euclidien et $T: V \\rightarrow V$ une application linéaire. On dit que $T$ est orthogonale si $\\|T(v)\\|=\\|v\\|$ pour tout $v \\in V$.\n", "\n", "### DÉFINITION 2：\n", "Soient $V=\\mathbb{R}^{n}$ muni du produit scalaire usuel et $A \\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ une matrice de taille $n \\times n$ à coefficients réels. On dit que $A$ est orthogonale si $\\|A X\\|=\\|X\\|$ pour tout $X \\in M_{n \\times 1}(\\mathbb{R})$.\n", "\n", "### CONSTAT 3:\n", "Soit $T: V \\rightarrow V$ une transformation orthogonale d'un espace euclidien $V$. Alors $T$ est injective (et donc bijective par le théorème du rang).\n", "\n", "### PROPOSITION 4:\n", "Soient $V$ un espace euclidien et $T: V \\rightarrow V$ une application linéaire orthogonale. Soient également $u, v \\in V$ et désignons par $\\theta$ (respectivement $\\gamma$) l'angle entre les deux vecteurs $u, v$ (respectivement, l'angle entre les deux vecteurs $T(u)$ et $T(v)$ ). Alors $\\theta=\\gamma$, i.e. $T$ préserve les angles." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "### Exercice 1:\n", "En utilisant la définition 1 donnée ci-dessus, determinez si les matrices suivantes sont orthogonales.\n", "\n", "\n", "$$ A_1 = \\left(\\begin{matrix}0.5 & - \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\\\\\frac{\\sqrt{3}}{2} & 0.5\\end{matrix}\\right) \\hspace{20mm}\n", "A_2 = \\left(\\begin{matrix}1 & -1\\\\0 & 1\\end{matrix}\\right) \\hspace{20mm}\n", "A_3 = \\left(\\begin{matrix}\\frac{\\sqrt{2}}{2} & - \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\\\\\frac{\\sqrt{2}}{2} & \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\end{matrix}\\right)$$\n", "\n", "$$ A_4 = \\left(\\begin{matrix}\\frac{\\sqrt{2}}{2} & \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\\\\\frac{\\sqrt{2}}{2} & \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\end{matrix}\\right) \\hspace{20mm}\n", "A_5 = \\left(\\begin{matrix}0 & 0 & -1\\\\0 & 1 & 0\\\\-1 & 0 & 0\\end{matrix}\\right) \\hspace{20mm}\n", "A_6 = \\left(\\begin{matrix}1 & -7 & -1 & 4\\\\0 & 0 & 1 & -3\\\\0 & 0 & 1 & -2\\\\0 & 0 & 0 & -1\\end{matrix}\\right) $$\n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "A1 = [[1/2 , - sp.sqrt(3)/2], [sp.sqrt(3)/2, 1/2]]\n", "A2 = [[1, -1], [0, 1]]\n", "A3 = [[sp.sqrt(2)/2, -sp.sqrt(2)/2], [sp.sqrt(2)/2, sp.sqrt(2)/2]]\n", "A4 = [[sp.sqrt(2)/2, sp.sqrt(2)/2], [sp.sqrt(2)/2, sp.sqrt(2)/2]]\n", "A5 = [[0, 0, -1], [0, 1, 0], [-1, 0, 0]]\n", "A6 = [[1, -7, -1, 4], [0, 0, 1, -3], [0, 0, 1, -2], [0, 0, 0, -1]]\n", "\n", "# Choix de la matrice (A = A1 ou A = A2 ...)\n", "A = A1\n", "\n", "# Faire l'exercice pour la matrice A\n", "interactive_is_orthogonal(A)" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "### Exemple 1: Transformations géométriques en 2D\n", "Executez les cellules suivantes pour visualiser les transformations géométriques induites par une multiplication matricielle appliquée à l'ensemble des points d'une figure. Certaines des matrices utilisées sont orthogonales, d'autres non." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "sp_tri, ep_tri = points_on_circle(3, [3,1])\n", "sp_sq, ep_sq = points_on_circle(4)\n", "sp_pent, ep_pent = points_on_circle(5)\n", "sp_cir, ep_cir = points_on_circle(50)\n", "\n", "A1 = np.array([[np.sqrt(2)/2, -np.sqrt(2)/2], [np.sqrt(2)/2, np.sqrt(2)/2]])\n", "A2= np.array([[1, 1],[-1, 2]])\n", "A3 = np.array([[3, 0],[0, 2]])" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "plot_geom_2D(sp_pent, ep_pent, A1)" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "plot_geom_2D(sp_sq, ep_sq, A2)" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "plot_geom_2D(sp_tri, ep_tri, A3)" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "plot_geom_2D(sp_cir, ep_cir, A3)" ] + }, + { + "cell_type": "markdown", + "metadata": {}, + "source": [ + "[Passez au notebook du chapitre 10.2: Matrices orthogonales, équivalences](./10.2%20Matrices%20orthogonales%2C%20%C3%A9quivalences.ipynb)" + ] } ], "metadata": { "kernelspec": { "display_name": "Python 3", "language": "python", "name": "python3" }, "language_info": { "codemirror_mode": { "name": "ipython", "version": 3 }, "file_extension": ".py", "mimetype": "text/x-python", "name": "python", "nbconvert_exporter": "python", "pygments_lexer": "ipython3", "version": "3.7.2" } }, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 2 } diff --git "a/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/10.2 Matrices orthogonales, \303\251quivalences.ipynb" "b/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/10.2 Matrices orthogonales, \303\251quivalences.ipynb" index 2527eeb..4dd22c9 100644 --- "a/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/10.2 Matrices orthogonales, \303\251quivalences.ipynb" +++ "b/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/10.2 Matrices orthogonales, \303\251quivalences.ipynb" @@ -1,187 +1,194 @@ { "cells": [ { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "import numpy as np\n", "import sympy as sp\n", "from IPython.display import display, Latex, Markdown, display_latex\n", "import plotly\n", "import plotly.graph_objects as go\n", "import sys, os\n", "sys.path.append('../Chapitre 8 - Valeurs propres, vecteurs propres, diagonalisation')\n", "from Ch8_lib import *\n", "sys.path.append('../Librairie')\n", "import AL_Fct as al\n", "from Ch10_lib import *\n", "from sympy import sqrt, sin, cos, pi" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "### PROPOSITION：\n", "Soient $V=\\mathbb{R}^{n}$ muni du produit scalaire usuel et $A \\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ une matrice de taille $n \\times n$ à coefficients réels. Alors les conditions suivantes sont équivalentes.\n", "1. $\\|A X\\|=\\|X\\|$ pour tout $X \\in M_{n \\times 1}(\\mathbb{R})$\n", "2. $\\langle A X, A Y\\rangle=\\langle X, Y\\rangle$ pour tous $X, Y \\in M_{n \\times 1}(\\mathbb{R})$\n", "3. $A A^{T}=I_{n}=A^{T} A$\n", "4. Les lignes de $A$ forment une base orthonormée de $V$\n", "5. Les colonnes de $A$ (vues comme vecteurs de $\\mathbb{R}^{n}$ ) forment une base orthonormée de $V$.\n", "Aussi, si $A$ est orthogonale, alors det $A=\\pm 1$ " ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "### Exercice 1\n", "En utilisant une des propriétés ci-dessus, determinez si les matrices suivantes sont orthogonales.\n", "\n", "$$\n", "A_1 = \\left(\\begin{array}{cc}\n", "\\frac{1}{4}+\\frac{\\sqrt{5}}{4} & \\sqrt{\\frac{5}{8}-\\frac{\\sqrt{5}}{8}} \\\\\n", "-\\sqrt{\\frac{5}{8}-\\frac{\\sqrt{5}}{8}} & \\frac{1}{4}+\\frac{\\sqrt{5}}{4}\n", "\\end{array}\\right)\n", "\\hspace{10mm}\n", "A_2 = \\left(\\begin{array}{ccc}\n", "\\frac{\\sqrt{6}}{3} & -\\frac{\\sqrt{3}}{3} & 0 \\\\\n", "\\frac{\\sqrt{6}}{6} & \\frac{\\sqrt{3}}{3} & \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\\\\n", "-\\frac{\\sqrt{6}}{6} & -\\frac{\\sqrt{3}}{3} & \\frac{\\sqrt{2}}{2}\n", "\\end{array}\\right) \n", "$$\n", "\n", "\n", "$$ A_3 =\n", "\\left(\\begin{array}{ccccc}\n", "-\\frac{\\sqrt{5}}{10} & -\\frac{\\sqrt{2}}{2} & -\\frac{\\sqrt{6}}{6} & \\frac{\\sqrt{5}}{5} & -\\frac{\\sqrt{3}}{6} \\\\\n", "-\\frac{\\sqrt{5}}{10} & \\frac{\\sqrt{2}}{2} & -\\frac{\\sqrt{6}}{6} & \\frac{\\sqrt{5}}{5} & -\\frac{\\sqrt{3}}{6} \\\\\n", "-\\frac{\\sqrt{5}}{10} & 0 & \\frac{\\sqrt{6}}{3} & \\frac{\\sqrt{5}}{5} & -\\frac{\\sqrt{3}}{6} \\\\\n", "-\\frac{\\sqrt{5}}{10} & 0 & 0 & \\frac{\\sqrt{5}}{5} & \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\\\\n", "\\frac{2 \\sqrt{5}}{5} & 0 & 0 & \\frac{\\sqrt{5}}{5} & 0\n", "\\end{array}\\right)\n", "\\hspace{10mm}\n", "A_4 = \\left(\\begin{array}{ccc}\n", "\\frac{\\sqrt{3}}{3} & -\\frac{\\sqrt{3}}{3} & -\\frac{\\sqrt{3}}{3} \\\\\n", "-\\frac{\\sqrt{2}}{2} & 0 & -\\frac{\\sqrt{2}}{2}\n", "\\end{array}\\right)\n", "$$\n", "\n", "$$ A_5 = \n", "\\left(\\begin{array}{cc}\n", "\\cos \\theta & \\sin \\theta \\\\\n", "\\sin \\theta & \\cos \\theta\n", "\\end{array}\\right) \n", "\\hspace{10mm}\n", "A_6 =\n", "\\left(\\begin{array}{cc}\n", "\\cos \\theta & -\\sin \\theta \\\\\n", "\\sin \\theta & \\cos \\theta\n", "\\end{array}\\right) \n", "$$" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "A1 = [[(1+sqrt(5))/4, sqrt((5 - sqrt(5))/8)], [-sqrt((5 - sqrt(5))/8), (1+sqrt(5))/4]]\n", "\n", "A2 = [[sqrt(6)/3, -sqrt(3)/3, 0], [sqrt(6)/6, sqrt(3)/3, sqrt(2)/2], [-sqrt(6)/6, -sqrt(3)/3, sqrt(2)/2]]\n", "\n", "A3 = [[-sqrt(5)/10, -sqrt(2)/2, -sqrt(6)/6, sqrt(5)/5, -sqrt(3)/6], \n", " [-sqrt(5)/10, sqrt(2)/2, -sqrt(6)/6, sqrt(5)/5, -sqrt(3)/6],\n", " [-sqrt(5)/10, 0, sqrt(6)/3, sqrt(5)/5, -sqrt(3)/6],\n", " [-sqrt(5)/10, 0, 0, sqrt(5)/5, sqrt(3)/2],\n", " [2*sqrt(5)/5, 0, 0, sqrt(5)/5, 0]]\n", "\n", "A4 = [[sqrt(3)/3, -sqrt(3)/3, -sqrt(3)/3], [-sqrt(2)/2, 0, -sqrt(2)/2]]\n", "\n", "theta = sp.symbols(\"\\\\theta\")\n", "A5 = [[cos(theta), sin(theta)], [sin(theta), cos(theta)]]\n", "A6 = [[cos(theta), -sin(theta)], [sin(theta), cos(theta)]]" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "# Choissisez la matrice (A = A1 ou A = A2 ...)\n", "A = A1\n", "is_ortho_10_2(A)" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "### Exercice 2\n", "Répondez aux questions vrai/faux suivantes:" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "vf_10_2_1()" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "vf_10_2_2()" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "vf_10_2_3()" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "vf_10_2_4()" ] + }, + { + "cell_type": "markdown", + "metadata": {}, + "source": [ + "[Passez au notebook du chapitre 10.4: Matrices symétriques, valeurs propres, vecteurs propres, théorème spectral](./10.4%20Matrices%20sym%C3%A9triques%2C%20valeurs%20propres%2C%20vecteurs%20propres%2C%20th%C3%A9or%C3%A8me%20spectral.ipynb)" + ] } ], "metadata": { "kernelspec": { "display_name": "Python 3", "language": "python", "name": "python3" }, "language_info": { "codemirror_mode": { "name": "ipython", "version": 3 }, "file_extension": ".py", "mimetype": "text/x-python", "name": "python", "nbconvert_exporter": "python", "pygments_lexer": "ipython3", "version": "3.7.2" } }, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 2 } diff --git "a/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/10.4 Matrices sym\303\251triques, valeurs propres, vecteurs propres, th\303\251or\303\250me spectral.ipynb" "b/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/10.4 Matrices sym\303\251triques, valeurs propres, vecteurs propres, th\303\251or\303\250me spectral.ipynb" index 4066036..f384c42 100644 --- "a/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/10.4 Matrices sym\303\251triques, valeurs propres, vecteurs propres, th\303\251or\303\250me spectral.ipynb" +++ "b/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/10.4 Matrices sym\303\251triques, valeurs propres, vecteurs propres, th\303\251or\303\250me spectral.ipynb" @@ -1,183 +1,190 @@ { "cells": [ { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## Concepts-clés 10.3\n", "### DÉFINITION 1： \n", "Soit $A \\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$. On dit que $A$ est orthogalement diagonalisable s'il existe une matrice orthogonale $P \\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ telle que $P^{-1} A P$ soit diagonale. Aussi, si $V$ désigne un espace euclidien et $T: V \\rightarrow V$ une transformation linéaire de $V$, on dit que $T$ est orthogonalement diagonalisable si $V$ possède une base orthonormée formée de vecteurs propres de $T$.\n", "### REMARQUE 2: \n", "Soit $A \\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ une matrice orthogonalement diagonalisable et supposons que $P \\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ soit comme ci-dessus. Alors $P^{T} A P=P^{-1} A P$\n", "### PROPOSITION 3:\n", "Soit $A \\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ une matrice orthogonalement diagonalisable. Alors $A$ est une matrice symétrique. \n", "### REMARQUE 4: \n", "La réciproque est également vraie!" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## Concepts-clés 10.4\n", "### PROPOSITION: \n", "Soient $A \\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ une matrice symétrique et $\\lambda \\neq \\mu$ deux valeurs propres distinctes pour $A .$ Si $u \\in E_{\\lambda}$ et $v \\in E_{\\mu},$ alors $u$ et $v$ sont orthogonaux (pour le produit scalaire usuel de $\\mathbb{R}^{n}$ ). \n", "### THÉORÈME SPECTRAL： \n", "Soit $A \\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ une matrice symétrique. Alors il existe une matrice $P \\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ orthogonale telle que $P^{T} A P$ soit diagonale, i.e. $A$ est orthogonalement diagonalisable.\n", "### REMARQUE： \n", "1. Soit $A \\in M_{n \\times n}$ ( $\\mathbb{R}$ ) . Alors $A$ est orthogonalement diagonalisable si et seulement si elle est symétrique.\n", "2. Soit $A \\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ une matrice symétrique. Alors il est possible de factoriser $c_{A}(t)$ en un produit de facteurs linéaires sur $\\mathbb{R}$. En particulier, $c_{A}(t)$ n'admet aucune racine purement complexe. Autrement dit, si $\\alpha$ est une racine de $c_{A}(t),$ alors $\\alpha \\in \\mathbb{R}$\n", "3. Pour chaque valeur propre $\\lambda \\in \\mathbb{R}$ de $A$, la dimension de l'espace propre $E_{\\lambda}$ est égale à la multiplicité algébrique de $\\lambda$ comme racine de $c_{A}(t)$\n", "\n", - "### THÉORÈME #: \n", + "### THÉORÈME 4: \n", "Soit $T: V \\rightarrow V$ une transformation linéaire d'un espace euclidien et $\\mathscr{B}$ une base orthonormée (arbitrairement choisie) de $V$. Alors $T$ est orthogonalement diagonalisable si et seulement si $[T]_{\\mathscr{B}}$ est symétrique." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "import numpy as np\n", "import sympy as sp\n", "from IPython.display import display, Latex, Markdown, display_latex\n", "import plotly\n", "import plotly.graph_objects as go\n", "import sys, os\n", "sys.path.append('../Chapitre 8 - Valeurs propres, vecteurs propres, diagonalisation')\n", "from Ch8_lib import *\n", "sys.path.append('../Librairie')\n", "import AL_Fct as al\n", "from Ch10_lib import *\n", "from sympy import sqrt, sin, cos, pi" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "### Exercice 1\n", - "En utilisant le cours et et les énoncés rappelés ci-dessus, repondez aux questions suivantes." + "En utilisant le cours et et les énoncés rappelés ci-dessus, répondez aux questions suivantes." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "vf_10_4_1()" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "vf_10_4_1()" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "quest_10_4_2()" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "quest_10_4_3()" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "### Exercice 2\n", "En étudiant les ensembles de valeurs propres et de vecteurs propres suivants, dire si les matrices correspondantes sont symétriques ou non, ou si il manque d'informations pour répondre." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "exo_2_1_10_4()" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "exo_2_2_10_4()" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "exo_2_3_10_4()" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "exo_2_4_10_4()" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "### Exercice 3 \n", "En utilisant les théorèmes vus dans ce chapitre, generez une matrice répondant aux conditions données dans l'énoncé suivant." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "ex_3_1_10_4()" ] + }, + { + "cell_type": "markdown", + "metadata": {}, + "source": [ + "[Passez au notebook du chapitre 10.5 Diagonalisation d’une matrice symétrique par une matrice orthogonale](./10.5%20Diagonalisation%20d%E2%80%99une%20matrice%20sym%C3%A9trique%20par%20une%20matrice%20orthogonale.ipynb)" + ] } ], "metadata": { "kernelspec": { "display_name": "Python 3", "language": "python", "name": "python3" }, "language_info": { "codemirror_mode": { "name": "ipython", "version": 3 }, "file_extension": ".py", "mimetype": "text/x-python", "name": "python", "nbconvert_exporter": "python", "pygments_lexer": "ipython3", "version": "3.7.2" } }, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 2 } diff --git "a/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/10.5 Diagonalisation d\342\200\231une matrice sym\303\251trique par une matrice orthogonale.ipynb" "b/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/10.5 Diagonalisation d\342\200\231une matrice sym\303\251trique par une matrice orthogonale.ipynb" index 2645d95..a243608 100644 --- "a/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/10.5 Diagonalisation d\342\200\231une matrice sym\303\251trique par une matrice orthogonale.ipynb" +++ "b/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/10.5 Diagonalisation d\342\200\231une matrice sym\303\251trique par une matrice orthogonale.ipynb" @@ -1,100 +1,107 @@ { "cells": [ { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "### MÉTHODE DE DIAGONALISATION ORTHOGONALE: \n", "Soit $A \\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ une matrice symétrique. Pour diagonaliser orthogonalement $A,$ il faut procéder en suivant les étapes suivantes.\n", "1. Déterminer le polynôme caractéristique $c_{A}(t)$ de $A$\n", "2. Trouver toutes les racines $\\lambda_{1}, \\ldots, \\lambda_{r} \\in \\mathbb{R}$ distinctes de $c_{A}(t)$ telles que\n", "$$\n", "c_{A}(t)=(-1)^{n}\\left(t-\\lambda_{1}\\right)^{m_{+}} \\cdots\\left(t-\\lambda_{r}\\right)^{m_{r}}\n", "$$\n", "3. Pour chaque $1 \\leq i \\leq r$, déterminer une base $\\mathscr{B}_{i}$ de $E_{\\lambda_{i}}$.\n", "4. Pour chaque $1 \\leq i \\leq r$, utiliser le procédé de Gram-Schmidt afin de trouver une base orthonormée $\\mathscr{B}_{i}^{\\prime}$ de $E_{\\lambda_{i}}$\n", "5. La base $\\mathscr{B}^{\\prime}=\\mathscr{B}_{1}^{\\prime} \\cup \\ldots \\cup \\mathscr{B}_{r}^{\\prime}$ est une base orthonormée de $V=\\mathbb{R}^{n}$.\n", "6. La matrice $P=\\left[i d_{V}\\right]_{\\mathscr{C} \\mathscr{B}^{\\prime}}$ (où $\\mathscr{C}$ désigne la base canonique de $V$ ) est orthogonale et $P^{T} A P$ est diagonale." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "import numpy as np\n", "import sympy as sp\n", "from IPython.display import display, Latex, Markdown, display_latex\n", "import plotly\n", "import plotly.graph_objects as go\n", "import sys, os\n", "sys.path.append('../Chapitre 8 - Valeurs propres, vecteurs propres, diagonalisation')\n", "from Ch8_lib import *\n", "sys.path.append('../Librairie')\n", "import AL_Fct as al\n", "from Ch10_lib import *" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "### Exercice 1\n", "Diagonalisez orthogonalement les matrices symétriques suivantes en donnant les éléments diagonaux de la matrice $D$ et la matrice orthogonale $P$ tels que : $$ P D P^T = A$$\n", "\n", "\n", "$$ A_1 = \\left(\\begin{array}{cc}2 & -4 \\\\ -4 & 2\\end{array}\\right) \\hspace{15mm}\n", "A_2 = \\left(\\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1\\end{array}\\right) $$\n", "\n", "\n", "$$A_3 = \\left(\\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 4 \\\\ 0 & -1 & 0 \\\\ 4 & 0 & -2\\end{array}\\right) \\hspace{15mm}\n", "A_4 = \\left(\\begin{array}{cccc}1 & -1 & 1 & -1 \\\\ -1 & 1 & -1 & 1 \\\\ 1 & -1 & 1 & -1 \\\\ -1 & 1 & -1 & 1\\end{array}\\right)$$" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "A1 = [[2,-4], [-4, 2]]\n", "A2 = [[1, 0, 1], [0, 0, 0], [1, 0, 1]]\n", "A3 = [[-2, 0, 4], [0, -1, 0], [4, 0, -2]]\n", "A4 = [[1, -1, 1, -1], [-1, 1, -1, 1], [1, -1, 1, -1], [-1, 1, -1, 1]]" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "# Executez cette cellule pour commencer l'exercice avec la matrice spécifié à la ligne suivante\n", "A = A1\n", "ortho_diag(A)" ] + }, + { + "cell_type": "markdown", + "metadata": {}, + "source": [ + "[Passez au notebook du chapitre 10.7 Formes quadratiques, définitions, exemples](./10.7%20Formes%20quadratiques%2C%20d%C3%A9finitions%2C%20exemples.ipynb)" + ] } ], "metadata": { "kernelspec": { "display_name": "Python 3", "language": "python", "name": "python3" }, "language_info": { "codemirror_mode": { "name": "ipython", "version": 3 }, "file_extension": ".py", "mimetype": "text/x-python", "name": "python", "nbconvert_exporter": "python", "pygments_lexer": "ipython3", "version": "3.7.2" } }, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 2 } diff --git "a/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/10.7 Formes quadratiques, d\303\251finitions, exemples.ipynb" "b/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/10.7 Formes quadratiques, d\303\251finitions, exemples.ipynb" index 323d64a..732a07e 100644 --- "a/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/10.7 Formes quadratiques, d\303\251finitions, exemples.ipynb" +++ "b/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/10.7 Formes quadratiques, d\303\251finitions, exemples.ipynb" @@ -1,122 +1,129 @@ { "cells": [ { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "import numpy as np\n", "import sympy as sp\n", "from IPython.display import display, Latex, Markdown\n", "import plotly\n", "import plotly.graph_objects as go\n", "import sys, os\n", "sys.path.append('../Chapitre 8 - Valeurs propres, vecteurs propres, diagonalisation')\n", "from Ch8_lib import *\n", "sys.path.append('../Librairie')\n", "import AL_Fct as al\n", "from Ch10_lib import *" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "### DÉFINITION：\n", "Une forme quadratique $Q$ sur $\\mathbb{R}^{n}$ est une application $Q: \\mathbb{R}^{n} \\rightarrow \\mathbb{R}$ définie par une matrice symétrique $A \\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ de telle sorte que $Q(u)=u A u^{T}$ pour tout $u \\in \\mathbb{R}^{n}$. Aussi, si $x_{1}, \\ldots, x_{n}$ sont des variables, alors l'équation $Q\\left(x_{1}, \\ldots, x_{n}\\right)=1$ définit une conique dans $\\mathbb{R}^{2}$ (respectivement, une quadrique dans $\\mathbb{R}^{3}$ )." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "### Exercice 1 :\n", "Determinez si les expressions suivantes correspondent à des formes quadratiques." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "ch10_7_ex_1_1()" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "ch10_7_ex_1_2()" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "ch10_7_ex_1_3()" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "### Exercice 2 :\n", "Trouvez la matrice symétrique $A$ telle que $\\mathbf{x}^T A \\mathbf{x} = Q(\\mathbf{x})$ avec $\\mathbf{x} = \\left(\\begin{array}{l}x_{1} \\\\ x_{2} \\\\ .. \\\\ .. \\\\ x_{n}\\end{array}\\right) $" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "ch10_7_ex_2(1)" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "ch10_7_ex_2(2)" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "ch10_7_ex_2(3)" ] + }, + { + "cell_type": "markdown", + "metadata": {}, + "source": [ + "[Passez au notebook du chapitre 10.8 Théroème des axes principaux](./10.8%20Th%C3%A9ro%C3%A8me%20des%20axes%20principaux.ipynb)" + ] } ], "metadata": { "kernelspec": { "display_name": "Python 3", "language": "python", "name": "python3" }, "language_info": { "codemirror_mode": { "name": "ipython", "version": 3 }, "file_extension": ".py", "mimetype": "text/x-python", "name": "python", "nbconvert_exporter": "python", "pygments_lexer": "ipython3", "version": "3.7.2" } }, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 2 } diff --git "a/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/10.8 Th\303\251ro\303\250me des axes principaux.ipynb" "b/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/10.8 Th\303\251ro\303\250me des axes principaux.ipynb" index c45db84..c668821 100644 --- "a/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/10.8 Th\303\251ro\303\250me des axes principaux.ipynb" +++ "b/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/10.8 Th\303\251ro\303\250me des axes principaux.ipynb" @@ -1,73 +1,115 @@ { "cells": [ { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "### THÉORÈME DES AXES PRINCIPAUX:\n", "Soient $A \\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ une matrice symétrique et $Q: \\mathbb{R}^{n} \\rightarrow \\mathbb{R}$ la forme quadratique associée. Alors il existe une matrice orthogonale $P \\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ telle que $P^{T} A P$ soit diagonale.\n", "### DÉFINITION:\n", - "Les colonnes de la matrice $P$ obtenue en appliquant le théorème des axes principaux s'appellent /es axes principaux de $Q$.\n", + "Les colonnes de la matrice $P$ obtenue en appliquant le théorème des axes principaux s'appellent les axes principaux de $Q$.\n", "### MÉTHODE POUR DÉTERMINER LES AXES PRINCIPAUX D'UNE FORME QUADRATIQUE DONNÉE：\n", "Soit $Q: \\mathbb{R}^{n} \\rightarrow \\mathbb{R}$ une forme quadratique. Pour déterminer les axes principaux de $Q$, on procède comme suit.\n", "1. Déterminer la matrice $A \\in M_{n \\times n}$ ( $\\mathbb{R}$ ) qui définit $Q,$ c'est-à-dire qui satisfait $Q(u)=u A u^{T}$ pour tout $u \\in \\mathbb{R}^{n}$.\n", "2. Diagonaliser orthogonalement la matrice $A,$ i.e. trouver une base orthonormée $\\mathscr{B}$ de $\\mathbb{R}^{n}$ formée de vecteurs propres de $A$.\n", "3. Les vecteurs de $\\mathscr{B}$ sont les axes principaux de $Q$." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "import numpy as np\n", "import sympy as sp\n", "from IPython.display import display, Latex, Markdown\n", "import plotly\n", "import plotly.graph_objects as go\n", "import sys, os\n", "sys.path.append('../Chapitre 8 - Valeurs propres, vecteurs propres, diagonalisation')\n", "from Ch8_lib import *\n", "sys.path.append('../Librairie')\n", "import AL_Fct as al\n", "from Ch10_lib import *" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "A1 = np.array([[-3, 0, 0], [0, 2, -3], [0, -3, 2]])\n", "A2 = np.array([[3, 0, 0], [0, 2, 3], [0, 3, 2]])\n", "A3 = np.array([[1, 2],[2, 1]])\n", - "A4 = np.array([[3, -1, 0], [-1, 2, 0], [0, 0, 2]])\n", + "A4 = np.array([[3, -1, 0], [-1, 2, 0], [0, 0, 1]])\n", "\n", - "plot_quad(A4, lims=3, n_points=40j)" + "# Choisissez la matrice\n", + "A = A1\n", + "\n", + "plot_quad(A, lims=4, n_points=40j)" + ] + }, + { + "cell_type": "markdown", + "metadata": {}, + "source": [ + "### Exercice 1\n", + "En effectuant un changement de variable, réécrivez les formes quadratiques $Q(x) = x^T A x$ sous forme diagonale : \n", + "\n", + "$$Q(y) = y^T D y = d_1 y_1^2 + d_2 y_2^2 + ... + d_n y_n^2$$\n", + "\n", + "Donnez les coefficients $d_1, ..., d_n$ et la matrice $S$ de changement de variable tel que $x = Sy$. \n", + "\n", + "*Indice: Les colonnes de la matrice $S$ sont les axes principaux de $Q(x)$.*" + ] + }, + { + "cell_type": "code", + "execution_count": null, + "metadata": {}, + "outputs": [], + "source": [ + "ex1_10_8(1)" + ] + }, + { + "cell_type": "code", + "execution_count": null, + "metadata": {}, + "outputs": [], + "source": [ + "ex1_10_8(2)" + ] + }, + { + "cell_type": "markdown", + "metadata": {}, + "source": [ + "[Passez au notebook du chapitre 10.9 Classification des formes quadratiques](./10.9%20Classification%20des%20formes%20quadratiques.ipynb)" ] } ], "metadata": { "kernelspec": { "display_name": "Python 3", "language": "python", "name": "python3" }, "language_info": { "codemirror_mode": { "name": "ipython", "version": 3 }, "file_extension": ".py", "mimetype": "text/x-python", "name": "python", "nbconvert_exporter": "python", "pygments_lexer": "ipython3", "version": "3.7.2" } }, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 2 } diff --git "a/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/10.9 Classification des formes quadratiques.ipynb" "b/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/10.9 Classification des formes quadratiques.ipynb" index 6632f33..8e70114 100644 --- "a/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/10.9 Classification des formes quadratiques.ipynb" +++ "b/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/10.9 Classification des formes quadratiques.ipynb" @@ -1,120 +1,164 @@ { "cells": [ { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ - "### THÉORÈME DES AXES PRINCIPAUX:\n", - "Soient $A \\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ une matrice symétrique et $Q: \\mathbb{R}^{n} \\rightarrow \\mathbb{R}$ la forme quadratique associée. Alors il existe une matrice orthogonale $P \\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ telle que $P^{T} A P$ soit diagonale.\n", - "### DÉFINITION:\n", - "Les colonnes de la matrice $P$ obtenue en appliquant le théorème des axes principaux s'appellent /es axes principaux de $Q$.\n", - "### MÉTHODE POUR DÉTERMINER LES AXES PRINCIPAUX D'UNE FORME QUADRATIQUE DONNÉE：\n", - "Soit $Q: \\mathbb{R}^{n} \\rightarrow \\mathbb{R}$ une forme quadratique. Pour déterminer les axes principaux de $Q$, on procède comme suit.\n", - "1. Déterminer la matrice $A \\in M_{n \\times n}$ ( $\\mathbb{R}$ ) qui définit $Q,$ c'est-à-dire qui satisfait $Q(u)=u A u^{T}$ pour tout $u \\in \\mathbb{R}^{n}$.\n", - "2. Diagonaliser orthogonalement la matrice $A,$ i.e. trouver une base orthonormée $\\mathscr{B}$ de $\\mathbb{R}^{n}$ formée de vecteurs propres de $A$.\n", - "3. Les vecteurs de $\\mathscr{B}$ sont les axes principaux de $Q$." + "### DÉFINITION 1:\n", + "Soit $Q: \\mathbb{R}^{n} \\rightarrow \\mathbb{R}$ une forme quadratique. On dit que $Q$ est\n", + "1. définie positive si $Q(u)>0$ pour tout $u \\in \\mathbb{R}^{n}$ non-nul;\n", + "2. définie négative si $Q(u)<0$ pour tout $u \\in \\mathbb{R}^{n}$ non-nul ;\n", + "3. non-définie si $A$ prend des valeurs positives ainsi que négatives;\n", + "4. positive si $Q(u) \\geq 0$ pour tout $u \\in \\mathbb{R}^{n}$;\n", + "5. négative si $Q(u) \\geq 0$ pour tout $u \\in \\mathbb{R}^{n}$.\n", + "\n", + "### REMARQUE 1:\n", + "Une forme quadratique définie positive (respectivement, définie négative) est toujours positive (respectivement, négative).\n", + "\n", + "### THÉORÈME 3:\n", + "Soient $A \\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ une matrice symétrique et $Q: \\mathbb{R}^{n} \\rightarrow \\mathbb{R}$ la forme quadratique associée. Alors les affirmations suivantes sont vérifiées.\n", + "1. La forme $Q$ est définie positive si et seulement si toutes les valeurs propres de $A$ sont strictement positives.\n", + "2. La forme $Q$ est définie négative si et seulement si toutes les valeurs propres de $A$ sont strictement négatives.\n", + "3. La forme $Q$ est non-définie si $A$ admet à la fois des valeurs propres positives et négatives.\n", + "\n", + "\n", + "### THÉORÈME 3 (GÉNÉRALISATION):\n", + "Soient $A \\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ une matrice symétrique et $Q: \\mathbb{R}^{n} \\rightarrow \\mathbb{R}$ la forme quadratique associée. Alors les affirmations suivantes sont vérifiées.\n", + "1. La forme $Q$ est (définie) positive si et seulement si toutes les valeurs propres de $A$ sont (strictement) positives.\n", + "2. La forme $Q$ est (définie) négative si et seulement si toutes les valeurs propres de $A$ sont (strictement) négatives.\n", + "3. La forme $Q$ est non-définie si $A$ admet à la fois des valeurs propres positives et négatives." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "import numpy as np\n", "import sympy as sp\n", "from IPython.display import display, Latex, Markdown\n", "import plotly\n", "import plotly.graph_objects as go\n", "import sys, os\n", "sys.path.append('../Chapitre 8 - Valeurs propres, vecteurs propres, diagonalisation')\n", "from Ch8_lib import *\n", "sys.path.append('../Librairie')\n", "import AL_Fct as al\n", "from Ch10_lib import *" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ - "### Exemple 1 : \n", - "Les points $x$ resolvant l'equation quadratique $x^T A x = 1$ peuvent former des figures géométriques. Voici quelques exemple que vous pouvez visualiser." + "### Exemple 1: Classification des coniques (2D) en fonction des valeurs propres\n", + "Soit une matrice symétrique $A \\in M_{2 \\times 2}$ ayant pour valeurs propres $\\lambda_1$ et $\\lambda_2$. Cette matrice définit une forme quadratique $\\mathbf{x}^T A \\mathbf{x} = 1 $ avec $\\mathbf{x}=\\left(\\begin{array}{c}\n", + "x_{1} \\\\\n", + "x_{2} \\\\\n", + "\\cdots \\\\\n", + "\\cdots \\\\\n", + "x_{n}\n", + "\\end{array}\\right)$. \n", + "Moyennant un changement de variables, on peut réécrire la forme quadratique comme $\\lambda_1 y_1^2 + \\lambda_2 y_2^2 = 1$. Cette equation peut décrire plusieurs géométries selon les signes des valeurs propres.\n", + "098\n", + "\n", + "- Si $\\lambda_1 > 0$ et $\\lambda_2 > 0$, on obtient une elipse.\n", + "- Si $\\lambda_1 > 0$ et $\\lambda_2 < 0$, on obtient une hyperbole.\n", + "- Si $\\lambda_1 = 0$ et $\\lambda_2 > 0$, on obtient deux droites.\n", + "\n", + "Les autres combinaisons n'offrent pas de solutions réelles à l'équation $\\lambda_1 y_1^2 + \\lambda_2 y_2^2 = 1$.\n", + "L'ordre de $\\lambda_1 et \\lambda_2$ n'importe pas." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ - "A1 = np.array([[-3, 0, 0], [0, 2, -3], [0, -3, 2]])\n", - "A2 = np.array([[3, 0, 0], [0, 2, 3], [0, 3, 2]])\n", - "A3 = np.array([[1, 2],[2, 1]])\n", - "A4 = np.array([[3, -1, 0], [-1, 2, 0], [0, 0, 1]])\n", + "# Elipse\n", + "A1 = np.array([[2, 0],[0, 1]])\n", "\n", - "plot_quad(A4, lims=4, n_points=40j)" + "# Hyperbole\n", + "A2 = np.array([[4, 0],[0, -5]])\n", + "\n", + "# Deux droites\n", + "A3 = np.array([[2, 0],[0, 0]])\n", + "\n", + "# Votre matrice (modifiez les valeurs)\n", + "A4 = np.array([[1, 0], [0, 1]])\n", + "\n", + "# Choisissez la matrice\n", + "A = A4\n", + "\n", + "plot_quad(A, lims=1.5, n_points=40j)" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "### Exercice 1\n", - "En effectuant un changement de variable, réécrivez les formes quadratiques $Q(x) = x^T A x$ sous forme diagonale : \n", - "\n", - "$$Q(y) = y^T D y = d_1 y_1^2 + d_2 y_2^2 + ... + d_n y_n^2$$\n", - "\n", - "Donnez les coefficients $d_1, ..., d_n$ et la matrice $S$ de changement de variable tel que $x = Sy$. \n", - "\n", - "*Indice: Les colonnes de la matrice $S$ sont les axes principaux de $Q(x)$.*" + "Déterminez si une forme quadratique est définie postive, positive, négative, définie négative ou non définie." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ - "ex1_10_8(1)" + "ex1_1_10_9()" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ - "ex1_10_8(2)" + "ex1_2_10_9()" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], - "source": [] + "source": [ + "ex1_3_10_9()" + ] + }, + { + "cell_type": "code", + "execution_count": null, + "metadata": {}, + "outputs": [], + "source": [ + "ex1_4_10_9()" + ] } ], "metadata": { "kernelspec": { "display_name": "Python 3", "language": "python", "name": "python3" }, "language_info": { "codemirror_mode": { "name": "ipython", "version": 3 }, "file_extension": ".py", "mimetype": "text/x-python", "name": "python", "nbconvert_exporter": "python", "pygments_lexer": "ipython3", "version": "3.7.2" } }, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 2 } diff --git "a/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/Ch10_lib.py" "b/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/Ch10_lib.py" index 55f3b1f..8ee7382 100644 --- "a/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/Ch10_lib.py" +++ "b/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/Ch10_lib.py" @@ -1,1199 +1,1317 @@ -import sys, os +import sys +import os import numpy as np import sympy as sp from IPython.display import display, Latex, Markdown import plotly import plotly.graph_objects as go + sys.path.append('../Chapitre 8 - Valeurs propres, vecteurs propres, diagonalisation') from Ch8_lib import * + sys.path.append('../Librairie') import AL_Fct as al import ipywidgets as widgets from ipywidgets import interact_manual, Layout from sympy import sqrt import random def points_on_circle(n, center=np.array([0, 0])): theta = 2 * np.pi / n s_pts = np.zeros((n, 2)) e_pts = np.zeros((n, 2)) for i in range(n): s_pts[i] = [np.cos(i * theta) + center[0], np.sin(i * theta) + center[1]] e_pts[i] = [np.cos((i + 1) * theta) + center[0], np.sin((i + 1) * theta) + center[1]] return np.array(s_pts), np.array(e_pts) def plot_geom_2D(s_pts, e_pts, A): n = len(s_pts) - if A.shape[0]!=2 or A.shape[1]!=2: + if A.shape[0] != 2 or A.shape[1] != 2: raise ValueError("A should be a 2 by 2 numpy array") if n != len(e_pts): raise ValueError("start_points and end_points must have same length.") layout = go.Layout(yaxis=dict(scaleanchor="x", scaleratio=1)) display(Latex("On montre la transformation provoquée par la multiplication par la matrice $A = " + al.texMatrix(A) + "$ sur une figure géométrique.")) if np.allclose(A @ A.transpose(), np.eye(2)): - display(Latex("La matrice $A = " + al.texMatrix(A) + "$ est une matrice orthogonale." )) + display(Latex("La matrice $A = " + al.texMatrix(A) + "$ est une matrice orthogonale.")) else: - display(Latex("La matrice $A = " + al.texMatrix(A) + "$ n'est pas une matrice orthogonale." )) + display(Latex("La matrice $A = " + al.texMatrix(A) + "$ n'est pas une matrice orthogonale.")) fig = go.Figure(layout=layout) color = ['black', 'red', 'blue', 'green', 'yellow', 'brown', 'grey', 'cyan', 'orange', 'violet'] n_col = len(color) if n > n_col: color = ['blue'] n_col = 1 for i in range(n): a = np.array(s_pts[i]) b = np.array(e_pts[i]) a2 = A @ a b2 = A @ b if i == 0: show_legend = True else: show_legend = False fig.add_trace(go.Scatter(x=[a[0], b[0]], y=[a[1], b[1]], line=dict(color=color[i % n_col], width=2), mode='lines+markers', showlegend=show_legend, name='Original Figure')) fig.add_trace(go.Scatter(x=[a2[0], b2[0]], y=[a2[1], b2[1]], line=dict(color=color[i % n_col], width=2, dash='dot'), mode='lines+markers', showlegend=show_legend, name='Modified Figure')) fig.show() def is_orthogonal(A): A = sp.Matrix(A) n = A.shape[0] if n != A.shape[1]: raise ValueError("A should be a square matrix") display(Latex("On cherche à savoir si la matrice $A = " + latexp(A) + "$ est orthogonale en utilisant la " + "définition 1.")) if A.is_lower or A.is_upper: for i in range(n): if A[i, i] != 1 and A[i, i] != -1: display(Latex("Les valeurs propres de $A$ sont ses éléments diagonaux. Une des valeurs propres de " + "$A$ est différente de 1 ou -1. Il existe donc un vecteur propres $v$ de $A$ tel " + " que $A v = \lambda v$ avec $\lambda \\neq \pm 1$. Donc dans ce cas on a $\|A v\| " + "\\neq \|v\| $." )) return v = sp.zeros(n, 1) for i in range(n): symb_name = "x_" + str(i + 1) v[i] = sp.symbols(symb_name, real=True) b = A * v b_norm = b.norm() ** 2 v_norm = v.norm() ** 2 display(Latex("Il faut vérifier si $\|A v\| = \|v\|$ pour tout $v \in \mathbb{R}^" + str(n) + "$." + " On utilise le carré des normes pour s'affranchir des racines carrées.")) display(Latex("On calcule d'abord la norme au carré de $v$ et on obtient : $\|v\|^2 = " + sp.latex(v_norm) + "$.")) display(Latex("On calcule ensuite le produit $Av = " + latexp(b) + "$")) if sp.simplify(b_norm) != b_norm: display(Latex("On calcule la norme au carré de $Av$ et on obtient : $\|Av\|^2 = " + sp.latex(b_norm) + "=" + sp.latex(sp.simplify(b_norm)) + "$")) else: display(Latex("On calcule la norme au carré de $Av$ et on obtient : $\|Av\|^2 = " + sp.latex(b_norm) + "$")) if sp.simplify(b_norm - v_norm) == 0: display(Latex("Les normes sont toujours égales. La matrice est donc orthogonale.")) else: display(Latex("Les normes sont différente. La matrice n'est donc pas orthogonale.")) def interactive_is_orthogonal(A): A = sp.Matrix(A) n = A.shape[0] if n != A.shape[1]: raise ValueError("A should be a square matrix") display(Latex("La matrice suivante est-elle orthogonale ? $A = " + latexp(A) + "$")) answer = widgets.RadioButtons(options=["Oui", "Non"], description="Réponse : ", disabled=False) - sol = A.transpose()*A - sp.eye(n) == sp.zeros(n) + sol = A.transpose() * A - sp.eye(n) == sp.zeros(n) display(answer) def f(): if answer.value == "Oui": answer_bool = True else: answer_bool = False if answer_bool == sol: display(Latex("Correct !")) else: display(Latex("Incorrect")) - interact_manual(f) display(Latex("Si vous n'arrivez pas à trouver la solution, vous pouvez afficher la solution détaillée en" " cliquant ici")) def f_sol(): is_orthogonal(A) im = interact_manual(f_sol) im.widget.children[0].description = 'Solution' def ortho_diag(A): - A = sp.Matrix(A) n = A.shape[0] if A - A.transpose() != sp.zeros(n): display(Latex("La matrice $A = " + latexp(A) + "$ n'est pas orthogonalement diagonalisable car elle n'est pas " - "symétrique.")) + "symétrique.")) return eig = A.eigenvals() eig_list = list(eig.keys()) eig_list.sort() display(Latex("On cherche à diagonaliser orthogonalement la matrice $ A = " + latexp(A) + "$.")) default_value_P = str(np.ones(A.shape, dtype=np.int16).tolist()) default_value_P = default_value_P.replace("],", "],\n") default_value_D = str(np.ones(A.shape[0], dtype=np.int16).tolist()) answer_P = widgets.Text(value=default_value_P, description='P: ', disabled=False) answer_D = widgets.Text(value=default_value_D, description='D: ', disabled=False) display(Latex("Pour les réponses aux questions suivantes, ne faites pas d'approximations numériques, " "toutes les valeurs doivent être exactes. Pour les racines carrées " "(utiles pour normaliser les vecteurs), utilisez 'sqrt('votre valeur')', ex: sqrt(2).")) display(Latex("Donnez les éléments diagonaux de la matrice $D$")) display(answer_D) display(Latex("Donnez la matrice P permettant de diagonaliser orthogonalement la matrice $A$ de sorte que " "$ A = PDP^T = PDP^{-1} $")) - display(answer_P) - def f(): P_user = eval(answer_P.value) P_user = sp.Matrix(P_user) - D_diag= eval(answer_D.value) + D_diag = eval(answer_D.value) D_diag_order = set(D_diag.copy()) D_diag_order = list(D_diag_order) D_diag_order.sort() D_user = sp.zeros(n) for i in range(n): D_user[i, i] = D_diag[i] D_user = sp.Matrix(D_user) if np.allclose(np.array(D_diag_order, dtype=np.float64), np.array(eig_list, dtype=np.float64)): - if P_user*P_user.transpose()-sp.eye(n) == sp.zeros(n): + if P_user * P_user.transpose() - sp.eye(n) == sp.zeros(n): if P_user * D_user * P_user.transpose() - A == sp.zeros(n): display(Latex("Correct !")) else: display(Latex("Incorrect. On a $PDP^{T}\\neq A$ avec $P = " + latexp(P_user) + "$ et $D =" + latexp(D_user) + "$.")) else: display(Latex("La matrice $P = " + latexp(P_user) + "$ n'est pas orthogonale, i.e. $P P^{T} \\neq I$.")) else: display(Latex("Incorrect. " "Les éléments diagonaux de $D$ ne correspondent pas aux valeurs propres de la matrice $A$.")) return interact_manual(f) def correction_ortho_diag(): - display(Latex("Pour diagonaliser orthogonalement une matrice, on a applique la méthode donnée dans le cours et rappelée plus haut")) + display(Latex( + "Pour diagonaliser orthogonalement une matrice, on a applique la méthode donnée dans le cours et rappelée plus haut")) lamda = sp.symbols('lamda') poly_char_exp = sp.expand(A.charpoly(lamda).as_expr()) poly_char_fac = sp.factor(A.charpoly(lamda).as_expr()) poly_char_exp_str = sp.latex(poly_char_exp) poly_char_fac_str = sp.latex(poly_char_fac) display(Latex("Le polynôme caractéristique de $A$ s'exprime comme: $c_A (t) = " + poly_char_exp_str + "$.")) display(Latex("On trouve les racines du polynôme caractéristique et on factorise. On obtient $c_A (t) = " + poly_char_fac_str + "$.")) eig_list_ = list(eig.keys()) mult_list_ = list(eig.values()) display(Latex("On obtient donc les valeurs propres $\lambda$ et leur multiplicité respective $m$: " " $ \lambda = " + sp.latex(eig_list_) + " \hspace{10mm} m = " + sp.latex(mult_list_) + "$.")) - display(Markdown("**On trouve une base orthonormée pour tous les espaces propres.**")) final_basis = [] P = sp.Matrix([]) k = 0 for l in eig_list_: basis_orthonorm = [] basis, basic_idx, free_idx = eigen_basis(A, l, prop_basis=None, disp=True, return_=True, dispA=False) for v in basis: if np.all(v == np.round(v)): v = v.astype(np.int16) basis_orthonorm.append(sp.Matrix(v)) basis_orthonorm = sp.GramSchmidt(basis_orthonorm, True) for v in basis_orthonorm: final_basis.append(v) P = P.col_insert(k, v) - k+=1 + k += 1 display(Latex("On applique le procédé de Gram-Schmidt pour obtenir des vecteurs de norme 1 et orthogonaux. " "On obtient $" + sp.latex(basis_orthonorm) + "$")) display(Latex("Finalement, on construit la matrice $P$ en utilisant chaque vecteur de base " - "trouvé précedemment comme colonne de cette matrice. Cette dernière est bien orthogonale car " - "les vecteurs de base sont orthogonaux entre eux et tous de norme unitaire. " - "On construit la matrice $D$ en plaçant les valeurs propres de $A$ sur la diagonale. " - "Le placement des valeurs propres sur la diagonale de $D$ " - "doit correspondre avec celui des vecteurs propres dans $P$.")) + "trouvé précedemment comme colonne de cette matrice. Cette dernière est bien orthogonale car " + "les vecteurs de base sont orthogonaux entre eux et tous de norme unitaire. " + "On construit la matrice $D$ en plaçant les valeurs propres de $A$ sur la diagonale. " + "Le placement des valeurs propres sur la diagonale de $D$ " + "doit correspondre avec celui des vecteurs propres dans $P$.")) D = sp.zeros(n) i = 0 for idx in range(len(eig_list_)): for _ in range(mult_list_[idx]): D[i, i] = eig_list_[idx] i += 1 display(Latex("On obtient $P = " + latexp(P) + "\hspace{5mm} \mbox{et} \hspace{5mm} D = " + latexp(D) + "$")) display(Latex("On vérifie le résultat par un calcul :")) - display(Latex("$P D P^T = "+ latexp(P) + latexp(D) + latexp(P.transpose()) + " = " + latexp(P*D*P.transpose()) + - "=A$")) + display(Latex( + "$P D P^T = " + latexp(P) + latexp(D) + latexp(P.transpose()) + " = " + latexp(P * D * P.transpose()) + + "=A$")) - display(Latex("Si vous n'arrivez pas à résoudre l'exercice, vous pouvez afficher la solution étape " + display(Latex("Si vous n'arrivez pas à résoudre l'exercice, vous pouvez afficher la solution étape " "par étape en cliquant ici.")) im = interact_manual(correction_ortho_diag) im.widget.children[0].description = 'Solution' def nl(): return "$$ $$" def sol_is_ortho(A): A = sp.Matrix(A) n = A.shape[0] if n != A.shape[1]: display(Latex("La matrice $A = " + latexp(A) + "$ n'est pas carrée !")) return display(Latex("Pour vérifier si la matrice $A$ est orthogonale, on effectue dans cette correction " "le produit de $A$ et de sa transposée $A^T$." " On vérifie ensuite si l'on obtient la matrice identité.")) - if sp.simplify(A*A.transpose()-sp.eye(n)) == sp.zeros(n): - display(Latex("On a que : $A A^T = " + latexp(A) + latexp(A.transpose()) + "= " + latexp(sp.eye(n)) + "= I_n $")) + if sp.simplify(A * A.transpose() - sp.eye(n)) == sp.zeros(n): + display( + Latex("On a que : $A A^T = " + latexp(A) + latexp(A.transpose()) + "= " + latexp(sp.eye(n)) + "= I_n $")) display(Latex("La matrice $A$ est donc orthogonale.")) else: display(Latex("On a que : $A A^T = " + latexp(A) + latexp(A.transpose()) + "\\neq I_n $")) display(Latex("Par consequent, la matrice $A$ n'est pas orthogonale.")) return def is_ortho_10_2(A): A = sp.Matrix(A) n = A.shape[0] display(Latex("La matrice $A =" + latexp(A) + "$ est-elle orthogonale ?")) answer = widgets.RadioButtons(options=["Oui", "Non"], description="Réponse : ", disabled=False) display(answer) sol = sp.simplify(A * A.transpose() - sp.eye(n)) == sp.zeros(n) if n != A.shape[1]: sol = False def f(): if answer.value == "Oui": answer_bool = True else: answer_bool = False if answer_bool == sol: display(Latex("Correct !")) else: display(Latex("Incorrect")) if sol: display(Latex("La matrice $A$ est orthogonale.")) else: display(Latex("La matrice $A$ n'est pas orthogonale.")) interact_manual(f) def f_sol(): sol_is_ortho(A) display(Latex("Pour afficher la solution, cliquez-ici.")) im = interact_manual(f_sol) im.widget.children[0].description = 'Solution' - def vf_10_2_2(): display(Latex("Soit $A \in M_{n \\times n}(\mathbb{R})$ une matrice orthogonale. On construit la matrice" " $B \in M_{n \\times n}(\mathbb{R})$ en réarrangeant les colonnes de $A$ dans un ordre quelquonque. " "La matrice $B$ est aussi orthogonale.")) answer = widgets.RadioButtons(options=["Vrai", "Faux"], description="Réponse : ", disabled=False) display(answer) def f(): - if answer.value=="Vrai": + if answer.value == "Vrai": display(Latex("Correct ! En effet, si l'ordre des colonnes est modifié, l'ensemble de ces dernières reste " "toujours une base orthonormée de l'espace $V$. " "La proposition (5) est donc vérifiée pour la matrice $B$.")) else: display(Latex("Incorrect, changez votre réponse !")) - interact_manual(f) + def vf_10_2_3(): display(Latex("Soit $A \in M_{n \\times n}(\mathbb{R})$ une matrice orthogonale. On construit la matrice" " $B \in M_{n \\times n}(\mathbb{R})$ en réarrangeant les lignes de $A$ dans un ordre quelquonque. " "La matrice $B$ est aussi orthogonale.")) answer = widgets.RadioButtons(options=["Vrai", "Faux"], description="Réponse : ", disabled=False) display(answer) def f(): - if answer.value=="Vrai": + if answer.value == "Vrai": display(Latex("Correct ! En effet, si l'ordre des lignes est modifié, l'ensemble de ces dernières reste " "toujours une base orthonormée de l'espace $V$. " "La proposition (4) est donc vérifiée pour la matrice $B$.")) else: display(Latex("Incorrect, changez votre réponse !")) interact_manual(f) def vf_10_2_1(): display(Latex("Soit $A \in M_{n \\times n}(\mathbb{R})$ une matrice orthogonale. $A^T$ est aussi orthogonale.")) answer = widgets.RadioButtons(options=["Vrai", "Faux"], description="Réponse : ", disabled=False) display(answer) def f(): if answer.value == "Vrai": display(Latex("Correct ! En effet, comme $A$ est orthogonale, on sait que ses colonnes forment " "une base orthonormée de l'espace $V$. Comme les lignes de $A^T$ sont les colonnes de $A$, " "alors la proposition (4) est vérifiée pour $A^T$, i.e. les lignes de $A^T$ forment une base " "orthonormée de $V$. $A^T$ est donc une matrice orthogonale.")) else: display(Latex("Incorrect, changez votre réponse !")) interact_manual(f) def vf_10_2_4(): display(Latex("Soit $A \in M_{n \\times n}(\mathbb{R})$ une matrice ayant une valeur propre $\lambda = 2$. " "Il est possible que $A$ soit orthogonale.")) answer = widgets.RadioButtons(options=["Vrai", "Faux"], description="Réponse : ", disabled=False) display(answer) def f(): if answer.value == "Faux": - display(Latex("Correct ! Etant donné que $A$ a pour valeur propre $\lambda=2$, cela signifique qu'il existe " - "un vecteur $v$ tel que $A v = 2 v$. Donc la matrice $A$ ne conserve pas toujours les longeurs lors " - "d'une multiplication avec un vecteur. La proposition (1) n'est pas vérifiée." - " $A$ ne peut donc pas être orthogonale.")) + display( + Latex("Correct ! Etant donné que $A$ a pour valeur propre $\lambda=2$, cela signifique qu'il existe " + "un vecteur $v$ tel que $A v = 2 v$. Donc la matrice $A$ ne conserve pas toujours les longeurs lors " + "d'une multiplication avec un vecteur. La proposition (1) n'est pas vérifiée." + " $A$ ne peut donc pas être orthogonale.")) else: display(Latex("Incorrect, changez votre réponse !")) interact_manual(f) def vf_10_4_1(): display(Markdown("**Dire si l'affirmation suivante est vraie ou fausse.**")) display(Latex("La matrice $A$ est orthogonalement diagonalisable.")) n_pos = [3, 4, 5] n = random.choice(n_pos) sym = bool(random.getrandbits(1)) A = sp.randMatrix(n, symmetric=sym, percent=70, min=-20, max=20) - - if sp.simplify(A-A.transpose())==sp.zeros(n): + if sp.simplify(A - A.transpose()) == sp.zeros(n): sol = True else: sol = False display(Latex("$A = " + latexp(A) + "$")) answer = widgets.RadioButtons(options=["Vrai", "Faux"], description="Réponse : ", disabled=False) display(answer) def f(): if answer.value == "Vrai": answer_value = True else: answer_value = False if answer_value == sol: display(Latex("Correct ! ")) if sol: display(Latex("La matrice $A$ est orthogonalement diagonalisable car elle est symétrique.")) else: display(Latex("La matrice $A$ n'est pas orthogonalement diagonalisable car elle n'est pas symétrique.")) else: display(Latex("Incorrect, changez votre réponse.")) interact_manual(f) def quest_10_4_2(): A = sp.Matrix([[2, -4], [1, -1]]) charpol = A.charpoly().as_expr() * -1 display(Latex("Soit $A$ une matrice carrée ayant pour polynome caractéristique $c_A(\lambda) = " + sp.latex(charpol) + "$")) display(Latex("La matrice $A$ est-elle symétrique ?")) - answer = widgets.RadioButtons(options=["Oui", "Pas nécessairement", "Non"], description="Réponse : ", disabled=False) + answer = widgets.RadioButtons(options=["Oui", "Pas nécessairement", "Non"], description="Réponse : ", + disabled=False) display(answer) sol = "Non" def f(): if answer.value == sol: display(Latex("Correct !")) else: display(Latex("Incorrect.")) interact_manual(f) def f_sol(): display(Latex("Le polynome caractéristique de $A$ admet une ou des racine(s) non réelle(s). " "Donc la matrice $A$ ne peut pas être symétrique.")) display(Latex("Pour afficher la solution détaillée, cliquez-ici.")) im = interact_manual(f_sol) im.widget.children[0].description = 'Solution' def quest_10_4_3(): # Non symmetric values - A = sp.Matrix([[0, -1, -4], [0, 0, -2], [0, -2, 0]]) - charpol = A.charpoly().as_expr()*-1 + A = sp.Matrix([[0, -1, -4], [0, 0, -2], [0, -2, 0]]) + charpol = A.charpoly().as_expr() * -1 charpol = charpol.factor() - display(Latex("Soit $A$ une matrice carrée ayant pour polynome caractéristique $c_A(\lambda) = " + sp.latex(charpol) + "$")) + display(Latex( + "Soit $A$ une matrice carrée ayant pour polynome caractéristique $c_A(\lambda) = " + sp.latex(charpol) + "$")) display(Latex("La matrice $A$ est-elle symétrique ?")) - answer = widgets.RadioButtons(options=["Oui", "Pas nécessairement", "Non"], description="Réponse : ", disabled=False) + answer = widgets.RadioButtons(options=["Oui", "Pas nécessairement", "Non"], description="Réponse : ", + disabled=False) display(answer) sol = "Pas nécessairement" def f(): if answer.value == sol: display(Latex("Correct !")) else: display(Latex("Incorrect.")) interact_manual(f) def f_sol(): A2 = sp.Matrix([[0, 0, 0], [0, 2, 0], [0, 0, -2]]) - display(Latex("On sait que le polynome caractéristique d'une matrice symétrique admet uniquement des racines réelles. " - "Or la réciproque est fausse, i.e., les polynomes caractéristiques à racines réelles peuvent être issus de matrices non symétriques. " + nl() + - "On voit que le polynome caractéristique $c_A(\lambda)$ a uniquement des racines réelles mais cela ne suffit pas pour conclure que $A$ est symétrique. ")) + display(Latex( + "On sait que le polynome caractéristique d'une matrice symétrique admet uniquement des racines réelles. " + "Or la réciproque est fausse, i.e., les polynomes caractéristiques à racines réelles peuvent être issus de matrices non symétriques. " + nl() + + "On voit que le polynome caractéristique $c_A(\lambda)$ a uniquement des racines réelles mais cela ne suffit pas pour conclure que $A$ est symétrique. ")) display(Latex("La bonne réponse est donc: Pas nécessairement")) display(Latex("Dans ce cas précis, les matrices $A_1 =" + latexp(A) + "$ et $A_2 = " + latexp(A2) + "$ ont " - "toutes les deux $c_A(\lambda)$ pour polynome caractéristique. On voit que une des matrices est symétrique et l'autre pas.")) - + "toutes les deux $c_A(\lambda)$ pour polynome caractéristique. On voit que une des matrices est symétrique et l'autre pas.")) display(Latex("Pour afficher la solution détaillée, cliquez-ici.")) im = interact_manual(f_sol) im.widget.children[0].description = 'Solution' def exo_2_1_10_4(): v1 = sp.Matrix([3, 4]) - v2 = sp.Matrix([-1, 1/2]) + v2 = sp.Matrix([-1, 1 / 2]) display(Latex("La matrice $A \in M_{2 \\times 2}$ ( $\mathbb{R}$ ) a pour valeur propres $3$ et $-2$. " "$" + latexp(v1) + "\mbox{ et } " + latexp(v2) + "$ sont des vecteurs propres de $A$ respectivement " "associés aux valeurs propres $3$ et $-2$. ")) display(Latex("La matrice $A$ est-elle symétrique ?")) - answer = widgets.RadioButtons(options=["Oui", "Non", "Manque d'informations"], description="Réponse : ", disabled=False) + answer = widgets.RadioButtons(options=["Oui", "Non", "Manque d'informations"], description="Réponse : ", + disabled=False) display(answer) sol = "Non" def f(): if answer.value == sol: display(Latex("Correct !")) else: display(Latex("Incorrect.")) interact_manual(f) def f_sol(): display(Latex("Les vecteurs propres $" + latexp(v1) + "$ et $" + latexp(v2) + "$ sont associés à des valeurs propres différentes mais ne sont pas orthogonaux. " "La matrice $A$ ne peut donc pas être symétrique.")) display(Latex("Pour afficher la solution détaillée, cliquez ici.")) im = interact_manual(f_sol) im.widget.children[0].description = 'Solution' def exo_2_2_10_4(): v1 = sp.Matrix([1, 0, 2]) v2 = sp.Matrix([-2, 0, -4]) v3 = sp.Matrix([2, 5, -1]) display(Latex("La matrice $A \in M_{3 \\times 3}$ ( $\mathbb{R}$ ) a pour valeur propres $4$ et $2$. " - "$" + latexp(v1) + ", " + latexp(v2) + "\mbox{ et } " + latexp(v3) + "$ sont des vecteurs propres de $A$ respectivement " - "associés aux valeurs propres $4$, $4$ et $-2$. ")) + "$" + latexp(v1) + ", " + latexp(v2) + "\mbox{ et } " + latexp( + v3) + "$ sont des vecteurs propres de $A$ respectivement " + "associés aux valeurs propres $4$, $4$ et $-2$. ")) display(Latex("La matrice $A$ est-elle symétrique ?")) opt = ["Oui", "Non", "Manque d'informations"] answer = widgets.RadioButtons(options=opt, description="Réponse : ", disabled=False) display(answer) sol = opt[2] def f(): if answer.value == sol: display(Latex("Correct !")) else: display(Latex("Incorrect.")) interact_manual(f) def f_sol(): display(Latex("Les vecteurs propres associés à des valeurs propres différentes sont bien orthogonaux. " "Mais on ne connait pas la dimension de l'espace propre associé à $\lambda = 4$ car les deux " "vecteurs donnés dans l'énoncé, $ " + latexp(v1) + " \mbox{ et } " + latexp(v2) + "$, " - "sont colinéaires." + nl() + + "sont colinéaires." + nl() + "Pour connaitre la dimension de cette espace, il faudrait une base de ce dernier. " "Cela permettrait de vérifier si la dimension de l'espace est de 2 et si tous les vecteurs de " "cet espace sont orthogonaux aux vecteurs composant l'espace propre associé à $\lambda = 2$. " "Si ces deux conditions étaient vérifiées, la matrice $A$ serait symétrique.")) display(Latex("Il manque donc d'informations pour répondre.")) display(Latex("Pour afficher la solution détaillée, cliquez ici.")) im = interact_manual(f_sol) im.widget.children[0].description = 'Solution' def exo_2_3_10_4(): v1 = sp.Matrix([1, 0, 1]) v2 = sp.Matrix([-2, 0, 1]) v3 = sp.Matrix([0, 3, 0]) display(Latex("La matrice $A \in M_{3 \\times 3}$ ( $\mathbb{R}$ ) a pour valeur propres $-1$, $2$ et $4$. " - "$" + latexp(v1) + ", " + latexp(v2) + "\mbox{ et } " + latexp(v3) + "$ sont des vecteurs propres de $A$ respectivement " - "associés aux valeurs propres $-1$, $2$ et $4$. ")) + "$" + latexp(v1) + ", " + latexp(v2) + "\mbox{ et } " + latexp( + v3) + "$ sont des vecteurs propres de $A$ respectivement " + "associés aux valeurs propres $-1$, $2$ et $4$. ")) display(Latex("La matrice $A$ est-elle symétrique ?")) opt = ["Oui", "Non", "Manque d'informations"] answer = widgets.RadioButtons(options=opt, description="Réponse : ", disabled=False) display(answer) sol = opt[1] def f(): if answer.value == sol: display(Latex("Correct !")) else: display(Latex("Incorrect.")) interact_manual(f) def f_sol(): display(Latex("Les vecteurs propres $" + latexp(v1) + "$ et $" + latexp(v2) + "$ sont associés à des valeurs propres différentes mais ne sont pas orthogonaux. " "La matrice $A$ ne peut donc pas être symétrique.")) - display(Latex("Pour afficher la solution détaillée, cliquez ici.")) im = interact_manual(f_sol) im.widget.children[0].description = 'Solution' def exo_2_4_10_4(): v1 = sp.Matrix([1, 0, 1]) v2 = sp.Matrix([-2, 0, 1]) v3 = sp.Matrix([0, 3, 0]) display(Latex("La matrice $A \in M_{3 \\times 3}$ ( $\mathbb{R}$ ) a pour valeur propres $-1$, et $4$. " - "$" + latexp(v1) + ", " + latexp(v2) + "\mbox{ et } " + latexp(v3) + "$ sont des vecteurs propres de $A$ respectivement " - "associés aux valeurs propres $-1$, $-1$ et $4$. ")) + "$" + latexp(v1) + ", " + latexp(v2) + "\mbox{ et } " + latexp( + v3) + "$ sont des vecteurs propres de $A$ respectivement " + "associés aux valeurs propres $-1$, $-1$ et $4$. ")) display(Latex("La matrice $A$ est-elle symétrique ?")) opt = ["Oui", "Non", "Manque d'informations"] answer = widgets.RadioButtons(options=opt, description="Réponse : ", disabled=False) display(answer) sol = opt[0] def f(): if answer.value == sol: display(Latex("Correct !")) else: display(Latex("Incorrect.")) interact_manual(f) def f_sol(): base_1 = sp.GramSchmidt([v1, v2], orthonormal=True) base_4 = sp.GramSchmidt([v3], orthonormal=True) - display(Latex("Les vecteurs propres $" + latexp(v1) + "$ et $" + latexp(v2) + "$ associés à $\lambda = -1$ sont linéairement indépendant " - "et orthogonaux au vecteur propre $" + latexp(v3) + "$ associé à $\lambda = 4$. " - "On peut utiliser ces deux ensembles de vecteurs propres pour former des bases des espaces propres " - "associés à $\lambda = -1$ et $\lambda = 4$, respectivement. " - "On peut othogonaliser et normaliser ces bases avec le schema de Gram-Schmidt.")) + display(Latex("Les vecteurs propres $" + latexp(v1) + "$ et $" + latexp( + v2) + "$ associés à $\lambda = -1$ sont linéairement indépendant " + "et orthogonaux au vecteur propre $" + latexp(v3) + "$ associé à $\lambda = 4$. " + "On peut utiliser ces deux ensembles de vecteurs propres pour former des bases des espaces propres " + "associés à $\lambda = -1$ et $\lambda = 4$, respectivement. " + "On peut othogonaliser et normaliser ces bases avec le schema de Gram-Schmidt.")) - display(Latex("On obtient les bases des espaces propres associées respectivement à $\lambda = -1$ et $\lambda = 4$")) + display(Latex( + "On obtient les bases des espaces propres associées respectivement à $\lambda = -1$ et $\lambda = 4$")) display(Latex("$ " + latexp(base_1[0]) + ", " + latexp(base_1[1]) + "\hspace{15mm} " + latexp(base_4[0]) + "$")) - display(Latex("On voit que l'espace $V = \mathbb{R}^3$ possède une base othornormée composée de vecteurs propres de $A$. " - "La transformation associée à la matrice $A$ est donc orthogonalement diagonalisable et $A$ est donc symétrique.")) - + display(Latex( + "On voit que l'espace $V = \mathbb{R}^3$ possède une base othornormée composée de vecteurs propres de $A$. " + "La transformation associée à la matrice $A$ est donc orthogonalement diagonalisable et $A$ est donc symétrique.")) display(Latex("Pour afficher la solution détaillée, cliquez ici.")) im = interact_manual(f_sol) im.widget.children[0].description = 'Solution' def ex_3_1_10_4(): l_1 = 2 l_2 = -1 v_1 = sp.Matrix([1, -1]) display(Latex("Trouver une matrice $A \in M_{2 \\times 2} (\mathbb{R})$ symétrique ayant pour valeurs propres 2 " "et -1 et $" + latexp(v_1) + "$ comme vecteur propres associé à $\lambda = 2$.")) default_value_A = str(np.ones((2, 2), dtype=np.int16).tolist()) answer = widgets.Text(value=default_value_A, description='A: ', disabled=False, display='flex') display(answer) def f(): A = eval(answer.value) A = sp.Matrix(A) if A.shape[0] != 2 or A.shape[1] != 2: display(Latex("Incorrect, la matrice doit être carrée et 2x2.")) return if sp.simplify(A - A.transpose()) != sp.zeros(2): display(Latex("Incorrect, la matrice n'est pas symétrique !")) return eig = A.eigenvals() eig_list = list(eig.keys()) if l_1 not in eig_list or l_2 not in eig_list: if l_1 not in eig_list: display(Latex("Incorrect, 2 n'est pas une valeur propre de la matrice rentrée.")) if l_2 not in eig_list: display(Latex("Incorrect, -1 n'est pas une valeur propre de la matrice rentrée.")) return - A_v = A*v_1 + A_v = A * v_1 if sp.simplify(A_v - l_1 * v_1) != sp.zeros(2, 1): display(Latex("Incorrect, le vecteur $" + latexp(v1) + "$ n'est pas un vecteur propre de $A$ associé à " "la valeur propre $\lambda = 2$.")) return display(Latex("Correct !")) interact_manual(f) def f_sol(): display(Latex("On utilise la formule $A=PDP^T$ pour constuire la matrice symetrique $A$. $P$ est une matrice " "orthogonale composée de vecteurs propres de $A$ et $D$ est une matrice diagonale avec les valeurs" " propres de $A$ sur la diagonale. ")) - D = sp.Matrix([[2, 0],[0, -1]]) + D = sp.Matrix([[2, 0], [0, -1]]) display(Latex("On construit simplement la matrice $D =" + latexp(D) + "$")) v_2 = sp.Matrix([1, 1]) display(Latex("On ne dispose pas d'informations sur les vecteurs propres associés à $\lambda = -1$. " "Mais pour obtenir une matrice symétrique on sait que $P$ est orthogonale, " - "donc il faut trouver un vecteur propre orthogonal à $" + latexp(v_1) + "$. Simplement, on prend $" + latexp(v_2) + "$.")) + "donc il faut trouver un vecteur propre orthogonal à $" + latexp( + v_1) + "$. Simplement, on prend $" + latexp(v_2) + "$.")) display(Latex("On normalise les deux vecteurs propres orthogonaux et on forme les colonnes de $P$. " "Chaque vecteur est placé dans la même colonne que sa valeur propre correspondante dans $D$.")) - P = sp.Matrix([[1, 1], [-1, 1]])/sp.sqrt(2) + P = sp.Matrix([[1, 1], [-1, 1]]) / sp.sqrt(2) display(Latex("On obtient $P = " + latexp(P) + "$.")) - A = P*D*P.transpose() - - display(Latex("$A = P D P^T = " + latexp(P) + latexp(D) + latexp(P.transpose()) + "=" + latexp(A) +"$")) + A = P * D * P.transpose() + display(Latex("$A = P D P^T = " + latexp(P) + latexp(D) + latexp(P.transpose()) + "=" + latexp(A) + "$")) display(Latex("Pour afficher la solution détaillée, cliquez ici.")) im = interact_manual(f_sol) im.widget.children[0].description = 'Solution' def ch10_7_ex_1_1(): x1, x2, x3, x4 = sp.symbols("x_1 x_2 x_3 x_4") - Q = x1**2 - 5*x1*x2 + x1*x3 - x1*x4 + 4*x2**2 + 2*x2*x3 - 4*x2*x4 + x3**2 + x3*x4 - x4**2 + Q = x1 ** 2 - 5 * x1 * x2 + x1 * x3 - x1 * x4 + 4 * x2 ** 2 + 2 * x2 * x3 - 4 * x2 * x4 + x3 ** 2 + x3 * x4 - x4 ** 2 sol = "Oui" display(Latex("Le polynôme $Q = " + sp.latex(Q) + "$ est-il une forme quadratique ?")) answer = widgets.RadioButtons(options=["Oui", "Non"], description="Réponse : ", disabled=False) display(answer) def f(): if answer.value == sol: display(Latex("Correct ! ")) - display(Latex("Le polynôme $Q = "+ sp.latex(Q) + "$ est une forme quadratique car " - "il contient uniquement des termes d'ordre 2.")) + display(Latex("Le polynôme $Q = " + sp.latex(Q) + "$ est une forme quadratique car " + "il contient uniquement des termes d'ordre 2.")) else: display(Latex("Incorrect, changez votre réponse.")) interact_manual(f) def ch10_7_ex_1_2(): x1, x2, x3 = sp.symbols("x_1 x_2 x_3") - Q = (x1 + x2)**2 + (x3 - 1)**2 + Q = (x1 + x2) ** 2 + (x3 - 1) ** 2 sol = "Non" display(Latex("Le polynôme $Q = " + sp.latex(Q) + "$ est-il une forme quadratique ?")) answer = widgets.RadioButtons(options=["Oui", "Non"], description="Réponse : ", disabled=False) display(answer) def f(): if answer.value == sol: display(Latex("Correct ! ")) display(Latex("Le polynôme $Q = " + sp.latex(Q) + "$ n'est pas une forme quadratique car " "il ne contient pas uniquement des termes d'ordre 2.")) display(Latex("On peut developper $Q$ pour expliciter l'ordre de chaque terme.")) display(Latex("$$ Q = " + sp.latex(Q.expand()) + "$$")) else: display(Latex("Incorrect, changez votre réponse.")) interact_manual(f) def ch10_7_ex_1_3(): x1, x2, x3 = sp.symbols("x_1 x_2 x_3") - Q = 3 * x1 ** 2 + x1 * x2 + x2 ** 2 + 2 * x2 * x3 - x1 * x3 + x3 ** 3 + Q = 3 * x1 ** 2 + x1 * x2 + x2 ** 2 + 2 * x2 * x3 - x1 * x3 + x3 ** 3 sol = "Non" display(Latex("Le polynôme $Q = " + sp.latex(Q) + "$ est-il une forme quadratique ?")) answer = widgets.RadioButtons(options=["Oui", "Non"], description="Réponse : ", disabled=False) display(answer) def f(): if answer.value == sol: display(Latex("Correct ! ")) display(Latex("Le polynôme $Q = " + sp.latex(Q) + "$ n'est pas une forme quadratique car " "il ne contient pas uniquement des termes d'ordre 2.")) else: display(Latex("Incorrect, changez votre réponse.")) interact_manual(f) def ch10_7_ex_2(n): x1, x2, x3, x4, x5 = sp.symbols("x_1 x_2 x_3 x_4 x_5") x_list = [sp.Matrix([x1, x2]), sp.Matrix([x1, x2, x3]), sp.Matrix([x1, x2, x3, x4])] A1 = sp.Matrix([[-2, 3], [3, 4]]) - A2 = sp.Matrix([[1, 0, 3], [0, -2, -1/4], [3, -1/4, 4]]) + A2 = sp.Matrix([[1, 0, 3], [0, -2, -1 / 4], [3, -1 / 4, 4]]) A3 = sp.Matrix([[-1, -1, 3, 0], [-1, -2, 0, 4], [3, 0, 0, -1], [0, 4, -1, 2]]) A_list = [A1, A2, A3] - A = A_list[n-1] - x = x_list[n-1] + A = A_list[n - 1] + x = x_list[n - 1] Q = x.dot(A * x).expand() display(Latex("Rentrez la matrice symétrique $A$ telle que $\mathbf{x}^T A \mathbf{x} = Q(\mathbf{x})$ " "avec $\mathbf{x} = " + latexp(x) + "$")) display(Latex("où $Q(\mathbf{x}) = " + sp.latex(Q) + "$")) default_value_A = str(np.ones(A.shape, dtype=np.int16).tolist()) answer = widgets.Text(value=default_value_A, description='A = ', disabled=False, layout=widgets.Layout(width='600px')) display(answer) def f(): A_user = eval(answer.value) A_user = sp.Matrix(A_user) display(Latex("Vous avez rentré la matrice $A_{user} = " + latexp(A_user) + "$")) if A_user.shape != A.shape: display(Latex("Incorrect, la matrice $A$ n'a pas les bonnes dimensions.")) return if sp.simplify(A_user - A_user.transpose()) != sp.zeros(A.shape[0]): display(Latex("Incorrect, la matrice rentrée n'est pas symétrique. ")) return Q_user = x.dot(A_user * x).expand() if sp.simplify(Q_user - Q) == 0: display(Latex("Correct !")) else: display(Latex("Incorrect, avec votre matrice on obtient $ Q_{user}(\mathbf{x}) = " + sp.latex(Q_user) + "\\neq Q(\mathbf{x}) $")) interact_manual(f) def f_sol(): display(Latex("La matrice $A = " + latexp(A) + "$ est telle que $Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} $")) display(Latex("Pour afficher la solution, cliquez ici.")) im = interact_manual(f_sol) im.widget.children[0].description = 'Solution' def plot_quad(A, n_points=50j, lims=2): A_sp = sp.Matrix(A) eig = A_sp.eigenvects() # Create list with principal axis p_axis = [] for x in eig: v_list = sp.GramSchmidt(x[2], orthonormal=True) for v in v_list: p_axis.append(np.array(v).astype(np.float64).flatten()) A = np.array(A) if A.shape == (3, 3): X, Y, Z = np.mgrid[-lims:lims:n_points, -lims:lims:n_points, -lims:lims:n_points] # ellipsoid - values = A[0, 0] * X * X + A[1, 1] * Y * Y + A[2, 2] * Z * Z + (A[0, 1]+A[1, 0])* X * Y + (A[0, 2] + A[2, 0]) * X * Z + (A[1, 2] + A[1, 2]) * Y * Z + values = A[0, 0] * X * X + A[1, 1] * Y * Y + A[2, 2] * Z * Z + (A[0, 1] + A[1, 0]) * X * Y + ( + A[0, 2] + A[2, 0]) * X * Z + (A[1, 2] + A[1, 2]) * Y * Z layout = go.Layout(scene=go.layout.Scene(aspectmode="cube")) fig = go.Figure(data=go.Isosurface( - x=X.flatten(), - y=Y.flatten(), - z=Z.flatten(), - value=values.flatten(), - isomin=1, - isomax=1, - showscale=False, - opacity=0.5, - caps=dict(x_show=False, y_show=False), - showlegend=True, - name='Quadrique' - ), + x=X.flatten(), + y=Y.flatten(), + z=Z.flatten(), + value=values.flatten(), + isomin=1, + isomax=1, + showscale=False, + opacity=0.5, + caps=dict(x_show=False, y_show=False), + showlegend=True, + name='Quadrique' + ), layout=layout) fig.add_trace(go.Scatter3d(x=[0, p_axis[0][0]], y=[0, p_axis[0][1]], z=[0, p_axis[0][2]], line=dict(width=2, color='black'), mode='lines+markers', marker=dict(size=3), showlegend=True, name='Axes principaux', )) fig.add_trace(go.Scatter3d(x=[0, p_axis[1][0]], y=[0, p_axis[1][1]], z=[0, p_axis[1][2]], line=dict(width=2, color='black'), mode='lines+markers', marker=dict(size=3), showlegend=False, name='Principal axis 2', )) fig.add_trace(go.Scatter3d(x=[0, p_axis[2][0]], y=[0, p_axis[2][1]], z=[0, p_axis[2][2]], mode='lines+markers', line=dict(width=2, color='black'), marker=dict(size=3), showlegend=False, name='Principal axis 3', )) elif A.shape == (2, 2): + + eigenvals = A_sp.eigenvals() + eig_list = [] + + for _lambda in eigenvals: + eig_list += [_lambda] * eigenvals[_lambda] + + if eig_list[0] <= 0 and eig_list[1] <= 0: + display(Latex( + "Les valeurs propres sont toutes négatives ou nulles. La forme quadratique n'a donc pas de solution.")) + return + X, Y = np.mgrid[-lims:lims:n_points, -lims:lims:n_points] Z = A[0, 0] * X * X + A[1, 1] * Y * Y + (A[1, 0] + A[0, 1]) * X * Y fig = go.Figure(data=go.Contour( x=X[:, 0], y=Y[0, :], z=Z, contours=dict(start=1, end=1), contours_coloring='lines', line_width=2, opacity=0.5, showscale=False, showlegend=True, - name='Quadrique'), + name='Conique'), ) + fig.update_layout(xaxis=dict(range=[-lims, lims], constrain="domain", ), + yaxis=dict(scaleanchor="x", scaleratio=1, )) - fig.update_layout(xaxis=dict(range=[-lims, lims], constrain="domain",), yaxis = dict(scaleanchor= "x", scaleratio = 1,)) - - fig.add_trace(go.Scatter(x=[0, p_axis[0][0]], + fig.add_trace(go.Scatter(x=[0, p_axis[0][0]], y=[0, p_axis[0][1]], mode='lines+markers', line=dict(width=2, color='black'), marker=dict(size=3), showlegend=True, name='Axes principaux', )) fig.add_trace(go.Scatter(x=[0, p_axis[1][0]], y=[0, p_axis[1][1]], mode='lines+markers', line=dict(width=2, color='black'), marker=dict(size=3), showlegend=False, - name = 'Principal axis 2', + name='Principal axis 2', )) else: return fig.show() def ex1_10_8(n): A_list = [sp.Matrix([[5, 2], [2, 5]]), sp.Matrix([[3, 2, 0], [2, 0, 0], [0, 0, 2]])] x1, x2, x3 = sp.symbols("x_1 x_2 x_3") x_list = [sp.Matrix([x1, x2]), sp.Matrix([x1, x2, x3])] - A = A_list[n-1] - x = x_list[n-1] + A = A_list[n - 1] + x = x_list[n - 1] Q = x.dot(A * x).expand() display(Latex("$Q(x) = " + sp.latex(Q) + "$")) display(Latex("Donnez les coefficients $d_1, ..., d_n$ et la matrice $S$ de changement de variable tel " "que $x = Sy$. ")) default_value_d = str(np.ones(A.shape[0], dtype=np.int16).tolist()) default_value_S = str(np.ones(A.shape, dtype=np.int16).tolist()) answer_d = widgets.Text(value=default_value_d, description='d = ', disabled=False, layout=widgets.Layout(width='600px')) answer_S = widgets.Text(value=default_value_S, description='S = ', disabled=False, - layout=widgets.Layout(width='600px')) + layout=widgets.Layout(width='600px')) display(answer_d) display(answer_S) - def f(): d_user = eval(answer_d.value) d_user = np.array(d_user, dtype=np.int16) D_user = np.diag(d_user) D_user = sp.Matrix(D_user) S_user = eval(answer_S.value) S_user = sp.Matrix(S_user) display(Latex("Vous avez rentré la matrice suivante: $S_{user} = " + latexp(S_user) + "$")) A_user = S_user * D_user * S_user.transpose() - if sp.simplify(A-A_user) == sp.zeros(A.shape[0]): + if sp.simplify(A - A_user) == sp.zeros(A.shape[0]): display(Latex("Correct !")) else: display(Latex("Incorrect.")) interact_manual(f) def f_sol(): display(Latex("On commence par trouver la matrice symétrique $A$ telle que $Q(x) = x^T A x$ avec " "$x = " + latexp(x) + "$.")) display(Latex("Par identification, on trouve $A = " + latexp(A) + "$.")) display(Latex("Ensuite, l'exercice consiste simplement à diagonaliser orthogonalement la matrice symétrique " "$A$.")) display(Latex("En effet, si on a $D = S^T A S$, avec $D$ diagonale, en effectuant le changement de variable " "$x = Sy$, on obtient : " + nl() + " $Q(x) = x^T A x = (Sy)^T A (Sy) = y^T S^T A S y = y^T D y = " - "d_1 y_1^2 + d_2 y_2^2 + ... + d_n y_n^2 $ ")) - + "d_1 y_1^2 + d_2 y_2^2 + ... + d_n y_n^2 $ ")) lamda = sp.symbols('lamda') poly_char_exp = sp.expand(A.charpoly(lamda).as_expr()) poly_char_fac = sp.factor(A.charpoly(lamda).as_expr()) poly_char_exp_str = sp.latex(poly_char_exp) poly_char_fac_str = sp.latex(poly_char_fac) - display(Latex("Le polynôme caractéristique de $A$ s'exprime comme: $c_A (t) = " + poly_char_exp_str + "$.")) display(Latex("On trouve les racines du polynôme caractéristique et on factorise. On obtient $c_A (t) = " + poly_char_fac_str + "$.")) eig = A.eigenvals() eig_list_ = list(eig.keys()) mult_list_ = list(eig.values()) display(Latex("On obtient donc les valeurs propres $\lambda$ et leur multiplicité respective $m$: " " $ \lambda = " + sp.latex(eig_list_) + " \hspace{10mm} m = " + sp.latex(mult_list_) + "$.")) display(Markdown("**On trouve une base orthonormée pour tous les espaces propres.**")) final_basis = [] P = sp.Matrix([]) k = 0 for l in eig_list_: basis_orthonorm = [] basis, basic_idx, free_idx = eigen_basis(A, l, prop_basis=None, disp=True, return_=True, dispA=False) for v in basis: # if all ints if np.all(v == np.round(v)): v = v.astype(np.int16) # if there is some float else: for idx, el in enumerate(v): v = sp.Matrix(v) q = sp.Rational(el) # If rational are not too high and weird if abs(q.numerator()) < 100 and abs(q.denominator()) < 100: v[idx] = q basis_orthonorm.append(sp.Matrix(v)) basis_orthonorm = sp.GramSchmidt(basis_orthonorm, True) for v in basis_orthonorm: final_basis.append(v) P = P.col_insert(k, v) k += 1 display( Latex("On applique le procédé de Gram-Schmidt pour obtenir des vecteurs de norme 1 et orthogonaux. " "On obtient $" + sp.latex(basis_orthonorm) + "$")) display(Latex("Finalement, on construit la matrice $S$ en utilisant chaque vecteur de base " "trouvé précedemment comme colonne de cette matrice. Cette dernière est bien orthogonale car " "les vecteurs de base sont orthogonaux entre eux et tous de norme unitaire. " "On construit la matrice $D$ en plaçant les valeurs propres de $A$ sur la diagonale. " "Le placement des valeurs propres sur la diagonale de $D$ " "doit correspondre avec celui des vecteurs propres dans $S$.")) - D = sp.zeros(A.shape[0]) i = 0 for idx in range(len(eig_list_)): for _ in range(mult_list_[idx]): D[i, i] = eig_list_[idx] i += 1 display( Latex("On obtient $S = " + latexp(P) + "\hspace{5mm} \mbox{et} \hspace{5mm} D = " + latexp(D) + "$")) display(Latex("On vérifie le résultat par un calcul :")) display(Latex( "$S D S^T = " + latexp(P) + latexp(D) + latexp(P.transpose()) + " = " + latexp(P * D * P.transpose()) + "=A$")) - display(Latex("Pour afficher la solution, cliquez ici.")) im = interact_manual(f_sol) im.widget.children[0].description = 'Solution' - def f_plot(): A_np = np.array(A, dtype=np.float64) plot_quad(A_np) - if A.shape[0]==2 or A.shape[0]==3: + if A.shape[0] == 2 or A.shape[0] == 3: display(Latex("Pour visualiser la quadrique associée et les axes principaux, cliquez ici")) im = interact_manual(f_plot) - im.widget.children[0].description = 'Plot' \ No newline at end of file + im.widget.children[0].description = 'Plot' + + +def ex1_1_10_9(): + A = sp.Matrix([[1, -1 / 2, 0], + [-1 / 2, 0, -1], + [0, -1, 1]]) + ex1_10_9(A) + + +def ex1_2_10_9(): + A = sp.Matrix([[-1, -1, 0], + [-1, -2, 1], + [0, 1, -1]]) + ex1_10_9(A) + + +def ex1_3_10_9(): + A = sp.Matrix([[2, 1, 0, 1], + [1, 1, 0, 0], + [0, 0, 4, 0], + [1, 0, 0, 1]]) + ex1_10_9(A) + + +def ex1_4_10_9(): + A = sp.Matrix([[3, 2, 1], + [2, 3, 1], + [1, 1, 4]]) + ex1_10_9(A) + + +def ex1_10_9(A): + options = ['définie postive', 'positive', 'définie négative', 'négative','non définie'] + + n = A.shape[0] + v = sp.zeros(n, 1) + + for i in range(n): + symb_name = "x_" + str(i + 1) + v[i] = sp.symbols(symb_name, real=True) + + Q = sp.expand(v.T * A * v) + + eigval = list(A.eigenvals().keys()) + + if all([x >= 0 for x in eigval]): + if all([x > 0 for x in eigval]): + sol = options[0] + else: + sol = options[1] + elif all([x <= 0 for x in eigval]): + if all([x < 0 for x in eigval]): + sol = options[2] + else: + sol = options[3] + else: + sol = options[4] + + + + display(Latex("Classez la forme quadratique suivante. Bien qu'il se peut que plusieurs réponses soient correctes, " + "donnez l'ensemble le plus restreint.")) + display(Latex("$ Q(x) = " + latexp(Q) + "$")) + + answer = widgets.RadioButtons( + options=['définie postive', 'positive', 'négative', 'définie négative', 'non définie'], + description='Réponse:', disabled=False) + + display(answer) + + def callback(): + if answer.value == sol: + display(Latex("Correct !")) + else: + display(Latex("Incorrect. Vous pouvez afficher la solution si vous ne trouvez pas votre erreur.")) + + + def f_sol(): + display(Latex("Par identification, on trouve d'abord la matrice $A$ tel que $Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$.")) + display(Latex("On obtient $A = " + latexp(A) + "$")) + + display(Latex("On trouve ensuite les valeurs propres de $A$ et on observe leur signe.")) + display(Latex("Les valeurs propres sont: " + ', '.join(["$" + latexp(x) + "$" for x in eigval]))) + + if sol == options[0]: + display(Latex("La forme quadratique est définie positive car toutes les valeurs propres de $A$ sont strictement positives.")) + + elif sol == options[1]: + display(Latex("La forme quadratique est positive car toutes les valeurs propres de $A$ sont positives.")) + + elif sol == options[2]: + display(Latex("La forme quadratique est définie négative car toutes les valeurs propres de $A$ sont strictement négative.")) + + elif sol == options[3]: + display(Latex("La forme quadratique est négative car toutes les valeurs propres de $A$ sont négatives.")) + + elif sol == options[4]: + display(Latex("La forme quadratique est non définie car $A$ possède des valeurs propres positives et négatives.")) + + interact_manual(callback) + + im = interact_manual(f_sol) + im.widget.children[0].description = 'Solution' \ No newline at end of file