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index 2f1f289..0ca1193 100644
--- "a/Chapitre 1 - Systemes equations lineaires/1.2. Nombre de solutions d'un syst\303\250me.ipynb"
+++ "b/Chapitre 1 - Systemes equations lineaires/1.2. Nombre de solutions d'un syst\303\250me.ipynb"
@@ -1,363 +1,95396 @@
{
"cells": [
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"# Concept(s)-clé(s) et théorie\n",
"\n",
"On considère un système d'équations linéaires aux inconnues $x_1,\\ldots,x_n$\n",
+ "// Listen for the clearing of the current output cell\n",
+ "var outputEl = gd.closest('.output');\n",
+ "if (outputEl) {{\n",
+ " x.observe(outputEl, {childList: true});\n",
+ "}}\n",
+ "\n",
+ " })\n",
+ " };\n",
+ " });\n",
+ " </script>\n",
+ " </div>"
+ ]
+ },
+ "metadata": {},
+ "output_type": "display_data"
+ }
+ ],
"source": [
"al.printSyst(A,b)\n",
"al.Plot3DSys(-10,10,100,A,b)"
]
},
{
"cell_type": "code",
- "execution_count": null,
+ "execution_count": 12,
"metadata": {},
- "outputs": [],
+ "outputs": [
+ {
+ "name": "stdout",
+ "output_type": "stream",
+ "text": [
+ "La suite entrée n'est pas une solution de l'équation 1\n",
+ "La suite entrée n'est pas une solution de l'équation 2\n",
+ "La suite entrée n'est pas une solution de l'équation 3\n",
+ "Ce n'est pas une solution du système\n"
+ ]
+ },
+ {
+ "data": {
+ "text/plain": [
+ "False"
+ ]
+ },
+ "execution_count": 12,
+ "metadata": {},
+ "output_type": "execute_result"
+ }
+ ],
"source": [
"alpha = [1, 1, 1]\n",
"al.SolOfSyst(alpha, A,b)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"### **EXERCICE 3**\n",
"\n",
"À l'aide des graphes interactifs ci-dessous, trouver les valeurs des paramètres $l$ et $k$ pour que les systèmes a), b), c) et d) admettent, si possible,\n",
"1. aucune solution\n",
"2. une unique solution\n",
"3. une infinité de solution \n",
"\n",
"\n",
"$$ \n",
"a)\\begin{cases}\n",
"x_1 +5 x_2&=l\\\\\n",
"-2x_1 -10 x_2&=18\n",
"\\end{cases} \\hspace{1cm} b) \\begin{cases}\n",
"lx_1 + x_2&=3\\\\\n",
"-2x_1 - x_2&=-1\n",
"\\end{cases}\\hspace{1cm} c) \\begin{cases}\n",
"3x_1 + lx_2&=1\\\\\n",
"x_1 + 3x_2&=l\n",
"\\end{cases}\\hspace{1cm} d) \\begin{cases}\n",
"kx_1 + x_2&=l\\\\\n",
"3x_1 -5x_2&=2\n",
"\\end{cases}\n",
"$$\n",
"\n",
"**Remarque** pour faire varier les valeurs de $l$ et $k$ vous pouvez utiliser la souris ou cliquer sur le rond (il devient bleu) et utiliser les flèches gauche et droite du clavier."
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"al.bgc('seashell')\n",
"#Entrez a,b,c ou d pour choisir le système voulu\n",
"cas='d'\n",
"\n",
"corrections.Ex3Chapitre1_2(cas)"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"#correction\n",
"corrections.corr3Chapitre1_2(cas)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"### **EXERCICE 4**\n",
"\n",
"À l'aide des graphes interactifs ci-dessous, trouver les valeurs des paramètre $h$ pour que le système admette, si possible,\n",
"1. aucune solution\n",
"2. une unique solution\n",
"3. une infinité de solution \n",
"\n",
"$$ \n",
"\\begin{cases}\n",
"hx_1 -2 x_2 &=4\\\\\n",
"-2x_1 +h x_2&=-4\\\\\n",
"x_1 - x_2 &=h\n",
"\\end{cases} \\hspace{1cm}\n",
"$$"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"corrections.Ex4Chapitre1_2()"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"corrections.corr4Chapitre1_2()"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"[Passez au notebook du chapitre 1.3-4: Notation Matricielle](./1.3-4.%20Notation%20Matricielle.ipynb)"
"Soit $A$ une matrice de taille $m\\times n$ à coefficients réels. On dit que $A$ est *échelonnée* si l'indice de colonne du premier élément non-nul de chaque ligne est supérieur à l'indice de colonne du premier élément non-nul de la ligne précédente. C'est à dire que le nombre de zéros pécédant le premier élément non-nul une ligne augmente ligne par ligne, jusqu'à obtenir peut-être des lignes ne contenant que des zéros.\n",
"\n",
"Le premier élément non-nul de chaque ligne s'appelle un *pivot*, on les dénote par $\\color{red}\\oplus$. Les éléments quelconques sont dénotés par $*$. Attention $\\color{red}\\oplus$ est un élément non-nul, alors que $*$ peut être un élément nul. Les colonnes possédant un pivots s'appellent des *colonnes pivots*.\n",
"\n",
"Voici un exemple d'une telle matrice $A$ (ici de taille $7\\times 9$). Les colonnes $1,3,4,6$ et $9$ sont des colonnes pivots.\n",
"Soit $A$ une matrice de taille $m\\times n$ à coefficients réels. On dit que $A$ est *échelonnée réduite* si $A$ est échelonnée avec les propriétés suivantes\n",
"1. tous ses pivots valent $1$ ($\\color{red}\\oplus=1$ dans ce cas)\n",
"2. les pivots sont les seules valeurs non-nulles de leur colonne pivot (en dessous et en dessous d'un pivot il n'y a que des zéros).\n",
"\n",
"Voici un exemple d'une telle matrice $A$ (ici de taille $7\\times 9$). Les colonnes $1,3,4,6$ et $9$ sont des colonnes pivots et ne contiennent qu'un seul élément non-nul (les pivots valant 1).\n",
+ "Textarea(value='', description='Aucun des deux:', layout=Layout(height='50px', width='60%'), placeholder='Util…"
+ ]
+ },
+ "metadata": {},
+ "output_type": "display_data"
+ }
+ ],
"source": [
"data=al.Ex1Chapitre1_5_6() "
]
},
{
"cell_type": "code",
- "execution_count": null,
+ "execution_count": 3,
"metadata": {},
- "outputs": [],
+ "outputs": [
+ {
+ "name": "stdout",
+ "output_type": "stream",
+ "text": [
+ "Les matrices n'étant ni échelonnées, ni échelonnées-réduites sont fausses. \n",
+ "Les matrices étant échelonnées sont fausses. \n",
+ "Les matrices étant échelonnées-réduite sont fausses. \n"
+ ]
+ }
+ ],
"source": [
"corrections.Ex1Chapitre1_5_6(data)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"# Théorie\n",
"\n",
"\n",
"La **méthode d'élimination de Gauss** est un algorithme central en algèbre linéaire qui consiste à appliquer une séquence appropriée d'opérations élémentaires à une matrice (voir [Notebook du chapitre 1.3-4: Notation Matricielle](./1.3-4.%20Notation%20Matricielle.ipynb)) jusqu'à ce qu'elle soit échelonnée. On peut continuer à appliquer des opérations élémentaires pour obtenir une matrice échelonnée réduite. \n",
"\n",
"\n",
"Soit le système linéaire $A\\overrightarrow{x} = \\overrightarrow{b}$ où $A$ est la matrice des coefficients de taille $m\\times n$ et $\\overrightarrow{b}$ est le vecteur regrouppant les termes de droite.\n",
"En appliquant la méthode d'élimination de Gauss à la matrice augmentée $(A|b)$ on obtient:\n",
"**Remarque** Il s'agit d'un exemple, les pivots pouvant êtres à d'autres emplacements. Des lignes de zéros peuvent aussi êtres présentes.\n",
"\n",
"\n",
"Comme seules des opérations élémentaires sur les lignes ont été utilisées, le système linéaire résultant est équivalent au système d'origine. Leur ensemble de solutions sont donc les mêmes. Mais le système resultant est beaucoup plus facile et plus rapide à résoudre. En utilisant d'abord la dernière équation, puis en substituant progressivement les variables dans les équations précédantes.\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"### **EXERCICE 2**\n",
"\n",
"À l'aide des opérations élémentaires, échelonner et réduire les matrices ci-dessous.\n",
"\n",
"$$A_1 = \n",
"\\begin{pmatrix}\n",
"2 & -1\\\\\n",
"1 &2\n",
"\\end{pmatrix}\\hskip2em\n",
"A_2 = \n",
"\\begin{pmatrix}\n",
"\\dfrac{1}{2} & 3 & 0\\\\\n",
"2 & -4 & 6\\\\\n",
"1 & 3 &-1\n",
"\\end{pmatrix}\\hskip2em\n",
"A_3 =\n",
"\\begin{pmatrix}\n",
"1 & 0 &1\\\\\n",
"0 & 1 & -1\\\\\n",
"1 & 1 &-1\n",
"\\end{pmatrix}\n",
"\\hskip2em\n",
"\\begin{pmatrix}\n",
"1 & 0 &1 & 3\\\\\n",
"0 & 2 & -2&1\\\\\n",
"1 & 1 &-1 & 0\n",
"\\end{pmatrix}\\hskip2em\n",
"\\begin{pmatrix}\n",
"1 & 1 &-1 & 1\\\\\n",
"1 & -1 & -2&2\\\\\n",
"1 & 1 &1 & 1\\\\\n",
"1 & 3 & 2 & 0\n",
"\\end{pmatrix}\n",
"$$\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"A=[[1,1], [1,1], [1,1]]"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"print('Vous allez échelonner la matrice')\n",
"al.printA(A)\n",
"[i,j,r,alpha]= al.manualEch(A)\n",
"MatriceList=[np.array(A)]\n",
"m=np.array(A)\n",
"print('\\033[1mExecutez la ligne suivante pour effectuer l\\'opération choisie \\033[0m')"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"m=al.echelonnage(i, j, r, alpha, A, m, MatriceList)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"### **EXERCICE 3**\n",
"À l'aide des opérations élémentaires, échelonner et réduire les matrices augmentées ci-dessous.\n",
"\n",
"$$A=\n",
"\\begin{pmatrix}\n",
"2 & -1\\\\\n",
"1 &2\n",
"\\end{pmatrix}\\hskip1em\n",
"b=\n",
"\\begin{pmatrix}\n",
"1\\\\\n",
"2\n",
"\\end{pmatrix}\\hskip4em\n",
"A=\n",
"\\begin{pmatrix}\n",
"\\dfrac{1}{2} & 3 & 0\\\\\n",
"2 & -4 & 6\\\\\n",
"1 & 3 &-1\n",
"\\end{pmatrix}\\hskip1em\n",
"b=\n",
"\\begin{pmatrix}\n",
"1\\\\\n",
"2\\\\\n",
"-1\n",
"\\end{pmatrix}\\hskip4em\n",
"A=\n",
"\\begin{pmatrix}\n",
"1 & 0 &1\\\\\n",
"0 & 1 & -1\\\\\n",
"1 & 1 &-1\n",
"\\end{pmatrix}\\hskip1em\n",
"b=\n",
"\\begin{pmatrix}\n",
"1\\\\\n",
"0\\\\\n",
"-1\n",
"\\end{pmatrix}\n",
"$$"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"A=[[1,1,1], [1,1,1],[1,1,1]]\n",
"b =[[1], [1], [1]]"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"print('Vous allez échelonner la matrice augmenteé')\n",
"al.printAAug(A,b)\n",
"[i,j,r,alpha]= al.manualEch(A)\n",
"MatriceList=[np.array(A)]\n",
"RHSList = [np.array(b)]\n",
"m=np.concatenate((A,b), axis=1)\n",
"print('\\033[1mExecutez la ligne suivante pour effectuer l\\'opération choisie \\033[0m')"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"m=al.echelonnage(i, j, r, alpha, A, m, MatriceList, RHSList)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"### **VÉRIFICATION**\n",
"À l'aide des cellules ci-dessous, vous pouvez entrer la matrice (des coefficients ou augmentée) de votre choix et obtenir une forme échelonnée et sa forme échelonnée réduite.\n",
"\n",
"Pour **les formes échelonnées** on utilise la syntaxe suivante\n",
"\n",
"1. Pour la matrice $A$ : al.echelonMat('E', A)\n",
"2. Pour la matrice augmentée $(A | b)$ : al.echelonMat('E', A, b)\n",
"\n",
"Pour obenir **les formes échelonnées réduites** mettez 'ER' au lieu de 'E'"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"A = [[2,-1], [1,2]]\n",
"b = [[1], [2]]"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"M=al.echelonMat('ER',A,b)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"[Passez au notebook du chapitre 1.7: Résolutions de système linéarires](./1.7.%20Résolutions%20de%20systèmes%20linéaires.ipynb)"
"On a que les composantes de la colonne $j$ sont les coefficients associés à la variable $x_j$ et que les coefficients de la dernière colonne sont les termes constants ou les termes de droite. On peut écrire la matrice $A$ de la forme suivante\n",
"$$ où $\\overrightarrow{a_j}$ est un vecteur de $m$ composantes (celles de la colonnes $j$) donné par\n",
"$$\n",
"\\overrightarrow{a_j}=\\begin{pmatrix}\n",
"a_{1j}\\\\\n",
"a_{2j}\\\\\n",
"\\vdots\\\\\n",
"a_{mj}\n",
"\\end{pmatrix}\n",
"$$\n",
"\n",
"**Remarque** On considère ici la matrice $A$ comme étant une matrice augmentée et non pas celle des coefficients. La théorie ci-dessous doit être adaptée si vous considérez la matrice $A$ comme étant celle des coefficients!\n",
"\n",
"En appliquant l'algorithme de Gauss, on peut échelonner la matrice $A$ et obtenir une matrice échelonnée $B$ (il en existe plusieurs). On pourrait encore continuer l'algorithme et obtenir la forme échelonnée réduite de $A$ (elle est unique!). \n",
"\n",
"De même, on peut écrire la matrice $B$ en faisant référence à ses colonnes\n",
"$$ où $\\tilde{b}$ est un vecteur de $m$ composantes, obtenu en appliquant à $\\overrightarrow{b}$ la même suite d'opérations élémentaires utilisées pour passer de $A$ à $B$. \n",
"\n",
"#### DÉFINITION :\n",
"Les inconnues du système linéaire $S$ dont la colonne de la matrice $B$ correspondante ne possède pas de pivot sont appelées les **inconnues libres**. Elles peuvent prendre n'importe quelle valeur réelle. Les inconnues dont la colonne de la matrice $B$ correspondante possède un pivot sont appelées les **inconnues principales**.\n",
"Le système initial est un système de cinq équations linéaires à six inconnues $x_1,x_2, \\ldots, x_6$. Il y a quatre colonnes pivots (1,2,4 et 6) et quatre pivots. Les inconnues principales sont $x_1, x_2, x_4$ et $x_6$ et les inconnues libres sont $x_3$ et $x_5$.\n",
"\n",
"2. Prenons l'exemple donné dans [Notebook du chapitre 1.5-6: Matrices Echelonnées](./1.5-6.%20Matrices%20Echelonnees.ipynb) \n",
"Le système initial est un système de sept équations linéaires à huit inconnues $x_1, \\ldots, x_8$. On constate que la matice $B$ possède cinq colonnes pivots (1,3,4,6 et 9). On aurait envie de dire que les inconnues principales sont $x_1, x_3, x_4$ et $x_6$ et les inconnues libres sont $x_2, x_5,x_7$ et $x_8$. \n",
"Mais attention la colonne 9 ne correspond pas à une inconnue! La présence du pivot dans cette colonne cause le problème suivant. La cinquième ligne de la matrice $B$ correspond à l'équation\n",
"Ce qui n'est possible que si $\\color{red}\\oplus=0$ or cela n'est pas vrai car $\\color{red}\\oplus$ est un pivot dnc non-nul! On obtient un système inconsistant, qui n'admet pas de solutions. On ne parle pas de variables libres ou principales si le système n'admet pas de solutions. \n",
"\n",
"\n",
"\n",
"#### MÉTHODE DE RÉSOLUTION DE SYSTÈMES LINÉAIRES :\n",
"Soit $S$ un système linéaire à $n$ inconnues. Afin de trouver l'ensemble des solutions de $S$, on procède comme suit :\n",
"\n",
"1. Poser $A$ la matrice **augmentée** du système.\n",
"2. Utiliser la méthode d'élimination de Gauss afin de transformer $A$ en une matrice échelonnée (réduite) $B$.\n",
"3. Si la matrice $B$ possède une ligne de la forme $(0\\, 0 \\,\\cdots \\,0 \\,|\\, c )$ avec $c\\neq 0$, alors le système ne possède aucune solution.\n",
"4. S'il existe $n$ pivots, aucun dans la dernière colonne, alors il existe une unique solution.\n",
"5. S'il existe moins de $n$ pivots, aucun dans la dernière colonne, alors il existe un nombre infini de solutions.\n",
"Soient les 4 systèmes ci-dessous. À l'aide du méthode d'élimination de Gauss, déterminez celles qui admettent au moins une solution (nommée compatible) et celles qui n'admettent aucune solution (nommée imcompatible).\n",
"On appelle *système linéaire homogène*, tous système d'équations linéaires n'ayant que des zéros comme termes constants (tous les termes de droites $b_j=0$). \n",
"Les systèmes homogène $A\\overrightarrow{x}=\\overrightarrow{0}$, avec $\\overrightarrow{0}$ le vecteur nul à m composantes, admettent toujours au moins une solution: la solution triviale (celle qu'avec des zéros). \n",
"\n",
"#### Solution homogène et solution particulière\n",
"Pour les systèmes linéaires compatibles (qui admettent une solution), la solution $s$ peut être donnée sous forme paramétrique vectorielle comme suit:\n",
"$$\n",
"s=\\overrightarrow{p} + t \\overrightarrow{v}\n",
"$$où $ \\overrightarrow{p} $ est une **solution particulière** au système linéaire, tandis que $ t\\overrightarrow{v} $ (avec $t \\in \\mathbb{R}$) est une solution du système linéaire homogène $ A\\overrightarrow{x}=\\overrightarrow{0} $ (appelé **solution homogène**).\n",
"\n",
"En deux dimensions, l'ensemble des solutions peut être un point (si la seule solution homogène est $ \\overrightarrow{v}=\\overrightarrow{0}$), une ligne droite (si l'ensemble des solutions homogènes se situe sur une droite du plan 2D) ou le plan entier (si chaque vecteur 2D est une solution au système homogène).\n",
" \n",
"En trois dimensions, l'ensemble des solutions peut être un point (si la seule solution homogène est $ \\overrightarrow{v}=\\overrightarrow{0}$), une ligne droite (si l'ensemble des solutions homogènes se trouve sur une droite dans l'espace 3D) , le plan entier (si l'ensemble des solutions hoogènes se trouve dans un plan de l'espace 3D) ou tout l'espace 3D (si chaque vecteur 3D est une solution au système homogène)."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"### **EXERCICE 3**\n",
"\n",
"\n",
"Pour les systèmes de l'exercice 2, donner la nature des solutions (droite, plan, point...). Un graphe s'affichera avec les solutions.\n",
diff --git "a/Chapitre 3 - Espace vectoriel/3.1. D\303\251finition d'un espace vectoriel.ipynb" "b/Chapitre 3 - Espace vectoriel/3.1. D\303\251finition d'un espace vectoriel.ipynb"
index e604928..87e2ce2 100644
--- "a/Chapitre 3 - Espace vectoriel/3.1. D\303\251finition d'un espace vectoriel.ipynb"
+++ "b/Chapitre 3 - Espace vectoriel/3.1. D\303\251finition d'un espace vectoriel.ipynb"
@@ -1,1294 +1,3488 @@
{
"cells": [
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"# Concept(s)-clé(s) et théorie\n",
"\n",
"Soit $ V $ un ensemble non-vide muni d'une opération binaire $+$ et d'une action sur les nombres réels $\\cdot$, c'est-à-dire que pour tout $u,v\\in V$, il existe un unique élément $u+v\\in V$ et pour tout $u\\in V$, $\\lambda\\in \\mathbb{R}$, il existe un unique élément $\\lambda\\cdot u\\in V$. On dira que $V$ est un $\\mathbb{R}$-espace vectoriel si les huit axiomes suivants sont satisfaits, pour tous $u,v,w\\in V$ et $\\lambda, \\mu\\in \\mathbb{R}$.\n",
"\n",
"\n",
"1. $u+ v=v+ u$\n",
"2. $(u+ v) + w = u + (v+ w)$\n",
"3. $\\lambda\\cdot( u + v)= \\lambda \\cdot u + \\lambda \\cdot v$\n",
"4. $(\\lambda + \\mu)\\cdot v=\\lambda \\dot v + \\mu\\cdot v$\n",
"7. Il existe un élément neutre pour la loi $+$, i.e. un élément $e\\in V$ tel que $e+ u=u$ pour tout $u\\in V$.\n",
"8. Pour tout $u\\in V$, il existe un unique inverse par rapport à la loi $+$, i.e. un élément $u' \\in V$ tel que $u+ u'=e$. \n",
"\n",
"Remarques: \n",
"1. On écrit $\\lambda v$ au lieu de $\\lambda \\cdot v$. \n",
"2. Les éléments de $V$ sont appelés des vecteurs (même si on ne les écrit pas $\\overrightarrow v$) et les éléments de $\\mathbb{R}$ des scalaires.\n",
"\n",
"Commentaire: on parle de $\\mathbb{R}$-espace vectoriel car les scalaires appartiennent à $\\mathbb{R}$. Dans certains cas, par traités ici, les scalaires peuvent appartenir à un autre ensemble, comme par exemple êtres des nombres complexes (dans $\\mathbb{C}$). Dans ce cas on parlerait de $\\mathbb{C}$- espace vectoriel. \n"
+ "Alors $\\mathbb{R}^n$ muni de la lois d'addition $+$ et de multiplication par un scalaire $\\cdot$ définies ci-dessous est un $\\mathbb{R}$-espace vectoriel. Les éléments de $\\mathbb{R}^n$, noté $\\overrightarrow{x}$ et appelé des vecteurs, possèdes $n$ composantes $x_1, \\ldots, x_n$ \n",
+ "\n",
+ "-------------------\n",
+ "Les cases ci-dessous vous permettent de visualiser $ \\mathbb{R}^2$ et illustre les règles d'additions et de multiplication par un scalaire."
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "code",
+ "execution_count": 2,
+ "metadata": {},
+ "outputs": [],
+ "source": [
+ "#Entrez deux vecteurs (lignes) et le coefficient lambda (lamb)\n",
+ "2. Soit $\\mathbb{P}(\\mathbb{R})$ l'ensemble des fonctions polynômiales à coefficients réels de $\\mathbb{R}$ dans $\\mathbb{R}$. Soit $p\\in \\mathbb{P}(\\mathbb{R})$, alors il existe $n\\in\\mathbb{N}$ (le degré du polynôme) et $a_0,a_1, \\ldots, a_n\\in \\mathbb{R}$ (les coefficients) tels que \n",
+ "Les polynômes sont des fonctions de $\\mathbb{R}$ dans $\\mathbb{R}$ et peuvent êtres représentés graphiquement. Pour , il suffit de lister les coefficients $a_0,a_1,\\ldots, a_n$ en utillisant la syntaxe\n",
+ "$$\n",
+ "\\mathrm{coeff}=[a_0, a_1, \\ldots, a_n]\n",
+ "$$\n",
+ "\n",
+ "------------------------\n",
+ "Soient deux polynômes $p(t)=-2+x^2$ et $q(t)=\\dfrac{1}{2}+x^2-\\dfrac{1}{4}x^3$. La cellules ci-dessous vous donne les graphes des polyômes. Vous pouvez aussi ajouter le polynôme nul, la somme $p(x)+q(x)$ et les multiples $\\lambda p(x)$ et $\\mu q(x)$. Vous pouvez entrer les coefficients $\\lambda$ et $\\mu$ ci-dessous\n"
+ "#définition des coefficients et des bornes inférieure et supérieure du domaine de définition.\n",
+ "\n",
+ "coeff_p=[-2,0,1] #rajouter/enlever des coefficients en fonction du polynôme voulu.\n",
+ "coeff_q=[1/2,0,1,-1/4]\n",
+ "xL=-5\n",
+ "xR=5\n",
+ "\n",
+ "\n",
+ "ch3.Expl1Chapitre3_1(xL,xR,coeff_p, coeff_q)"
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "markdown",
+ "metadata": {},
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+ "### **EXERCICE 1**\n",
+ "\n",
+ "Soient les polynômes ci-dessous. Entrer les polynômes à l'aide de leurs coefficients et trouver les racines (les valeurs réelles $x$ pour lesquelles $p(x)=0$) des polynômes en utilisant leur graphe.\n",
+ "**Remarque** : par défaut les polynômes sont tracés sur l'intervalle $[-2,2]$. Vous pouvez changer les bornes de l'intervalle en donnant de nouvelle valeurs pour $xL$ (borne à gauche) et $xR$ (borne à droite)"
- "Alors $\\mathbb{R}^n$ muni de la lois d'addition $+$ et de multiplication par un scalaire $\\cdot$ définies ci-dessous est un $\\mathbb{R}$-espace vectoriel. Les éléments de $\\mathbb{R}^n$, noté $\\overrightarrow{x}$ et appelé des vecteurs, possèdes $n$ composantes $x_1, \\ldots, x_n$ \n"
- ]
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- "2. Soit $\\mathbb{P}(\\mathbb{R})$ l'ensemble des fonctions polynômiales à coefficients réels de $\\mathbb{R}$ dans $\\mathbb{R}$. Soit $p\\in \\mathbb{P}(\\mathbb{R})$, alors il existe $n\\in\\mathbb{N}$ et $a_0,a_1, \\ldots, a_n\\in \\mathbb{R}$ (les coefficients) tels que \n",