diff --git "a/Chapitre 8 - Valeurs propres, vecteurs propres, diagonalisation/8.3 Polyn\303\264me caract\303\251ristique.ipynb" "b/Chapitre 8 - Valeurs propres, vecteurs propres, diagonalisation/8.3 Polyn\303\264me caract\303\251ristique.ipynb"
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+       "        <script type=\"text/javascript\">\n",
+       "        window.PlotlyConfig = {MathJaxConfig: 'local'};\n",
+       "        if (window.MathJax) {MathJax.Hub.Config({SVG: {font: \"STIX-Web\"}});}\n",
+       "        if (typeof require !== 'undefined') {\n",
+       "        require.undef(\"plotly\");\n",
+       "        requirejs.config({\n",
+       "            paths: {\n",
+       "                'plotly': ['https://cdn.plot.ly/plotly-latest.min']\n",
+       "            }\n",
+       "        });\n",
+       "        require(['plotly'], function(Plotly) {\n",
+       "            window._Plotly = Plotly;\n",
+       "        });\n",
+       "        }\n",
+       "        </script>\n",
+       "        "
+      ]
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+    }
+   ],
    "source": [
     "import numpy as np\n",
     "import sympy as sp\n",
     "from IPython.display import display, Latex\n",
     "from Ch8_lib import *"
    ]
   },
   {
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    "source": [
     "### Définition 1:\n",
-    "Soient $A\\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ et $t$ une indéterminée. Le polyn&ocirc;me caractéristique de $A$, noté $c_A(t)$, est le polynme défini par $$c_A(t)=\\det (A-tI)$$\n",
+    "Soient $A\\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ et $t$ un paramètre réel. Le polyn&ocirc;me caractéristique de $A$, noté $c_A(t)$, est le polyn&ocirc;me défini par $$c_A(t)=\\det (A-tI),$$ où $I$ est la matrice identité de taille $n\\times n$.\n",
     "\n",
     "### Proposition 2:\n",
     "Soient $A,P\\in M_{n\\times n}(\\mathbb{R})$ et supposons que soit inversible. Alors \n",
     "$$c_A(t)=c_{PAP^{-1}}(t).$$\n",
     "\n",
     "### Définition 3:\n",
-    "Soit $T:V \\to V$ une transformation linéaire d'un $\\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie $V$. On définit le polynôme caractéristique de $T$ par $c_T(t)=c_A(t),$ où $A=[T]_{\\mathscr{B}}$ pour une base ordonnée quelconque $\\mathscr{B}$ de $V$.\n",
+    "Soient $V$ un $\\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie et $T:V \\to V$ une transformation linéaire. On définit le polynôme caractéristique de $T$ par $c_T(t)=c_A(t),$ où $A=[T]_{\\mathscr{B}}$ pour une base ordonnée quelconque $\\mathscr{B}$ de $V$.\n",
     "\n",
     "\n"
    ]
   },
   {
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    "source": [
-    "$\\lambda \\in \\mathbb{R}$ est une valeur propre de $A\\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ si et seulement si: $$ c_A(\\lambda) = \\det (A-\\lambda I) = 0$$"
+    "Le nombre réel $\\lambda$ est une valeur propre de $A\\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ si et seulement si: $$ c_A(\\lambda) = \\det (A-\\lambda I) = 0$$"
    ]
   },
   {
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    "source": [
     "### Exemple 1\n",
-    "Méthode pour calculer les valeurs propres d'une matrice $3 \\times 3$.\n"
+    "Nous allons voir la méthode pour calculer les valeurs propres d'une matrice $3 \\times 3$.\n",
+    "1. Calculer le déterminant $\\det (A-\\lambda I)$ avec $\\lambda$ comme paramètre;\n",
+    "2. Obtenir un polynôme;\n",
+    "3. Trouver les racine du polynôme.\n"
    ]
   },
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+       "$\\left|\\begin{matrix}1 - \\lambda & 1 & 1\\\\1 & 1 - \\lambda & 1\\\\1 & 1 & 1 - \\lambda\\end{matrix}\\right| = (1 - \\lambda)\\left|\\begin{matrix}1 - \\lambda & 1\\\\1 & 1 - \\lambda\\end{matrix}\\right|-1\\left|\\begin{matrix}1 & 1\\\\1 & 1 - \\lambda\\end{matrix}\\right|+1\\left|\\begin{matrix}1 & 1 - \\lambda\\\\1 & 1\\end{matrix}\\right|$"
+      ],
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+       "<IPython.core.display.Latex object>"
+      ]
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+    {
+     "data": {
+      "text/latex": [
+       "$\\left|\\begin{matrix}1 - \\lambda & 1 & 1\\\\1 & 1 - \\lambda & 1\\\\1 & 1 & 1 - \\lambda\\end{matrix}\\right| = (1 - \\lambda)\\cdot (\\left(1 - \\lambda\\right)^{2} - 1)-1\\cdot (- \\lambda)+1\\cdot (\\lambda)$"
+      ],
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+       "<IPython.core.display.Latex object>"
+      ]
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+    },
+    {
+     "data": {
+      "text/latex": [
+       "$\\left|\\begin{matrix}1 - \\lambda & 1 & 1\\\\1 & 1 - \\lambda & 1\\\\1 & 1 & 1 - \\lambda\\end{matrix}\\right| = \\lambda^{2} \\left(3 - \\lambda\\right)$"
+      ],
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+       "<IPython.core.display.Latex object>"
+      ]
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+    }
+   ],
    "source": [
     "# Définition de la matrice (Par défaut, les coefficients sont fixés à 1)\n",
     "A = [[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]]\n",
     "\n",
     "# Calcul étape par étape du polynome caractéristique (degré 3 ici).\n",
     "poly_char_3x3(A)"
    ]
   },
   {
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    "source": [
     "On a donc le polynome caractéristique de la matrice A, les valeurs propres sont les racines de ce polynôme.\n",
     "On résout $$\\det (A- \\lambda I) = 0$$"
    ]
   },
   {
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+      "text/latex": [
+       "Les racines du polynôme caractéristiques (les valeurs propres de A) sont: $\\left[ 0, \\  3\\right]$."
+      ],
+      "text/plain": [
+       "<IPython.core.display.Latex object>"
+      ]
+     },
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+     "output_type": "display_data"
+    }
+   ],
    "source": [
-    "# Resoud l'équation ci-dessus\n",
+    "# La ligne suivante résout l'équation ci-dessus\n",
     "solve_poly_char(A)"
    ]
   },
   {
    "cell_type": "markdown",
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    "source": [
     "### Exercice 1\n",
-    "Trouver les valeurs propres des matrices données ci-dessous en trouvant les racines du polynôme caractéristique. \n",
+    "Trouver les valeurs propres des matrices données ci-dessous en trouvant les racines des polynômes caractéristiques. \n",
     "\n",
     "*Pour trouver les racines des polynômes caractéristiques de degré 3 ou 4, factorisez à l'aide de racines évidentes $\\in [-2, -1, 0, 1, 2]$*"
    ]
   },
   {
    "cell_type": "markdown",
    "metadata": {},
    "source": [
-    "$$ \n",
-    "A_1 = \\left(\\begin{matrix}-2 & 4\\\\5 & -1\\end{matrix}\\right) \\hspace{20mm}\n",
-    "A_2 = \\left(\\begin{matrix}1 & 2\\\\3 & 1\\end{matrix}\\right) \\hspace{20mm} \n",
-    "A_3 = \\left(\\begin{matrix}1 & 0 & 4\\\\1 & 3 & 1\\\\2 & 4 & -1\\end{matrix}\\right)\n",
-    "$$\n",
-    "\n",
-    "$$ \n",
-    "A_4 = \\left(\\begin{matrix}4 & 0 & 1\\\\-2 & 1 & 0\\\\-2 & 0 & 1\\end{matrix}\\right) \\hspace{20mm}\n",
-    "A_5 = \\left(\\begin{matrix}1 & 2 & 0 & 0\\\\2 & 1 & 0 & 0\\\\-4 & 2 & 2 & -1\\\\-8 & 5 & 0 & 1\\end{matrix}\\right) \\hspace{20mm}\n",
-    " A_6 = \\left(\\begin{matrix}4 & 0 & 0 & 0\\\\7 & -11 & 0 & 0\\\\-0.5 & 2.3 & \\sqrt{2} & 0\\\\-8 & 5 & 2 & 11\\end{matrix}\\right)\n",
-    "$$\n"
+    "\\begin{align*}\n",
+    "& A_1 = \\left(\\begin{matrix}-2 & 4\\\\5 & -1\\end{matrix}\\right) &\n",
+    "&A_2 = \\left(\\begin{matrix}1 & 2\\\\3 & 1\\end{matrix}\\right) &\n",
+    "&A_3 = \\left(\\begin{matrix}1 & 0 & 4\\\\1 & 3 & 1\\\\2 & 4 & -1\\end{matrix}\\right)\n",
+    "\\\\[1em]\n",
+    "& A_4 = \\left(\\begin{matrix}4 & 0 & 1\\\\-2 & 1 & 0\\\\-2 & 0 & 1\\end{matrix}\\right) &\n",
+    "& A_5 = \\left(\\begin{matrix}1 & 2 & 0 & 0\\\\2 & 1 & 0 & 0\\\\-4 & 2 & 2 & -1\\\\-8 & 5 & 0 & 1\\end{matrix}\\right) & \n",
+    "& A_6 = \\left(\\begin{matrix}4 & 0 & 0 & 0\\\\7 & -11 & 0 & 0\\\\-0.5 & 2.3 & \\sqrt{2} & 0\\\\-8 & 5 & 2 & 11\\end{matrix}\\right)\n",
+    "\\end{align*}\n"
    ]
   },
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     "# Trouver les valeurs propres des matrices suivantes\n",
     "A1 = [[-2, 4], [5, -1]]\n",
     "A2 = [[1, 2], [3, 1]]\n",
     "A3 = [[1, 0, 4], [1, 3, 1], [2, 4, -1]]\n",
     "A4 = [[4, 0, 1], [-2, 1, 0], [-2, 0, 1]]\n",
     "A5 = [[1, 2, 0, 0], [2, 1, 0, 0], [-4, 2, 2, -1], [-8, 5, 0, 1]]\n",
     "A6 = [[4, 0, 0, 0], [7, -11, 0, 0], [-0.5, 2.3, sp.sqrt(2), 0], [-8, 5, 2, 11]]\n",
     "\n",
-    "# Vous pouvez egalement rentrer une matrice de votre choix et afficher son polynôme caractéristique \n",
+    "# Vous pouvez également rentrer une matrice de votre choix et afficher son polynôme caractéristique \n",
     "# et ses valeurs propres\n",
     "A_7 = [[1, 1, 1], [1, 1, 1], [1, 1, 1]]"
    ]
   },
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+       "Quelles sont les valeurs propres de la matrice $A= \\left(\\begin{matrix}1 & 2\\\\3 & 1\\end{matrix}\\right)$ ? (Entrez les valeurs propres sous la forme d'une liste: [$\\lambda_1$, $\\lambda_2$, ...]"
+      ],
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+      ]
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+       "Text(value='[0, 0]', description='Valeur(s) propre(s)')"
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+       "interactive(children=(Button(description='Run Interact', style=ButtonStyle()), Output()), _dom_classes=('widge…"
+      ]
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+      "text/latex": [
+       "Si vous n'arrivez pas à trouver les valeurs propres, vous pouvez afficher la solution détaillée."
+      ],
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+      ]
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    "source": [
     "# Choisir matrice (A = A1 ou A = A2 ...)\n",
-    "A = A1\n",
+    "A = A2\n",
     "\n",
     "interactive_valeur_propres(A)"
    ]
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    "source": [
     "# Choisir matrice (A = A1 ou A = A2 ...)\n",
     "A = A1\n",
     "\n",
     "# Affiche la solution étape par étape pour la matrice A\n",
     "valeurs_propres(A)"
    ]
   }
  ],
  "metadata": {
   "kernelspec": {
    "display_name": "Python 3",
    "language": "python",
    "name": "python3"
   },
   "language_info": {
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     "name": "ipython",
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    },
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    "name": "python",
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    "pygments_lexer": "ipython3",
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+   "version": "3.6.9"
   }
  },
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- "nbformat_minor": 2
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 }