diff --git "a/Chapitre 8 - Valeurs propres, vecteurs propres, diagonalisation /8.1 Valeurs propres et vecteurs propres, d\303\251finitions, exemples.ipynb" "b/Chapitre 8 - Valeurs propres, vecteurs propres, diagonalisation /8.1 Valeurs propres et vecteurs propres, d\303\251finitions, exemples.ipynb"
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{
"cells": [
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"# Concept(s)-clé(s) et théorie\n",
"\n",
"#### Définition: Valeur propre et vecteur propre d'une application linéaire\n",
"\n",
"Soient $V$ un $\\mathbb{R}$-espace vectoriel et $T: V \\rightarrow V$ une transformation linéaire. On dit que $\\lambda \\in \\mathbb{R}$ est une valeur propre de $T$ s'il existe $v \\in V$ non-nul tel que $T(v)=\\lambda v$. Aussi, si $\\lambda \\in \\mathbb{R}$ est une valeur propre de $T$, alors tout vecteur non-nul $v \\in V$ tel que $T(v)=\\lambda v$ s'appelle un vecteur propre de $T$ correspondant à la valeur propre $\\lambda$.\n",
"\n",
"#### Définition: Valeur propre et vecteur propre d'une matrice\n",
"Soit $A \\in M_{n \\times n} \\ (\\mathbb{R})$ . On dit que $\\lambda \\in \\mathbb{R}$ est une valeur propre de $A$ s'il existe $X \\in M_{n \\times 1} (\\mathbb{R})$ non-nul tel que $A X=\\lambda X$. Aussi, si $\\lambda \\in \\mathbb{R}$ est une valeur propre de $A$, alors toute solution non-nulle de $A X=\\lambda X$ s'appelle un vecteur propre de $A$ correspondant à la valeur propre $\\lambda$."
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"import numpy as np\n",
"import plotly\n",
"import plotly.graph_objects as go\n",
"import sympy as sp\n",
- "from IPython.display import display\n"
+ "from IPython.display import display, Latex\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"def vector_plot_3D(v, b):\n",
" fig = go.Figure()\n",
"\n",
" fig.add_trace(go.Scatter3d(x=[0, v[0]], y=[0, v[1]], z=[0, v[2]],\n",
" line=dict(color='red', width=4),\n",
" mode='lines+markers',\n",
" name='$v$'))\n",
"\n",
" fig.add_trace(go.Scatter3d(x=[0, b[0]], y=[0, b[1]], z=[0, b[2]],\n",
" line=dict(color='royalblue', width=4, dash='dash'),\n",
" mode='lines+markers',\n",
" name='$A \\ v$'))\n",
"\n",
" fig.show()"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"def CheckEigenVector(A, v):\n",
" # Check Dimensions\n",
" if A.shape[0] != A.shape[1] or v.shape[0] != A.shape[1]:\n",
" raise ValueError('Dimension problem, A should be square (n x n) and v (n x 1)')\n",
"\n",
" if v==sp.zeros(v.shape[0],1):\n",
- " print(\"v est le vecteur nul, il ne peut pas être un vecteur propre par définition\")\n",
- "\n",
- " # Matrix Multiplication\n",
- " b = A * v\n",
- " \n",
- " # Print some explanation about the method\n",
- " print(\"On voit que b = A * v donne:\")\n",
- " display(b)\n",
- " print(\"On cherche alors un nombre lambda tel que b = lambda * v\")\n",
- " \n",
- " # Symbol for lambda\n",
- " l = sp.symbols('l', real=True)\n",
- "\n",
- " # Check if there is a solution lambda of eq: A*v = lambda * v\n",
- " eq = sp.Eq(b, l*v)\n",
- " sol = sp.solve(eq, l)\n",
+ " display(Latex(\"$v$ est le vecteur nul, il ne peut pas être un vecteur propre par définition.\"))\n",
" \n",
- " # If there is l st b = l*v\n",
- " if sol:\n",
- " print(\"Il existe bien une solution lambda.\")\n",
- " print(\"Le vecteur v est donc un vecteur propre de la matrice A.\")\n",
- " print(\"La valeur propre associée est lambda = \", sol[l])\n",
- " # Otherwise\n",
" else:\n",
- " print(\"L'equation b = lambda * v n'a pas de solution.\")\n",
- " print(\"Le vecteur v n'est donc pas un vecteur propre de la matrice A.\")\n",
- " "
+ " # Matrix Multiplication\n",
+ " b = A * v\n",
+ "\n",
+ " # Print some explanation about the method\n",
+ " display(Latex(\"On voit que $ b = A v = \" + sp.latex(b) + \"$\"))\n",
+ " display(Latex(\"On cherche alors un nombre $\\lambda \\in \\mathbb{R}$ tel que $b = \\lambda v\" \\\n",
+ " + \"\\Leftrightarrow\" + sp.latex(b) + \" = \\lambda\" + sp.latex(v) + '$'))\n",
+ "\n",
+ "\n",
+ " # Symbol for lambda\n",
+ " l = sp.symbols('\\lambda', real=True)\n",
+ "\n",
+ " # Check if there is a solution lambda of eq: A*v = lambda * v\n",
+ " eq = sp.Eq(b, l*v)\n",
+ " sol = sp.solve(eq, l)\n",
+ "\n",
+ " # If there is l st b = l*v\n",
+ " if sol:\n",
+ " display(Latex(\"Il existe bien une solution pour $\\lambda$. Le vecteur $v$ est donc un vecteur \\\n",
+ " propre de la matrice $A$.\"))\n",
+ " display(Latex(\"La valeur propre associée est $\\lambda = \" + sp.latex(sol[l]) + \"$.\"))\n",
+ " # Otherwise\n",
+ " else:\n",
+ " display(Latex(\"L'equation $b = \\lambda v$ n'a pas de solution.\"))\n",
+ " display(Latex(\"Le vecteur $v$ n'est donc pas un vecteur propre de la matrice $A$.\"))\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"### **Exemple 1**\n",
"\n",
"Pour savoir si un vecteur $v \\in M_{n \\times 1} \\ (\\mathbb{R})$ est un vecteur propre de la matrice $A\\in M_{n \\times n} \\ (\\mathbb{R})$, il suffit de vérifier que les vecteurs $v$ et $b = A \\ v$ sont colinéaires. Il est possible de visualiser cela graphiquement pour des vecteurs de dimension $n=2$ où $n=3$."
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Definition de la matrice A et du vecteur v (3D)\n",
+ "# On utilise des numpy array pour les plots\n",
"v = np.array([1, 1, 1])\n",
"A = np.array([[1, 1, 1], [1, 1, 1], [1, 1, 1]])\n",
"\n",
"# Multiplication de v par A\n",
"b = A@v\n",
"\n",
"# Plot\n",
"vector_plot_3D(v, b)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"### **Exercice 1**\n",
"Etant donné une matrice carrée $A \\in M_{n \\times n} \\ (\\mathbb{R})$ et un vecteur $v \\in M_{n \\times 1} \\ (\\mathbb{R})$. Déterminez si $v$ est un vecteur propre de la matrice $A$. Si tel est le cas, trouvez la valeur propre $\\lambda \\in \\mathbb{R}$ associée. \n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
- "# Les matrices ou vecteurs peuvent dépendre du paramètre x\n",
+ "# Les matrices ou/et vecteurs peuvent dépendre du paramètre x\n",
"x = sp.symbols('x')\n",
"\n",
"# a)\n",
"A_1 = sp.Matrix([[1, 1, 1], [1, 1, 1], [1, 1, 1]])\n",
"v_1 = sp.Matrix([1, 1, 1])\n",
"\n",
- "display(A_1, v_1)"
+ "display(Latex(\" $A =\" + sp.latex(A_1) + \"\\hspace{20mm} v= \" + sp.latex(v_1) + \"$\"))"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
- "# Print the solution for A_1 and v_1\n",
+ "# Affiche la solution pour A_1 et v_1\n",
"CheckEigenVector(A_1, v_1)"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# b)\n",
"A_2 = sp.Matrix([[4*x, 8*x], [1, 2]])\n",
"v_2 = sp.Matrix([2, -1])\n",
"\n",
- "display(A_2, v_2)"
+ "display(Latex(\" $A =\" + sp.latex(A_2) + \"\\hspace{20mm} v= \" + sp.latex(v_2) + \"$\"))"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Print the solution for A_2 and v_2\n",
"CheckEigenVector(A_2, v_2)"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# c)\n",
"A_3 = sp.Matrix([[1, 2], [1, 2]])\n",
"v_3 = sp.Matrix([0, 0])\n",
"\n",
- "display(A_3, v_3)"
+ "display(Latex(\" $A =\" + sp.latex(A_3) + \"\\hspace{20mm} v= \" + sp.latex(v_3) + \"$\"))"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Print the solution for A_3 and v_3\n",
"CheckEigenVector(A_3, v_3)"
]
}
],
"metadata": {
"kernelspec": {
"display_name": "Python 3",
"language": "python",
"name": "python3"
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"language_info": {
"codemirror_mode": {
"name": "ipython",
"version": 3
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"file_extension": ".py",
"mimetype": "text/x-python",
"name": "python",
"nbconvert_exporter": "python",
"pygments_lexer": "ipython3",
"version": "3.7.2"
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},
"nbformat": 4,
"nbformat_minor": 2
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