diff --git "a/Chapitre 8 - Valeurs propres, vecteurs propres, diagonalisation /8.1 Valeurs propres et vecteurs propres, d\303\251finitions, exemples .ipynb" "b/Chapitre 8 - Valeurs propres, vecteurs propres, diagonalisation /8.1 Valeurs propres et vecteurs propres, d\303\251finitions, exemples .ipynb"
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+++ "b/Chapitre 8 - Valeurs propres, vecteurs propres, diagonalisation /8.1 Valeurs propres et vecteurs propres, d\303\251finitions, exemples .ipynb"
@@ -0,0 +1,221 @@
+{
+ "cells": [
+ {
+ "cell_type": "markdown",
+ "metadata": {},
+ "source": [
+ "# Concept(s)-clé(s) et théorie\n",
+ "\n",
+ "#### Définition: Valeur propre et vecteur propre d'une application linéaire\n",
+ "\n",
+ "Soient $V$ un $\\mathbb{R}$-espace vectoriel et $T: V \\rightarrow V$ une transformation linéaire. On dit que $\\lambda \\in \\mathbb{R}$ est une valeur propre de $T$ s'il existe $v \\in V$ non-nul tel que $T(v)=\\lambda v$. Aussi, si $\\lambda \\in \\mathbb{R}$ est une valeur propre de $T$, alors tout vecteur non-nul $v \\in V$ tel que $T(v)=\\lambda v$ s'appelle un vecteur propre de $T$ correspondant à la valeur propre $\\lambda$.\n",
+ "\n",
+ "#### Définition: Valeur propre et vecteur propre d'une matrice\n",
+ "Soit $A \\in M_{n \\times n} \\ (\\mathbb{R})$ . On dit que $\\lambda \\in \\mathbb{R}$ est une valeur propre de $A$ s'il existe $X \\in M_{n \\times 1} (\\mathbb{R})$ non-nul tel que $A X=\\lambda X$. Aussi, si $\\lambda \\in \\mathbb{R}$ est une valeur propre de $A$, alors toute solution non-nulle de $A X=\\lambda X$ s'appelle un vecteur propre de $A$ correspondant à la valeur propre $\\lambda$."
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "code",
+ "execution_count": null,
+ "metadata": {},
+ "outputs": [],
+ "source": [
+ "import numpy as np\n",
+ "import plotly\n",
+ "import plotly.graph_objects as go\n",
+ "import sympy as sp\n",
+ "from IPython.display import display\n"
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "code",
+ "execution_count": null,
+ "metadata": {},
+ "outputs": [],
+ "source": [
+ "def vector_plot_3D(v, b):\n",
+ " fig = go.Figure()\n",
+ "\n",
+ " fig.add_trace(go.Scatter3d(x=[0, v[0]], y=[0, v[1]], z=[0, v[2]],\n",
+ " line=dict(color='red', width=4),\n",
+ " mode='lines+markers',\n",
+ " name='$v$'))\n",
+ "\n",
+ " fig.add_trace(go.Scatter3d(x=[0, b[0]], y=[0, b[1]], z=[0, b[2]],\n",
+ " line=dict(color='royalblue', width=4, dash='dash'),\n",
+ " mode='lines+markers',\n",
+ " name='$A \\ v$'))\n",
+ "\n",
+ " fig.show()"
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "code",
+ "execution_count": null,
+ "metadata": {},
+ "outputs": [],
+ "source": [
+ "def CheckEigenVector(A, v):\n",
+ " # Check Dimensions\n",
+ " if A.shape[0] != A.shape[1] or v.shape[0] != A.shape[1]:\n",
+ " raise ValueError('Dimension problem, A should be square (n x n) and v (n x 1)')\n",
+ "\n",
+ " if v==sp.zeros(v.shape[0],1):\n",
+ " print(\"v est le vecteur nul, il ne peut pas être un vecteur propre par définition\")\n",
+ "\n",
+ " # Matrix Multiplication\n",
+ " b = A * v\n",
+ " \n",
+ " # Print some explanation about the method\n",
+ " print(\"On voit que b = A * v donne:\")\n",
+ " display(b)\n",
+ " print(\"On cherche alors un nombre lambda tel que b = lambda * v\")\n",
+ " \n",
+ " # Symbol for lambda\n",
+ " l = sp.symbols('l', real=True)\n",
+ "\n",
+ " # Check if there is a solution lambda of eq: A*v = lambda * v\n",
+ " eq = sp.Eq(b, l*v)\n",
+ " sol = sp.solve(eq, l)\n",
+ " \n",
+ " # If there is l st b = l*v\n",
+ " if sol:\n",
+ " print(\"Il existe bien une solution lambda.\")\n",
+ " print(\"Le vecteur v est donc un vecteur propre de la matrice A.\")\n",
+ " print(\"La valeur propre associée est lambda = \", sol[l])\n",
+ " # Otherwise\n",
+ " else:\n",
+ " print(\"L'equation b = lambda * v n'a pas de solution.\")\n",
+ " print(\"Le vecteur v n'est donc pas un vecteur propre de la matrice A.\")\n",
+ " "
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "markdown",
+ "metadata": {},
+ "source": [
+ "### **Exemple 1**\n",
+ "\n",
+ "Pour savoir si un vecteur $v \\in M_{n \\times 1} \\ (\\mathbb{R})$ est un vecteur propre de la matrice $A\\in M_{n \\times n} \\ (\\mathbb{R})$, il suffit de vérifier que les vecteurs $v$ et $b = A \\ v$ sont colinéaires. Il est possible de visualiser cela graphiquement pour des vecteurs de dimension $n=2$ où $n=3$."
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "code",
+ "execution_count": null,
+ "metadata": {},
+ "outputs": [],
+ "source": [
+ "# Definition de la matrice A et du vecteur v (3D)\n",
+ "v = np.array([1, 1, 1])\n",
+ "A = np.array([[1, 1, 1], [1, 1, 1], [1, 1, 1]])\n",
+ "\n",
+ "# Multiplication de v par A\n",
+ "b = A@v\n",
+ "\n",
+ "# Plot\n",
+ "vector_plot_3D(v, b)"
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "markdown",
+ "metadata": {},
+ "source": [
+ "### **Exercice 1**\n",
+ "Etant donné une matrice carrée $A \\in M_{n \\times n} \\ (\\mathbb{R})$ et un vecteur $v \\in M_{n \\times 1} \\ (\\mathbb{R})$. Déterminez si $v$ est un vecteur propre de la matrice $A$. Si tel est le cas, trouvez la valeur propre $\\lambda \\in \\mathbb{R}$ associée. \n"
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "code",
+ "execution_count": null,
+ "metadata": {},
+ "outputs": [],
+ "source": [
+ "# Les matrices ou vecteurs peuvent dépendre du paramètre x\n",
+ "x = sp.symbols('x')\n",
+ "\n",
+ "# a)\n",
+ "A_1 = sp.Matrix([[1, 1, 1], [1, 1, 1], [1, 1, 1]])\n",
+ "v_1 = sp.Matrix([1, 1, 1])\n",
+ "\n",
+ "display(A_1, v_1)"
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "code",
+ "execution_count": null,
+ "metadata": {},
+ "outputs": [],
+ "source": [
+ "# Print the solution for A_1 and v_1\n",
+ "CheckEigenVector(A_1, v_1)"
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "code",
+ "execution_count": null,
+ "metadata": {},
+ "outputs": [],
+ "source": [
+ "# b)\n",
+ "A_2 = sp.Matrix([[4*x, 8*x], [1, 2]])\n",
+ "v_2 = sp.Matrix([2, -1])\n",
+ "\n",
+ "display(A_2, v_2)"
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "code",
+ "execution_count": null,
+ "metadata": {},
+ "outputs": [],
+ "source": [
+ "# Print the solution for A_2 and v_2\n",
+ "CheckEigenVector(A_2, v_2)"
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "code",
+ "execution_count": null,
+ "metadata": {},
+ "outputs": [],
+ "source": [
+ "# c)\n",
+ "A_3 = sp.Matrix([[1, 2], [1, 2]])\n",
+ "v_3 = sp.Matrix([0, 0])\n",
+ "\n",
+ "display(A_3, v_3)"
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "code",
+ "execution_count": null,
+ "metadata": {},
+ "outputs": [],
+ "source": [
+ "# Print the solution for A_3 and v_3\n",
+ "CheckEigenVector(A_3, v_3)"
+ ]
+ }
+ ],
+ "metadata": {
+ "kernelspec": {
+ "display_name": "Python 3",
+ "language": "python",
+ "name": "python3"
+ },
+ "language_info": {
+ "codemirror_mode": {
+ "name": "ipython",
+ "version": 3
+ },
+ "file_extension": ".py",
+ "mimetype": "text/x-python",
+ "name": "python",
+ "nbconvert_exporter": "python",
+ "pygments_lexer": "ipython3",
+ "version": "3.7.2"
+ }
+ },
+ "nbformat": 4,
+ "nbformat_minor": 2
+}