diff --git "a/Chapitre 9 - Produits scalaires et espaces euclidens/9.8-9.9 La projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel - La projection orthogonale examples et remarques suppl\303\251mentaires.ipynb" "b/Chapitre 9 - Produits scalaires et espaces euclidens/9.8-9.9 La projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel - La projection orthogonale examples et remarques suppl\303\251mentaires.ipynb"
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+++ "b/Chapitre 9 - Produits scalaires et espaces euclidens/9.8-9.9 La projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel - La projection orthogonale examples et remarques suppl\303\251mentaires.ipynb"	
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+    "# **Concept(s)-clé(s) et théorie**\n",
+    "\n",
+    "## Définition 1\n",
+    "Soient $V$ un $\\mathbb{R}$-espace vectoriel muni d'un produit scalaire $\\langle \\cdot, \\cdot \\rangle$ et $W \\subset V$ un sous-espace vectoriel de $V$. L'**orthogonal à $W$ dans $V$** est le sous-ensemble de $V$ défini par $$W^\\perp = \\left\\{v \\in V: \\langle v,w \\rangle = 0 \\quad \\forall \\ w \\in W\\right\\}$$\n",
+    "\n",
+    "## Proposition 1\n",
+    "Soient $V$ un $\\mathbb{R}$-espace vectoriel muni d'un produit scalaire $\\langle \\cdot, \\cdot \\rangle$ et $W \\subset V$ un sous-espace vectoriel de $V$. Alors le sous-ensamble $W^\\perp$ de $V$ est un sous-espace vectoriel de $V$.\n",
+    "\n",
+    "## Proposition 2\n",
+    "Soient $V$ un $\\mathbb{R}$-espace vectoriel et $W \\subset V$ un sous-espace vectoriel de $V$. Alors pour tout $v \\in V$, il existe $w \\in W$ et $x \\in W^\\perp$ tels que $v = w + x$. De plus, $w$ et $x$ sont uniquement déterminés par $v$.\n",
+    "\n",
+    "## Définition 2\n",
+    "Soient $V$ un $\\mathbb{R}$-espace vectoriel et $W \\subset V$ un sous-espace vectoriel de $V$. Soient également $v \\in V$ et $w \\in W, x \\in W^\\perp$ tels que $v = w+x$, come ci-dessus. On appelle $w$ la **projection orthogonale de $v$ sur $W$** et on écrit $w = proj_Wv$.\n",
+    "\n",
+    "## Proposition 3\n",
+    "Soient $V$ un $\\mathbb{R}$-espace euclidien de dimension $n$ et $W \\subset V$ un sous-espace vectoriel de $V$ de dimension $k$. Soit également $\\{v_1, \\dots, v_k, v_{k+1}, \\dots, v_n\\}$ un base orthonormée de $V$ tel que $\\{v_1, \\dots, v_k\\}$ est une base orthonormée de $W$ et $\\{v_{k+1}, \\dots, v_n\\}$ est une base orthonormée de $W^\\perp$. Alors nous pouvons calculer les projections orthogonales de $v \\in V$ sur $W$ et sur $W^\\perp$ respectivement comme suit:\n",
+    "\\begin{align*}\n",
+    "proj_Wv &= \\sum\\limits_{i=1}^k \\dfrac{\\langle v, v_i \\rangle}{\\langle v_i,v_i \\rangle} v_i\\\\\n",
+    "proj_{W^\\perp}v &= \\sum\\limits_{j=k+1}^n \\dfrac{\\langle v, v_j \\rangle}{\\langle v_j,v_j \\rangle} v_j\n",
+    "\\end{align*}\n",
+    "\n",
+    "## Corollaire 1 (de Gram-Schmidt)\n",
+    "Soient $V$ un espace euclidien et $W \\subset V$ un sous-espace vectoriel de $V$. Alors $$dim W^\\perp = dim V - dim W$$\n",
+    "\n",
+    "## Corollaire 2\n",
+    "Soient $V$ un espace euclidien et $W \\subset V$ un sous-espace vectoriel de $V$. Alors $$\\left(W^\\perp\\right)^\\perp = W$$"
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