diff --git "a/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/10.1 Matrices et transformations orthogonales.ipynb" "b/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/10.1 Matrices et transformations orthogonales.ipynb" index adf8e6f..2a3b689 100644 --- "a/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/10.1 Matrices et transformations orthogonales.ipynb" +++ "b/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/10.1 Matrices et transformations orthogonales.ipynb" @@ -1,150 +1,158 @@ { "cells": [ { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "import numpy as np\n", "import sympy as sp\n", "from IPython.display import display, Latex, Markdown\n", "import plotly\n", "import plotly.graph_objects as go\n", "import sys, os\n", "sys.path.append('../Chapitre 8 - Valeurs propres, vecteurs propres, diagonalisation')\n", "from Ch8_lib import *\n", "sys.path.append('../Librairie')\n", "import AL_Fct as al\n", "from Ch10_lib import *" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "### DÉFINITION 1：\n", "Soient $V$ un espace euclidien et $T: V \\rightarrow V$ une application linéaire. On dit que $T$ est orthogonale si $\\|T(v)\\|=\\|v\\|$ pour tout $v \\in V$.\n", "\n", "### DÉFINITION 2：\n", "Soient $V=\\mathbb{R}^{n}$ muni du produit scalaire usuel et $A \\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ une matrice de taille $n \\times n$ à coefficients réels. On dit que $A$ est orthogonale si $\\|A X\\|=\\|X\\|$ pour tout $X \\in M_{n \\times 1}(\\mathbb{R})$.\n", "\n", "### CONSTAT 3:\n", "Soit $T: V \\rightarrow V$ une transformation orthogonale d'un espace euclidien $V$. Alors $T$ est injective (et donc bijective par le théorème du rang).\n", "\n", "### PROPOSITION 4:\n", "Soient $V$ un espace euclidien et $T: V \\rightarrow V$ une application linéaire orthogonale. Soient également $u, v \\in V$ et désignons par $\\theta$ (respectivement $\\gamma$) l'angle entre les deux vecteurs $u, v$ (respectivement, l'angle entre les deux vecteurs $T(u)$ et $T(v)$ ). Alors $\\theta=\\gamma$, i.e. $T$ préserve les angles." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "### Exercice 1:\n", "En utilisant la définition 1 donnée ci-dessus, determinez si les matrices suivantes sont orthogonales.\n", "\n", "\n", "$$ A_1 = \\left(\\begin{matrix}0.5 & - \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\\\\\frac{\\sqrt{3}}{2} & 0.5\\end{matrix}\\right) \\hspace{20mm}\n", "A_2 = \\left(\\begin{matrix}1 & -1\\\\0 & 1\\end{matrix}\\right) \\hspace{20mm}\n", "A_3 = \\left(\\begin{matrix}\\frac{\\sqrt{2}}{2} & - \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\\\\\frac{\\sqrt{2}}{2} & \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\end{matrix}\\right)$$\n", "\n", "$$ A_4 = \\left(\\begin{matrix}\\frac{\\sqrt{2}}{2} & \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\\\\\frac{\\sqrt{2}}{2} & \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\end{matrix}\\right) \\hspace{20mm}\n", "A_5 = \\left(\\begin{matrix}0 & 0 & -1\\\\0 & 1 & 0\\\\-1 & 0 & 0\\end{matrix}\\right) \\hspace{20mm}\n", "A_6 = \\left(\\begin{matrix}1 & -7 & -1 & 4\\\\0 & 0 & 1 & -3\\\\0 & 0 & 1 & -2\\\\0 & 0 & 0 & -1\\end{matrix}\\right) $$\n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "A1 = [[1/2 , - sp.sqrt(3)/2], [sp.sqrt(3)/2, 1/2]]\n", "A2 = [[1, -1], [0, 1]]\n", "A3 = [[sp.sqrt(2)/2, -sp.sqrt(2)/2], [sp.sqrt(2)/2, sp.sqrt(2)/2]]\n", "A4 = [[sp.sqrt(2)/2, sp.sqrt(2)/2], [sp.sqrt(2)/2, sp.sqrt(2)/2]]\n", "A5 = [[0, 0, -1], [0, 1, 0], [-1, 0, 0]]\n", "A6 = [[1, -7, -1, 4], [0, 0, 1, -3], [0, 0, 1, -2], [0, 0, 0, -1]]\n", "\n", "# Choix de la matrice (A = A1 ou A = A2 ...)\n", "A = A1\n", "\n", "# Faire l'exercice pour la matrice A\n", "interactive_is_orthogonal(A)" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ - "### Exemple 1: Transformations géométriques en 2D" + "### Exemple 1: Transformations géométriques en 2D\n", + "Executez les cellules suivantes pour visualiser les transformations géométriques induites par une multiplication matricielle appliquée à l'ensemble des points d'une figure. Certaines des matrices utilisées sont orthogonales, d'autres non." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "sp_tri, ep_tri = points_on_circle(3, [3,1])\n", "sp_sq, ep_sq = points_on_circle(4)\n", "sp_pent, ep_pent = points_on_circle(5)\n", "sp_cir, ep_cir = points_on_circle(50)\n", "\n", "A1 = np.array([[np.sqrt(2)/2, -np.sqrt(2)/2], [np.sqrt(2)/2, np.sqrt(2)/2]])\n", "A2= np.array([[1, 1],[-1, 2]])\n", - "A3 = np.array([[3, 0],[0, 2]])\n", - "\n", - "plot_geom_2D(sp_pent, ep_pent, A1)\n" + "A3 = np.array([[3, 0],[0, 2]])" + ] + }, + { + "cell_type": "code", + "execution_count": null, + "metadata": {}, + "outputs": [], + "source": [ + "plot_geom_2D(sp_pent, ep_pent, A1)" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "plot_geom_2D(sp_sq, ep_sq, A2)" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "plot_geom_2D(sp_tri, ep_tri, A3)" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "plot_geom_2D(sp_cir, ep_cir, A3)" ] } ], "metadata": { "kernelspec": { "display_name": "Python 3", "language": "python", "name": "python3" }, "language_info": { "codemirror_mode": { "name": "ipython", "version": 3 }, "file_extension": ".py", "mimetype": "text/x-python", "name": "python", "nbconvert_exporter": "python", "pygments_lexer": "ipython3", "version": "3.7.2" } }, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 2 } diff --git "a/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/10.4 Matrices sym\303\251triques, valeurs propres, vecteurs propres, th\303\251or\303\250me spectral.ipynb" "b/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/10.4 Matrices sym\303\251triques, valeurs propres, vecteurs propres, th\303\251or\303\250me spectral.ipynb" index be5ca02..4066036 100644 --- "a/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/10.4 Matrices sym\303\251triques, valeurs propres, vecteurs propres, th\303\251or\303\250me spectral.ipynb" +++ "b/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/10.4 Matrices sym\303\251triques, valeurs propres, vecteurs propres, th\303\251or\303\250me spectral.ipynb" @@ -1,173 +1,183 @@ { "cells": [ { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## Concepts-clés 10.3\n", "### DÉFINITION 1： \n", "Soit $A \\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$. On dit que $A$ est orthogalement diagonalisable s'il existe une matrice orthogonale $P \\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ telle que $P^{-1} A P$ soit diagonale. Aussi, si $V$ désigne un espace euclidien et $T: V \\rightarrow V$ une transformation linéaire de $V$, on dit que $T$ est orthogonalement diagonalisable si $V$ possède une base orthonormée formée de vecteurs propres de $T$.\n", "### REMARQUE 2: \n", "Soit $A \\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ une matrice orthogonalement diagonalisable et supposons que $P \\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ soit comme ci-dessus. Alors $P^{T} A P=P^{-1} A P$\n", "### PROPOSITION 3:\n", "Soit $A \\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ une matrice orthogonalement diagonalisable. Alors $A$ est une matrice symétrique. \n", "### REMARQUE 4: \n", "La réciproque est également vraie!" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## Concepts-clés 10.4\n", "### PROPOSITION: \n", "Soient $A \\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ une matrice symétrique et $\\lambda \\neq \\mu$ deux valeurs propres distinctes pour $A .$ Si $u \\in E_{\\lambda}$ et $v \\in E_{\\mu},$ alors $u$ et $v$ sont orthogonaux (pour le produit scalaire usuel de $\\mathbb{R}^{n}$ ). \n", "### THÉORÈME SPECTRAL： \n", "Soit $A \\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ une matrice symétrique. Alors il existe une matrice $P \\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ orthogonale telle que $P^{T} A P$ soit diagonale, i.e. $A$ est orthogonalement diagonalisable.\n", "### REMARQUE： \n", "1. Soit $A \\in M_{n \\times n}$ ( $\\mathbb{R}$ ) . Alors $A$ est orthogonalement diagonalisable si et seulement si elle est symétrique.\n", "2. Soit $A \\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ une matrice symétrique. Alors il est possible de factoriser $c_{A}(t)$ en un produit de facteurs linéaires sur $\\mathbb{R}$. En particulier, $c_{A}(t)$ n'admet aucune racine purement complexe. Autrement dit, si $\\alpha$ est une racine de $c_{A}(t),$ alors $\\alpha \\in \\mathbb{R}$\n", "3. Pour chaque valeur propre $\\lambda \\in \\mathbb{R}$ de $A$, la dimension de l'espace propre $E_{\\lambda}$ est égale à la multiplicité algébrique de $\\lambda$ comme racine de $c_{A}(t)$\n", "\n", "### THÉORÈME #: \n", "Soit $T: V \\rightarrow V$ une transformation linéaire d'un espace euclidien et $\\mathscr{B}$ une base orthonormée (arbitrairement choisie) de $V$. Alors $T$ est orthogonalement diagonalisable si et seulement si $[T]_{\\mathscr{B}}$ est symétrique." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "import numpy as np\n", "import sympy as sp\n", "from IPython.display import display, Latex, Markdown, display_latex\n", "import plotly\n", "import plotly.graph_objects as go\n", "import sys, os\n", "sys.path.append('../Chapitre 8 - Valeurs propres, vecteurs propres, diagonalisation')\n", "from Ch8_lib import *\n", "sys.path.append('../Librairie')\n", "import AL_Fct as al\n", "from Ch10_lib import *\n", "from sympy import sqrt, sin, cos, pi" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "### Exercice 1\n", "En utilisant le cours et et les énoncés rappelés ci-dessus, repondez aux questions suivantes." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "vf_10_4_1()" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "vf_10_4_1()" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "quest_10_4_2()" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "quest_10_4_3()" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "### Exercice 2\n", "En étudiant les ensembles de valeurs propres et de vecteurs propres suivants, dire si les matrices correspondantes sont symétriques ou non, ou si il manque d'informations pour répondre." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "exo_2_1_10_4()" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "exo_2_2_10_4()" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "exo_2_3_10_4()" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "exo_2_4_10_4()" ] }, + { + "cell_type": "markdown", + "metadata": {}, + "source": [ + "### Exercice 3 \n", + "En utilisant les théorèmes vus dans ce chapitre, generez une matrice répondant aux conditions données dans l'énoncé suivant." + ] + }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], - "source": [] + "source": [ + "ex_3_1_10_4()" + ] } ], "metadata": { "kernelspec": { "display_name": "Python 3", "language": "python", "name": "python3" }, "language_info": { "codemirror_mode": { "name": "ipython", "version": 3 }, "file_extension": ".py", "mimetype": "text/x-python", "name": "python", "nbconvert_exporter": "python", "pygments_lexer": "ipython3", "version": "3.7.2" } }, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 2 } diff --git "a/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/10.5 Diagonalisation d\342\200\231une matrice sym\303\251trique par une matrice orthogonale.ipynb" "b/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/10.5 Diagonalisation d\342\200\231une matrice sym\303\251trique par une matrice orthogonale.ipynb" index 6399a20..2645d95 100644 --- "a/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/10.5 Diagonalisation d\342\200\231une matrice sym\303\251trique par une matrice orthogonale.ipynb" +++ "b/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/10.5 Diagonalisation d\342\200\231une matrice sym\303\251trique par une matrice orthogonale.ipynb" @@ -1,83 +1,100 @@ { "cells": [ + { + "cell_type": "markdown", + "metadata": {}, + "source": [ + "### MÉTHODE DE DIAGONALISATION ORTHOGONALE: \n", + "Soit $A \\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ une matrice symétrique. Pour diagonaliser orthogonalement $A,$ il faut procéder en suivant les étapes suivantes.\n", + "1. Déterminer le polynôme caractéristique $c_{A}(t)$ de $A$\n", + "2. Trouver toutes les racines $\\lambda_{1}, \\ldots, \\lambda_{r} \\in \\mathbb{R}$ distinctes de $c_{A}(t)$ telles que\n", + "$$\n", + "c_{A}(t)=(-1)^{n}\\left(t-\\lambda_{1}\\right)^{m_{+}} \\cdots\\left(t-\\lambda_{r}\\right)^{m_{r}}\n", + "$$\n", + "3. Pour chaque $1 \\leq i \\leq r$, déterminer une base $\\mathscr{B}_{i}$ de $E_{\\lambda_{i}}$.\n", + "4. Pour chaque $1 \\leq i \\leq r$, utiliser le procédé de Gram-Schmidt afin de trouver une base orthonormée $\\mathscr{B}_{i}^{\\prime}$ de $E_{\\lambda_{i}}$\n", + "5. La base $\\mathscr{B}^{\\prime}=\\mathscr{B}_{1}^{\\prime} \\cup \\ldots \\cup \\mathscr{B}_{r}^{\\prime}$ est une base orthonormée de $V=\\mathbb{R}^{n}$.\n", + "6. La matrice $P=\\left[i d_{V}\\right]_{\\mathscr{C} \\mathscr{B}^{\\prime}}$ (où $\\mathscr{C}$ désigne la base canonique de $V$ ) est orthogonale et $P^{T} A P$ est diagonale." + ] + }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "import numpy as np\n", "import sympy as sp\n", "from IPython.display import display, Latex, Markdown, display_latex\n", "import plotly\n", "import plotly.graph_objects as go\n", "import sys, os\n", "sys.path.append('../Chapitre 8 - Valeurs propres, vecteurs propres, diagonalisation')\n", "from Ch8_lib import *\n", "sys.path.append('../Librairie')\n", "import AL_Fct as al\n", - "from Ch10_lib import *\n" + "from Ch10_lib import *" ] }, { - "cell_type": "code", - "execution_count": null, + "cell_type": "markdown", "metadata": {}, - "outputs": [], "source": [ - "A = [[1, 0, 1], [0,0,0], [1,0,1]]\n", + "### Exercice 1\n", + "Diagonalisez orthogonalement les matrices symétriques suivantes en donnant les éléments diagonaux de la matrice $D$ et la matrice orthogonale $P$ tels que : $$ P D P^T = A$$\n", "\n", - "ortho_diag(A)" + "\n", + "$$ A_1 = \\left(\\begin{array}{cc}2 & -4 \\\\ -4 & 2\\end{array}\\right) \\hspace{15mm}\n", + "A_2 = \\left(\\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1\\end{array}\\right) $$\n", + "\n", + "\n", + "$$A_3 = \\left(\\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 4 \\\\ 0 & -1 & 0 \\\\ 4 & 0 & -2\\end{array}\\right) \\hspace{15mm}\n", + "A_4 = \\left(\\begin{array}{cccc}1 & -1 & 1 & -1 \\\\ -1 & 1 & -1 & 1 \\\\ 1 & -1 & 1 & -1 \\\\ -1 & 1 & -1 & 1\\end{array}\\right)$$" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], - "source": [] - }, - { - "cell_type": "code", - "execution_count": null, - "metadata": {}, - "outputs": [], - "source": [] - }, - { - "cell_type": "code", - "execution_count": null, - "metadata": {}, - "outputs": [], - "source": [] + "source": [ + "A1 = [[2,-4], [-4, 2]]\n", + "A2 = [[1, 0, 1], [0, 0, 0], [1, 0, 1]]\n", + "A3 = [[-2, 0, 4], [0, -1, 0], [4, 0, -2]]\n", + "A4 = [[1, -1, 1, -1], [-1, 1, -1, 1], [1, -1, 1, -1], [-1, 1, -1, 1]]" + ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], - "source": [] + "source": [ + "# Executez cette cellule pour commencer l'exercice avec la matrice spécifié à la ligne suivante\n", + "A = A1\n", + "ortho_diag(A)" + ] } ], "metadata": { "kernelspec": { "display_name": "Python 3", "language": "python", "name": "python3" }, "language_info": { "codemirror_mode": { "name": "ipython", "version": 3 }, "file_extension": ".py", "mimetype": "text/x-python", "name": "python", "nbconvert_exporter": "python", "pygments_lexer": "ipython3", "version": "3.7.2" } }, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 2 } diff --git "a/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/Ch10_lib.py" "b/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/Ch10_lib.py" index d3de03f..ddaeaf7 100644 --- "a/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/Ch10_lib.py" +++ "b/Chapitre 10 - Matrices orthogonales, matrices sym\303\251triques/Ch10_lib.py" @@ -1,733 +1,798 @@ import sys, os import numpy as np import sympy as sp from IPython.display import display, Latex, Markdown import plotly import plotly.graph_objects as go sys.path.append('../Chapitre 8 - Valeurs propres, vecteurs propres, diagonalisation') from Ch8_lib import * sys.path.append('../Librairie') import AL_Fct as al import ipywidgets as widgets from ipywidgets import interact_manual, Layout from sympy import sqrt import random def points_on_circle(n, center=np.array([0, 0])): theta = 2 * np.pi / n s_pts = np.zeros((n, 2)) e_pts = np.zeros((n, 2)) for i in range(n): s_pts[i] = [np.cos(i * theta) + center[0], np.sin(i * theta) + center[1]] e_pts[i] = [np.cos((i + 1) * theta) + center[0], np.sin((i + 1) * theta) + center[1]] return np.array(s_pts), np.array(e_pts) def plot_geom_2D(s_pts, e_pts, A): n = len(s_pts) + if A.shape[0]!=2 or A.shape[1]!=2: + raise ValueError("A should be a 2 by 2 numpy array") + if n != len(e_pts): raise ValueError("start_points and end_points must have same length.") layout = go.Layout(yaxis=dict(scaleanchor="x", scaleratio=1)) display(Latex("On montre la transformation provoquée par la multiplication par la matrice $A = " + al.texMatrix(A) + "$ sur une figure géométrique.")) + if np.allclose(A @ A.transpose(), np.eye(2)): + display(Latex("La matrice $A = " + al.texMatrix(A) + "$ est une matrice orthogonale." )) + else: + display(Latex("La matrice $A = " + al.texMatrix(A) + "$ n'est pas une matrice orthogonale." )) + fig = go.Figure(layout=layout) color = ['black', 'red', 'blue', 'green', 'yellow', 'brown', 'grey', 'cyan', 'orange', 'violet'] n_col = len(color) if n > n_col: color = ['blue'] n_col = 1 for i in range(n): a = np.array(s_pts[i]) b = np.array(e_pts[i]) a2 = A @ a b2 = A @ b if i == 0: show_legend = True else: show_legend = False fig.add_trace(go.Scatter(x=[a[0], b[0]], y=[a[1], b[1]], line=dict(color=color[i % n_col], width=2), mode='lines+markers', showlegend=show_legend, name='Original Figure')) fig.add_trace(go.Scatter(x=[a2[0], b2[0]], y=[a2[1], b2[1]], line=dict(color=color[i % n_col], width=2, dash='dot'), mode='lines+markers', showlegend=show_legend, name='Modified Figure')) fig.show() def is_orthogonal(A): A = sp.Matrix(A) n = A.shape[0] if n != A.shape[1]: raise ValueError("A should be a square matrix") display(Latex("On cherche à savoir si la matrice $A = " + latexp(A) + "$ est orthogonale en utilisant la " + "définition 1.")) if A.is_lower or A.is_upper: for i in range(n): if A[i, i] != 1 and A[i, i] != -1: display(Latex("Les valeurs propres de $A$ sont ses éléments diagonaux. Une des valeurs propres de " + "$A$ est différente de 1 ou -1. Il existe donc un vecteur propres $v$ de $A$ tel " + " que $A v = \lambda v$ avec $\lambda \\neq \pm 1$. Donc dans ce cas on a $\|A v\| " + "\\neq \|v\| $." )) return v = sp.zeros(n, 1) for i in range(n): symb_name = "x_" + str(i + 1) v[i] = sp.symbols(symb_name, real=True) b = A * v b_norm = b.norm() ** 2 v_norm = v.norm() ** 2 display(Latex("Il faut vérifier si $\|A v\| = \|v\|$ pour tout $v \in \mathbb{R}^" + str(n) + "$." + " On utilise le carré des normes pour s'affranchir des racines carrées.")) display(Latex("On calcule d'abord la norme au carré de $v$ et on obtient: $\|v\|^2 = " + sp.latex(v_norm) + "$.")) display(Latex("On calcule ensuite le produit $Av = " + latexp(b) + "$")) if sp.simplify(b_norm) != b_norm: display(Latex("On calcule la norme au carré de $Av$ et on obtient: $\|Av\|^2 = " + sp.latex(b_norm) + "=" + sp.latex(sp.simplify(b_norm)) + "$")) else: display(Latex("On calcule la norme au carré de $Av$ et on obtient: $\|Av\|^2 = " + sp.latex(b_norm) + "$")) if sp.simplify(b_norm - v_norm) == 0: display(Latex("Les normes sont toujours égales. La matrice est donc orthogonale.")) else: display(Latex("Les normes sont différente. La matrice n'est donc pas orthogonale.")) def interactive_is_orthogonal(A): A = sp.Matrix(A) n = A.shape[0] if n != A.shape[1]: raise ValueError("A should be a square matrix") display(Latex("La matrice suivante est-elle orthogonale ? $A = " + latexp(A) + "$")) - answer = widgets.RadioButtons(options=["Oui", "Non"], description="Réponse: ", disabled=False) + answer = widgets.RadioButtons(options=["Oui", "Non"], description="Réponse : ", disabled=False) sol = A.transpose()*A - sp.eye(n) == sp.zeros(n) display(answer) def f(): if answer.value == "Oui": answer_bool = True else: answer_bool = False if answer_bool == sol: display(Latex("Correct !")) else: display(Latex("Incorrect")) interact_manual(f) display(Latex("Si vous n'arrivez pas à trouver la solution, vous pouvez afficher la solution détaillée en" " cliquant ici")) def f_sol(): is_orthogonal(A) im = interact_manual(f_sol) im.widget.children[0].description = 'Solution' def ortho_diag(A): A = sp.Matrix(A) n = A.shape[0] if A - A.transpose() != sp.zeros(n): display(Latex("La matrice $A = " + latexp(A) + "$ n'est pas orthogonalement diagonalisable car elle n'est pas " "symétrique.")) return eig = A.eigenvals() eig_list = list(eig.keys()) eig_list.sort() display(Latex("On cherche à diagonaliser orthogonalement la matrice $ A = " + latexp(A) + "$.")) default_value_P = str(np.ones(A.shape, dtype=np.int16).tolist()) default_value_P = default_value_P.replace("],", "],\n") default_value_D = str(np.ones(A.shape[0], dtype=np.int16).tolist()) answer_P = widgets.Text(value=default_value_P, description='P: ', disabled=False) answer_D = widgets.Text(value=default_value_D, description='D: ', disabled=False) - display(Latex("Pour les réponses aux questions suivantes, ne faites pas d'approximation numériques, " + display(Latex("Pour les réponses aux questions suivantes, ne faites pas d'approximations numériques, " "toutes les valeurs doivent être exactes. Pour les racines carrées " - "(utiles pour normaliser les vecteurs), utilisez 'sqrt('votre valeur')'.")) + "(utiles pour normaliser les vecteurs), utilisez 'sqrt('votre valeur')', ex: sqrt(2).")) display(Latex("Donnez les éléments diagonaux de la matrice $D$")) display(answer_D) display(Latex("Donnez la matrice P permettant de diagonaliser orthogonalement la matrice $A$ de sorte que " "$ A = PDP^T = PDP^{-1} $")) display(answer_P) def f(): P_user = eval(answer_P.value) P_user = sp.Matrix(P_user) D_diag= eval(answer_D.value) D_diag_order = set(D_diag.copy()) D_diag_order = list(D_diag_order) D_diag_order.sort() D_user = sp.zeros(n) for i in range(n): D_user[i, i] = D_diag[i] D_user = sp.Matrix(D_user) if np.allclose(np.array(D_diag_order, dtype=np.float64), np.array(eig_list, dtype=np.float64)): if P_user*P_user.transpose()-sp.eye(n) == sp.zeros(n): if P_user * D_user * P_user.transpose() - A == sp.zeros(n): display(Latex("Correct !")) else: display(Latex("Incorrect. On a $PDP^{T}\\neq A$ avec $P = " + latexp(P_user) + "$ et $D =" + latexp(D_user) + "$.")) else: display(Latex("La matrice $P = " + latexp(P_user) + "$ n'est pas orthogonale, i.e. $P P^{T} \\neq I$.")) else: display(Latex("Incorrect. " "Les éléments diagonaux de $D$ ne correspondent pas aux valeurs propres de la matrice $A$.")) return interact_manual(f) def correction_ortho_diag(): - display(Latex("Pour diagonaliser orthogonalement une matrice, on a applique la méthode donnée dans le cours:")) - - display(Markdown( - "**Méthode**. Soit $A \in M_{n \\times n}(\mathbb{R})$ symétrique. Soit $\mathcal{C}$ la base canonique de $\mathbb{R}^{n}$ " - + nl() + - "(1) Cherchons le polynôme caractéristique $c_{A}(t)$" + nl() + - "(2) Trouver toutes les racines distinctes $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{r} \in \mathbb{R}$ de $c_{A}(t)$ t.q. $c_{A}(t)=\pm\left(t-\lambda_{1}\\right)^{m_{1}} \cdots\left(t-\lambda_{r}\\right)^{m_{r}}$" - + nl() + "(3) Pour chaque $i,$ trouver une base $\mathcal{B}_{i}$ de $E_{\lambda_{i}}$" + nl() + - "(4) On sait que pour $v \in \mathcal{B}_{i}, w \in \mathcal{B}_{j}, i \\neq j, v \cdot w=0$" + nl() + - "(5) Pour chaque $i$, utiliser Gram-Schmidt pour trouver une base orthonormée $\mathcal{B}_{i}^{\prime}$ de $E_{\lambda_{i}}$" + nl() + - "(6) $\mathcal{B}^{\prime}=\mathcal{B}_{1}^{\prime} \cup \cdots \cup \mathcal{B}_{r}^{\prime}$ est une base orthonormée de $V$" + nl() + - "(7) $P=[\\text { id }]_{C \mathcal{B}^{\prime}}$ est orthogonale et $P^{T} A P=P^{-1} A P$ est diagonale.")) - + display(Latex("Pour diagonaliser orthogonalement une matrice, on a applique la méthode donnée dans le cours et rappelée plus haut")) lamda = sp.symbols('lamda') poly_char_exp = sp.expand(A.charpoly(lamda).as_expr()) poly_char_fac = sp.factor(A.charpoly(lamda).as_expr()) poly_char_exp_str = sp.latex(poly_char_exp) poly_char_fac_str = sp.latex(poly_char_fac) display(Latex("Le polynôme caractéristique de $A$ s'exprime comme: $c_A (t) = " + poly_char_exp_str + "$.")) display(Latex("On trouve les racines du polynôme caractéristique et on factorise. On obtient $c_A (t) = " + poly_char_fac_str + "$.")) eig_list_ = list(eig.keys()) mult_list_ = list(eig.values()) display(Latex("On obtient donc les valeurs propres $\lambda$ et leur multiplicité respective $m$: " " $ \lambda = " + sp.latex(eig_list_) + " \hspace{10mm} m = " + sp.latex(mult_list_) + "$.")) display(Markdown("**On trouve une base orthonormée pour tous les espaces propres.**")) final_basis = [] P = sp.Matrix([]) k = 0 for l in eig_list_: basis_orthonorm = [] basis, basic_idx, free_idx = eigen_basis(A, l, prop_basis=None, disp=True, return_=True, dispA=False) for v in basis: if np.all(v == np.round(v)): v = v.astype(np.int16) basis_orthonorm.append(sp.Matrix(v)) basis_orthonorm = sp.GramSchmidt(basis_orthonorm, True) for v in basis_orthonorm: final_basis.append(v) P = P.col_insert(k, v) k+=1 display(Latex("On applique le procédé de Gram-Schmidt pour obtenir des vecteurs de norme 1 et orthogonaux. " "On obtient $" + sp.latex(basis_orthonorm) + "$")) display(Latex("Finalement, on construit la matrice $P$ en utilisant chaque vecteur de base " "trouvé précedemment comme colonne de cette matrice. Cette dernière est bien orthogonale car " - "les vecteurs de base sont orthogonaux entre eux et tous de norme unitaire." + "les vecteurs de base sont orthogonaux entre eux et tous de norme unitaire. " "On construit la matrice $D$ en plaçant les valeurs propres de $A$ sur la diagonale. " - "Le placement des valeurs propres sur la diagonale de $D$" + "Le placement des valeurs propres sur la diagonale de $D$ " "doit correspondre avec celui des vecteurs propres dans $P$.")) D = sp.zeros(n) i = 0 for idx in range(len(eig_list_)): for _ in range(mult_list_[idx]): D[i, i] = eig_list_[idx] i += 1 display(Latex("On obtient $P = " + latexp(P) + "\hspace{5mm} \mbox{et} \hspace{5mm} D = " + latexp(D) + "$")) - display(Latex("On vérifie le résultat par un calcul:")) + display(Latex("On vérifie le résultat par un calcul :")) display(Latex("$P D P^T = "+ latexp(P) + latexp(D) + latexp(P.transpose()) + " = " + latexp(P*D*P.transpose()) + "=A$")) display(Latex("Si vous n'arrivez pas à résoudre l'exercice, vous pouvez afficher la solution étape " "par étape en cliquant ici.")) - interact_manual(correction_ortho_diag) + im = interact_manual(correction_ortho_diag) + im.widget.children[0].description = 'Solution' def nl(): return "$$ $$" def sol_is_ortho(A): A = sp.Matrix(A) n = A.shape[0] if n != A.shape[1]: display(Latex("La matrice $A = " + latexp(A) + "$ n'est pas carrée !")) return display(Latex("Pour vérifier si la matrice $A$ est orthogonale, on effectue dans cette correction " "le produit de $A$ et de sa transposée $A^T$." " On vérifie ensuite si l'on obtient la matrice identité.")) if sp.simplify(A*A.transpose()-sp.eye(n)) == sp.zeros(n): - display(Latex("On a que: $A A^T = " + latexp(A) + latexp(A.transpose()) + "= " + latexp(sp.eye(n)) + "= I_n $")) + display(Latex("On a que : $A A^T = " + latexp(A) + latexp(A.transpose()) + "= " + latexp(sp.eye(n)) + "= I_n $")) display(Latex("La matrice $A$ est donc orthogonale.")) else: - display(Latex("On a que: $A A^T = " + latexp(A) + latexp(A.transpose()) + "\\neq I_n $")) + display(Latex("On a que : $A A^T = " + latexp(A) + latexp(A.transpose()) + "\\neq I_n $")) display(Latex("Par consequent, la matrice $A$ n'est pas orthogonale.")) return def is_ortho_10_2(A): A = sp.Matrix(A) n = A.shape[0] display(Latex("La matrice $A =" + latexp(A) + "$ est-elle orthogonale ?")) - answer = widgets.RadioButtons(options=["Oui", "Non"], description="Réponse: ", disabled=False) + answer = widgets.RadioButtons(options=["Oui", "Non"], description="Réponse : ", disabled=False) display(answer) sol = sp.simplify(A * A.transpose() - sp.eye(n)) == sp.zeros(n) if n != A.shape[1]: sol = False def f(): if answer.value == "Oui": answer_bool = True else: answer_bool = False if answer_bool == sol: display(Latex("Correct !")) else: display(Latex("Incorrect")) if sol: display(Latex("La matrice $A$ est orthogonale.")) else: display(Latex("La matrice $A$ n'est pas orthogonale.")) interact_manual(f) def f_sol(): sol_is_ortho(A) display(Latex("Pour afficher la solution, cliquez-ici.")) im = interact_manual(f_sol) im.widget.children[0].description = 'Solution' -# Vrai faux -def vf(sol): - """ - - :param sol: (bool) solution au vrai faux - :return: bool si réponse juste (vrai) ou non (faux) - """ - answer = widgets.RadioButtons(options=["Vrai", "Faux"], description="Réponse: ", disabled=False) - - def vf_10_2_2(): display(Latex("Soit $A \in M_{n \\times n}(\mathbb{R})$ une matrice orthogonale. On construit la matrice" " $B \in M_{n \\times n}(\mathbb{R})$ en réarrangeant les colonnes de $A$ dans un ordre quelquonque. " "La matrice $B$ est aussi orthogonale.")) - answer = widgets.RadioButtons(options=["Vrai", "Faux"], description="Réponse: ", disabled=False) + answer = widgets.RadioButtons(options=["Vrai", "Faux"], description="Réponse : ", disabled=False) display(answer) def f(): if answer.value=="Vrai": display(Latex("Correct ! En effet, si l'ordre des colonnes est modifié, l'ensemble de ces dernières reste " "toujours une base orthonormée de l'espace $V$. " "La proposition (5) est donc vérifiée pour la matrice $B$.")) else: display(Latex("Incorrect, changez votre réponse !")) interact_manual(f) def vf_10_2_3(): display(Latex("Soit $A \in M_{n \\times n}(\mathbb{R})$ une matrice orthogonale. On construit la matrice" " $B \in M_{n \\times n}(\mathbb{R})$ en réarrangeant les lignes de $A$ dans un ordre quelquonque. " "La matrice $B$ est aussi orthogonale.")) - answer = widgets.RadioButtons(options=["Vrai", "Faux"], description="Réponse: ", disabled=False) + answer = widgets.RadioButtons(options=["Vrai", "Faux"], description="Réponse : ", disabled=False) display(answer) def f(): if answer.value=="Vrai": display(Latex("Correct ! En effet, si l'ordre des lignes est modifié, l'ensemble de ces dernières reste " "toujours une base orthonormée de l'espace $V$. " "La proposition (4) est donc vérifiée pour la matrice $B$.")) else: display(Latex("Incorrect, changez votre réponse !")) interact_manual(f) def vf_10_2_1(): display(Latex("Soit $A \in M_{n \\times n}(\mathbb{R})$ une matrice orthogonale. $A^T$ est aussi orthogonale.")) - answer = widgets.RadioButtons(options=["Vrai", "Faux"], description="Réponse: ", disabled=False) + answer = widgets.RadioButtons(options=["Vrai", "Faux"], description="Réponse : ", disabled=False) display(answer) def f(): if answer.value == "Vrai": display(Latex("Correct ! En effet, comme $A$ est orthogonale, on sait que ses colonnes forment " "une base orthonormée de l'espace $V$. Comme les lignes de $A^T$ sont les colonnes de $A$, " "alors la proposition (4) est vérifiée pour $A^T$, i.e. les lignes de $A^T$ forment une base " "orthonormée de $V$. $A^T$ est donc une matrice orthogonale.")) else: display(Latex("Incorrect, changez votre réponse !")) interact_manual(f) def vf_10_2_4(): display(Latex("Soit $A \in M_{n \\times n}(\mathbb{R})$ une matrice ayant une valeur propre $\lambda = 2$. " "Il est possible que $A$ soit orthogonale.")) - answer = widgets.RadioButtons(options=["Vrai", "Faux"], description="Réponse: ", disabled=False) + answer = widgets.RadioButtons(options=["Vrai", "Faux"], description="Réponse : ", disabled=False) display(answer) def f(): if answer.value == "Faux": display(Latex("Correct ! Etant donné que $A$ a pour valeur propre $\lambda=2$, cela signifique qu'il existe " "un vecteur $v$ tel que $A v = 2 v$. Donc la matrice $A$ ne conserve pas toujours les longeurs lors " "d'une multiplication avec un vecteur. La proposition (1) n'est pas vérifiée." " $A$ ne peut donc pas être orthogonale.")) else: display(Latex("Incorrect, changez votre réponse !")) interact_manual(f) def vf_10_4_1(): display(Markdown("**Dire si l'affirmation suivante est vraie ou fausse.**")) display(Latex("La matrice $A$ est orthogonalement diagonalisable.")) n_pos = [3, 4, 5] n = random.choice(n_pos) sym = bool(random.getrandbits(1)) A = sp.randMatrix(n, symmetric=sym, percent=70, min=-20, max=20) if sp.simplify(A-A.transpose())==sp.zeros(n): sol = True else: sol = False display(Latex("$A = " + latexp(A) + "$")) - answer = widgets.RadioButtons(options=["Vrai", "Faux"], description="Réponse: ", disabled=False) + answer = widgets.RadioButtons(options=["Vrai", "Faux"], description="Réponse : ", disabled=False) display(answer) def f(): if answer.value == "Vrai": answer_value = True else: answer_value = False if answer_value == sol: display(Latex("Correct ! ")) if sol: display(Latex("La matrice $A$ est orthogonalement diagonalisable car elle est symétrique.")) else: display(Latex("La matrice $A$ n'est pas orthogonalement diagonalisable car elle n'est pas symétrique.")) else: display(Latex("Incorrect, changez votre réponse.")) interact_manual(f) def quest_10_4_2(): A = sp.Matrix([[2, -4], [1, -1]]) charpol = A.charpoly().as_expr() * -1 display(Latex("Soit $A$ une matrice carrée ayant pour polynome caractéristique $c_A(\lambda) = " + sp.latex(charpol) + "$")) display(Latex("La matrice $A$ est-elle symétrique ?")) - answer = widgets.RadioButtons(options=["Oui", "Pas nécessairement", "Non"], description="Réponse: ", disabled=False) + answer = widgets.RadioButtons(options=["Oui", "Pas nécessairement", "Non"], description="Réponse : ", disabled=False) display(answer) sol = "Non" def f(): if answer.value == sol: display(Latex("Correct !")) else: display(Latex("Incorrect.")) interact_manual(f) def f_sol(): - display(Latex("Le polynome caractéristique de $A$ n'admet pas de racine réelle. " + display(Latex("Le polynome caractéristique de $A$ admet une ou des racine(s) non réelle(s). " "Donc la matrice $A$ ne peut pas être symétrique.")) display(Latex("Pour afficher la solution détaillée, cliquez-ici.")) im = interact_manual(f_sol) im.widget.children[0].description = 'Solution' def quest_10_4_3(): # Non symmetric values A = sp.Matrix([[0, -1, -4], [0, 0, -2], [0, -2, 0]]) charpol = A.charpoly().as_expr()*-1 charpol = charpol.factor() display(Latex("Soit $A$ une matrice carrée ayant pour polynome caractéristique $c_A(\lambda) = " + sp.latex(charpol) + "$")) display(Latex("La matrice $A$ est-elle symétrique ?")) - answer = widgets.RadioButtons(options=["Oui", "Pas nécessairement", "Non"], description="Réponse: ", disabled=False) + answer = widgets.RadioButtons(options=["Oui", "Pas nécessairement", "Non"], description="Réponse : ", disabled=False) display(answer) sol = "Pas nécessairement" def f(): if answer.value == sol: display(Latex("Correct !")) else: display(Latex("Incorrect.")) interact_manual(f) def f_sol(): A2 = sp.Matrix([[0, 0, 0], [0, 2, 0], [0, 0, -2]]) display(Latex("On sait que le polynome caractéristique d'une matrice symétrique admet uniquement des racines réelles. " "Or la réciproque est fausse, i.e., les polynomes caractéristiques à racines réelles peuvent être issus de matrices non symétriques. " + nl() + "On voit que le polynome caractéristique $c_A(\lambda)$ a uniquement des racines réelles mais cela ne suffit pas pour conclure que $A$ est symétrique. ")) display(Latex("La bonne réponse est donc: Pas nécessairement")) display(Latex("Dans ce cas précis, les matrices $A_1 =" + latexp(A) + "$ et $A_2 = " + latexp(A2) + "$ ont " "toutes les deux $c_A(\lambda)$ pour polynome caractéristique. On voit que une des matrices est symétrique et l'autre pas.")) display(Latex("Pour afficher la solution détaillée, cliquez-ici.")) im = interact_manual(f_sol) im.widget.children[0].description = 'Solution' def exo_2_1_10_4(): v1 = sp.Matrix([3, 4]) v2 = sp.Matrix([-1, 1/2]) display(Latex("La matrice $A \in M_{2 \\times 2}$ ( $\mathbb{R}$ ) a pour valeur propres $3$ et $-2$. " "$" + latexp(v1) + "\mbox{ et } " + latexp(v2) + "$ sont des vecteurs propres de $A$ respectivement " "associés aux valeurs propres $3$ et $-2$. ")) display(Latex("La matrice $A$ est-elle symétrique ?")) - answer = widgets.RadioButtons(options=["Oui", "Non", "Manque d'informations"], description="Réponse: ", disabled=False) + answer = widgets.RadioButtons(options=["Oui", "Non", "Manque d'informations"], description="Réponse : ", disabled=False) display(answer) sol = "Non" def f(): if answer.value == sol: display(Latex("Correct !")) else: display(Latex("Incorrect.")) interact_manual(f) def f_sol(): display(Latex("Les vecteurs propres $" + latexp(v1) + "$ et $" + latexp(v2) + "$ sont associés à des valeurs propres différentes mais ne sont pas orthogonaux. " "La matrice $A$ ne peut donc pas être symétrique.")) display(Latex("Pour afficher la solution détaillée, cliquez ici.")) im = interact_manual(f_sol) im.widget.children[0].description = 'Solution' def exo_2_2_10_4(): v1 = sp.Matrix([1, 0, 2]) v2 = sp.Matrix([-2, 0, -4]) v3 = sp.Matrix([2, 5, -1]) display(Latex("La matrice $A \in M_{3 \\times 3}$ ( $\mathbb{R}$ ) a pour valeur propres $4$ et $2$. " "$" + latexp(v1) + ", " + latexp(v2) + "\mbox{ et } " + latexp(v3) + "$ sont des vecteurs propres de $A$ respectivement " "associés aux valeurs propres $4$, $4$ et $-2$. ")) display(Latex("La matrice $A$ est-elle symétrique ?")) opt = ["Oui", "Non", "Manque d'informations"] - answer = widgets.RadioButtons(options=opt, description="Réponse: ", disabled=False) + answer = widgets.RadioButtons(options=opt, description="Réponse : ", disabled=False) display(answer) sol = opt[2] def f(): if answer.value == sol: display(Latex("Correct !")) else: display(Latex("Incorrect.")) interact_manual(f) def f_sol(): display(Latex("Les vecteurs propres associés à des valeurs propres différentes sont bien orthogonaux. " "Mais on ne connait pas la dimension de l'espace propre associé à $\lambda = 4$ car les deux " "vecteurs donnés dans l'énoncé, $ " + latexp(v1) + " \mbox{ et } " + latexp(v2) + "$, " "sont colinéaires." + nl() + "Pour connaitre la dimension de cette espace, il faudrait une base de ce dernier. " "Cela permettrait de vérifier si la dimension de l'espace est de 2 et si tous les vecteurs de " "cet espace sont orthogonaux aux vecteurs composant l'espace propre associé à $\lambda = 2$. " "Si ces deux conditions étaient vérifiées, la matrice $A$ serait symétrique.")) display(Latex("Il manque donc d'informations pour répondre.")) display(Latex("Pour afficher la solution détaillée, cliquez ici.")) im = interact_manual(f_sol) im.widget.children[0].description = 'Solution' def exo_2_3_10_4(): v1 = sp.Matrix([1, 0, 1]) v2 = sp.Matrix([-2, 0, 1]) v3 = sp.Matrix([0, 3, 0]) display(Latex("La matrice $A \in M_{3 \\times 3}$ ( $\mathbb{R}$ ) a pour valeur propres $-1$, $2$ et $4$. " "$" + latexp(v1) + ", " + latexp(v2) + "\mbox{ et } " + latexp(v3) + "$ sont des vecteurs propres de $A$ respectivement " "associés aux valeurs propres $-1$, $2$ et $4$. ")) display(Latex("La matrice $A$ est-elle symétrique ?")) opt = ["Oui", "Non", "Manque d'informations"] - answer = widgets.RadioButtons(options=opt, description="Réponse: ", disabled=False) + answer = widgets.RadioButtons(options=opt, description="Réponse : ", disabled=False) display(answer) sol = opt[1] def f(): if answer.value == sol: display(Latex("Correct !")) else: display(Latex("Incorrect.")) interact_manual(f) def f_sol(): display(Latex("Les vecteurs propres $" + latexp(v1) + "$ et $" + latexp(v2) + "$ sont associés à des valeurs propres différentes mais ne sont pas orthogonaux. " "La matrice $A$ ne peut donc pas être symétrique.")) display(Latex("Pour afficher la solution détaillée, cliquez ici.")) im = interact_manual(f_sol) im.widget.children[0].description = 'Solution' def exo_2_4_10_4(): v1 = sp.Matrix([1, 0, 1]) v2 = sp.Matrix([-2, 0, 1]) v3 = sp.Matrix([0, 3, 0]) display(Latex("La matrice $A \in M_{3 \\times 3}$ ( $\mathbb{R}$ ) a pour valeur propres $-1$, et $4$. " "$" + latexp(v1) + ", " + latexp(v2) + "\mbox{ et } " + latexp(v3) + "$ sont des vecteurs propres de $A$ respectivement " "associés aux valeurs propres $-1$, $-1$ et $4$. ")) display(Latex("La matrice $A$ est-elle symétrique ?")) opt = ["Oui", "Non", "Manque d'informations"] - answer = widgets.RadioButtons(options=opt, description="Réponse: ", disabled=False) + answer = widgets.RadioButtons(options=opt, description="Réponse : ", disabled=False) display(answer) sol = opt[0] def f(): if answer.value == sol: display(Latex("Correct !")) else: display(Latex("Incorrect.")) interact_manual(f) def f_sol(): base_1 = sp.GramSchmidt([v1, v2], orthonormal=True) base_4 = sp.GramSchmidt([v3], orthonormal=True) display(Latex("Les vecteurs propres $" + latexp(v1) + "$ et $" + latexp(v2) + "$ associés à $\lambda = -1$ sont linéairement indépendant " "et orthogonaux au vecteur propre $" + latexp(v3) + "$ associé à $\lambda = 4$. " "On peut utiliser ces deux ensembles de vecteurs propres pour former des bases des espaces propres " - "associés à $\lambda = -1$ et $\lambda = 4$, respectivement." + "associés à $\lambda = -1$ et $\lambda = 4$, respectivement. " "On peut othogonaliser et normaliser ces bases avec le schema de Gram-Schmidt.")) display(Latex("On obtient les bases des espaces propres associées respectivement à $\lambda = -1$ et $\lambda = 4$")) display(Latex("$ " + latexp(base_1[0]) + ", " + latexp(base_1[1]) + "\hspace{15mm} " + latexp(base_4[0]) + "$")) + display(Latex("On voit que l'espace $V = \mathbb{R}^3$ possède une base othornormée composée de vecteurs propres de $A$. " + "La transformation associée à la matrice $A$ est donc orthogonalement diagonalisable et $A$ est donc symétrique.")) + + + display(Latex("Pour afficher la solution détaillée, cliquez ici.")) + im = interact_manual(f_sol) + im.widget.children[0].description = 'Solution' + + +def ex_3_1_10_4(): + l_1 = 2 + l_2 = -1 + + v_1 = sp.Matrix([1, -1]) + + display(Latex("Trouver une matrice $A \in M_{2 \\times 2} (\mathbb{R})$ symétrique ayant pour valeurs propres 2 " + "et -1 et $" + latexp(v_1) + "$ comme vecteur propres associé à $\lambda = 2$.")) + + default_value_A = str(np.ones((2, 2), dtype=np.int16).tolist()) + answer = widgets.Text(value=default_value_A, description='A: ', disabled=False, display='flex') + display(answer) + + def f(): + A = eval(answer.value) + A = sp.Matrix(A) + + if A.shape[0] != 2 or A.shape[1] != 2: + display(Latex("Incorrect, la matrice doit être carrée et 2x2.")) + return + + if sp.simplify(A - A.transpose()) != sp.zeros(2): + display(Latex("Incorrect, la matrice n'est pas symétrique !")) + return + + eig = A.eigenvals() + eig_list = list(eig.keys()) + + if l_1 not in eig_list or l_2 not in eig_list: + if l_1 not in eig_list: + display(Latex("Incorrect, 2 n'est pas une valeur propre de la matrice rentrée.")) + if l_2 not in eig_list: + display(Latex("Incorrect, -1 n'est pas une valeur propre de la matrice rentrée.")) + return + + A_v = A*v_1 + + if sp.simplify(A_v - l_1 * v_1) != sp.zeros(2, 1): + display(Latex("Incorrect, le vecteur $" + latexp(v1) + "$ n'est pas un vecteur propre de $A$ associé à " + "la valeur propre $\lambda = 2$.")) + return + + display(Latex("Correct !")) + + interact_manual(f) + + def f_sol(): + display(Latex("On utilise la formule $A=PDP^T$ pour constuire la matrice symetrique $A$. $P$ est une matrice " + "orthogonale composée de vecteurs propres de $A$ et $D$ est une matrice diagonale avec les valeurs" + " propres de $A$ sur la diagonale. ")) + + D = sp.Matrix([[2, 0],[0, -1]]) + display(Latex("On construit simplement la matrice $D =" + latexp(D) + "$")) + + v_2 = sp.Matrix([1, 1]) + display(Latex("On ne dispose pas d'informations sur les vecteurs propres associés à $\lambda = -1$. " + "Mais pour obtenir une matrice symétrique on sait que $P$ est orthogonale, " + "donc il faut trouver un vecteur propre orthogonal à $" + latexp(v_1) + "$. Simplement, on prend $" + latexp(v_2) + "$.")) + + display(Latex("On normalise les deux vecteurs propres orthogonaux et on forme les colonnes de $P$. " + "Chaque vecteur est placé dans la même colonne que sa valeur propre correspondante dans $D$.")) + + P = sp.Matrix([[1, 1], [-1, 1]])/sp.sqrt(2) + display(Latex("On obtient $P = " + latexp(P) + "$.")) + + A = P*D*P.transpose() + + display(Latex("$A = P D P^T = " + latexp(P) + latexp(D) + latexp(P.transpose()) + "=" + latexp(A) +"$")) + display(Latex("Pour afficher la solution détaillée, cliquez ici.")) im = interact_manual(f_sol) - im.widget.children[0].description = 'Solution' \ No newline at end of file + im.widget.children[0].description = 'Solution'