où $f_n$ est une mode propre du système, $\omega_n$ sa pulsation propre et $\lambda_n$ sa longeur d'onde propre.
\subsubsection{Conditions aux bords}
La vitesse de propagation $u = 6$ \si{\metre\per\second} sur tout le domaine.
Ici est simulée une condition harmonique au bord gauche : $f(0,t) = A\sin{\omega t}$, avec $\omega = 5$ \si{\radian\per\second}.
\paragraph{Bord fixe à droite.}\label{fixe}
Dans le cas où le bord droit est fixe, ceci peut être intérpetré comme une intérface où l'onde passe
du milieu étudié à un milieu d'impédance infinie, ainsi l'onde est totalement réfléchie. La partie réfléchie
est une onde rétrograde avec phase $\phi = \pi$ \cite{ref4}. Cet onde se superpose à l'onde progressive crée
par excitation du bord gauche, engendrant un phénomène d'intérference dont les effets peuvent être observés
sur le graphe en Figure \ref{fixe1}, obtenu par simulation numérique. Sur ce graphe est possible d'observer l'évolution temporelle de $f(x,t)$ en tout point
$x \in [0,L]$.
%TODO inserire grafici f(x,t) con L=20 uno con t_fin basso e l'altro con t_fin alto
\begin{figure}[h]
\hspace{-0.05\textwidth}
\begin{subfigure}{0.49\textwidth}z
\resizebox{\textwidth}{!}{
\input{graphs/fL20tlow.tex} % HERE
}\label{fixe1}
\caption{f(x,t) pour $t_{fin} = 15$ \si{\second}}
\end{subfigure}
\hspace{0.02\textwidth}
\begin{subfigure}{0.49\textwidth}
\resizebox{\textwidth}{!}{
\input{graphs/fL20thigh.tex} % HERE
}\label{fixe2}
\caption{f(x,t) pour $t_{fin} = 70$ \si{\second}}
\end{subfigure}
\caption{Perturbation d'une perturbation ($f(x,t)$) dans un milieu homogène avec bord droite fixe.}
\end{figure}
Sur ce graphe il est possible d'observer un pattern de superposition,
où les tâches bleus correspondent aux creux et les tâches jaunes
aux pics. La pente qui délimite inférieurement ce pattern est due au
fait que l'onde rétrograde doit completer un démi-transit à la vitesse $u = 6$ \si{\metre\per\second}.
Cette pente est en effet de même valeur que celle qu'on peut observer
pour la propagation de l'onde progressive au bébut de la simulation.
La même pente est observable dans le pattern de superposition,
approximable par la ligne qui lies un set de tâches (jaunes ou bleus)
sur une même diagonale. Il est possible aussi d'observer que la longuer d'onde
(tâche bleue plus jaune) change lorsque l'on
observe le patter de superposition, ici elle correspond visiblement à une des longeures d'onde
propres apparaissant en (\ref{propres}).
Une dérnière observation intéressante sur le graphe \ref{fixe1} est le fait que les noeuds,
obsevables comme étant les points où $f(x,t) = 0$ entre un creux et un pic, restent en une première approximation fixes dans le temps.
Ceci est en effet une conséquence du fait que la superposition d'une onde progressive
et rétrograde de même fréquences donne lieu
à une onde stationnaire, caractérisée physiquement par des noeuds fixes dans le temps \cite{ref4}.
De plus l'amplitude de l'onde stationnaire correspond
au double de l'amplitude d'une onde individuelle (voir Figure \ref{}),
car comme la réflexion est parfaite l'onde rétrograde a même amplitude de celle
progressive.
%TODO inserisci grafico f(x,t_1) con bordo fisso dove non c'è stato ancora riflessione e sovrapponilo a quello di f(x,t_2) a bordo fisso con
%riflessione, per fare vedere che normalmente la superposizione da un'ampiezza dippia
Sur le graphe en Figure \ref{fixe2} il est possible d'observer que le pattern
de superposition ne reste pas sur tout le temps de simulation.
En observant les résultat pour des longuer $L$
du domaine différentes (voir Figures \ref{fixecons} et \ref{fixedes}),
on en déduit que la permanence de ce pattern dépend de cette longuer.
En effet, matématiquement la longuer d'onde produite par l'excitation
à gauche est donnée par $\lambda_e = \frac{2\pi u}{\omega} \approx 7.54$
\si{\metre} alors que la longuer d'onde observable lors de la superposition correspond
à une des longeurs d'onde propre du système comme
donnée en (\ref{propres}) $\lambda_n = \frac{2L}{n}$.
Lorsque les deux longeures d'ondes ne correspondent, le phénomène de superposition
n'est pas stable (voir graphe \ref{fixe2}). Dans le cas où $L$ est un multiple entier de $\lambda_e$ ($L = n\lambda_e$)
il existe un $n$ tel que $\lambda_e = \lambda_n$
et on observe en effet sur le graphe en Figure \ref{fixecons} que le pattern de superposition
ne subit pas de destruction pour un temps de simulation assez
long, il peut être donc approximé à un phénomène de résonance parfait.
Au contraire, dans le cas où la longeur $L = (n + 1/2) \lambda_e$ le phénomène
de superposition dure moins de temps, par êxemple en figure
\ref{fixedes} il est possible d'observer qu'il dure un seul transit, et il est possible
aussi d'observer un phénomène de destruction totale.
-%TODO inserisci grafico f(x,t) con i due L diversi scelti, quello perfetto di risonanza e quello con sfasamento e distruzione perfetta
\begin{figure}[h]
\hspace{-0.05\textwidth}
\begin{subfigure}{0.49\textwidth}
\resizebox{\textwidth}{!}{
\input{graphs/fLConstructive.tex}
}\label{fixecons}
\caption{Intérférence pour un $L = n\lambda_e$ ``de résonnance''.}
\hspace{0.02\textwidth}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}{0.49\textwidth}
\resizebox{\textwidth}{!}{
\input{graphs/fLDestructive.tex}
}\label{fixedes}
\caption{Apparition de pattern de destruction pour $L = (n + 1/2) \lambda_e$.}
\end{subfigure}
\caption{Propagation d'une perturbation ($f(x,t)$) dans un milieu homogène de longeur $L$ particulière.}
\end{figure}
\paragraph{Bord à droite libre.}
Dans le cas où le bord droit n'est pas fixe mais est entrainé par le mouvement du milieu de propagation
de l'onde, il est possible d'observer aussi un pattern de superposition comme dans le cas précedent
(voir Figure \ref{libre}), mais dans ce cas, comme la condition de bord n'est pas homogène, la longeur d'onde
propre $\lambda_n$ ne peut pas être observée. De plus, en observant le graphe de $f(L,t)$ en Figure
\ref{Llibre} il est possible d'observer que l'amplitude des oscilations au bords droit change périodiquement
mais de façon aléatoire. La période décrite par ce graphe est un transit entier, comme il est possible
d'observer en Figure \ref{Llibre}. Comme l'amplification est caotique, il est sensé de penser
qu'un phénomène de résonance ne peut pas être observé pour une condition de bord de ce type.
-%TODO inserire per il caso bordo destro libero grafico f(x,t) e f(L,t)
\begin{figure}[h]
\hspace{-0.05\textwidth}
\begin{subfigure}{0.49\textwidth}
\resizebox{\textwidth}{!}{
\input{graphs/free.tex}
}\label{libre}
\caption{$f(x,t)$ pour $t_{fin} = 50$}
\end{subfigure}
\hspace{0.02\textwidth}
\begin{subfigure}{0.49\textwidth}
\resizebox{\textwidth}{!}{
\input{graphs/freexL.tex}
}\label{Llibre}
\caption{Amplitude du bord droit $f(L,t)$.}
\end{subfigure}
\caption{Propagation dans un milieu homogène avec bord droit libre.}
\end{figure}
\paragraph{Sortie de l'onde à droite.}
Dans le cas où l'onde ``sort'' par le bord droit, aucune reflexion d'onde
devrait apparaitre et seule une onde progressive se propage dans le milieu étudié.
Par simulation numérique l'on obtien le graphe \ref{sortie} qui montre bien ceci.
En effet les creux et les pics se propagent dans une seule direction à une vitesse
de propagation constate représentée dans ce dernier graphe par la pente
de la diagonale décrite par les creux ou les pics.
\begin{figure}[h]
\hspace{-0.05\textwidth}
\begin{subfigure}{0.49\textwidth}
\resizebox{\textwidth}{!}{
\input{graphs/sortie.tex}
}\label{sortie}
\caption{$f(x,t)$ dans le cas ``sortie à droite''}
\end{subfigure}
\hspace{0.02\textwidth}
-\begin{subfigure}{0.49\textwidth}
+\begin{subfigure}{0.49\textwidth}%TODO il test di convergenza mettilo nella sua sezione
\resizebox{\textwidth}{!}{
\input{graphs/convtest.tex}
}\label{testc}
\caption{Test de convergence sur $dt$ pour $\beta_{CFL} = 1$.}
\end{subfigure}
\end{figure}
\paragraph{Test de convergence}
Pour finir l'on test la convergence de la solution numérique $f(x,t)$ en $x = 5$ \si{\metre} et $t = 1.5$ \si{\second}.
Pour faire cela, l'on défini d'abord le paramètre $\beta_{CFL} = u\frac{\Delta t}{\Delta x}$ apparaissant dans l'équation (\ref{A}).
Comme montré en classe \cite{ref1}, lorsque ce paramètre est tel que $\beta_{CFL} \leq 1$, le schéma numérique décrit
par l'équation \ref{A} reste stable. Le but est donc de le garder constant et plus petit ou égale à 1, et de faire un étude de convergence
de $f(5,1.5)$ sur $\Delta t$ en modifiant de conséquence $\Delta x$. L'étude de convergence est fait en prénant la différence de $f(5,1.5)$
d'une valeur de référence prise pour une discretisation assez fine.
%TODO inserire grafico test di convergenza specifica il valore di beta_CFL nel caption
Le graphe en Figure \ref{testc} illustre la convergence en $\Delta t$ du schéma numérique à $\beta_{CFL} = 1$.
Il est possible d'observer sur ce graphe, que le schéma numérique converge pour ce $\beta_{CFL}$
à l'ordre $1$ car la courbe de convergence approxime bien une droite.
\subsubsection{Modes propres et résonnance}
Il est intéressant maintenant de simuler une excitation de type $f(0,t) = A\sin{\omega t}$ sur une certaine plage $\omega$,
avec une condition de bord fixe à droite.
En définissant l'énérgie de l'onde comme $E(t) = \int \limits_0^L f^2(x,t) dx$, on étudie la fonction suivante :
L'image en figure \ref{rec} represente une schématisation du récif paramétrisé par l'équation (\ref{recif}).
\end{minipage}
\hspace{0.02\textwidth}
\begin{minipage}{0.55\textwidth}
\includegraphics[width=\textwidth]{recif.png}
\label{rec}
\captionof{figure}{Recif océanique.}
\end{minipage}
\end{minipage}
\subsubsection{Prémière simulation}
Pour commencer l'on simule la propagation d'une onde sinusoïdale d'amplitude $1$ \si{\metre}
et période $T = 15$ minutes, venant du bord gauche
, c'est à dire $f(0,t) = \sin(\frac{2\pi}{T} t)$, avec condition de sortie au bord droite.
-Le graphe \ref{} illustre la dynamique de ce phénomène simulée par l'équation A à titre démonstratif.
-Comme déjà discuté pour l'étude précedent, dans ce type de graphe la valeur des pentes décrites par les ligne
-d'un pic réprésente la valeur de vitesse de propagation du pic, et donc de la vitesse de propagation de l'onde $u$.
-Il est déja possible d'observer qualitativement sur ce graphe que la vitesse diminue à la diminution de $h$ (en effet $h_{recif} < h_ocean$).
-De plus les pentes pour $ x \in [0,x_a]$ et $ x \in [x_d,L] $ semblent être les mêmes, ce qui est cohérent avec la paramètrisation (\ref{recif}).
-%TODO inserisci grafico f(x,t) simulato con l'equazione A, con x che va in alto e t che va a destra
\begin{minipage}{\textwidth}
\hspace{-0.05\textwidth}
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
- % TODO HERE
+Le graphe \ref{sim} illustre la dynamique de ce phénomène simulée par l'équation A à titre démonstratif.
+Comme déjà discuté pour l'étude précedent, dans ce type de graphe la valeur des pentes décrites par les ligne
+d'un pic réprésente la valeur de vitesse de propagation du pic, et donc de la vitesse de propagation de l'onde $u$.
+Il est déja possible d'observer qualitativement sur ce graphe que la vitesse diminue à la diminution de $h$ (en effet $h_{recif} < h_ocean$).
+De plus les pentes pour $ x \in [0,x_a]$ et $ x \in [x_d,L] $ semblent être les mêmes, ce qui est cohérent avec la paramètrisation (\ref{recif}).
\end{minipage}
\hspace{0.02\textwidth}
\begin{minipage}{0.55\textwidth}
- % TODO qui
+ \resizebox{\textwidth}{!}{
+ \input{graphs/ocean_A.tex} % HERE
+ }\label{sim}
+ \captionof{figure}{$f(x,t)$ solution de l'équation A.}
\end{minipage}
\end{minipage}
Avec un algorythme qui mésure le temps de parcour d'un pic d'onde sur chaque point
de la discretisiation spatiale, il est possible de mésurer la vitesse
de propagation simulé et la confronter à celle donnée en (\ref{u}).
-Le graphe en Figure \ref{} montre les vitesses de propagation $u_\alpha(x)$ calculée pour des simulations
+Le graphe en Figure \ref{uabc} montre les vitesses de propagation $u_\alpha(x)$ calculée pour des simulations
faites à l'aide de l'équation $\alpha = A, B, C$, et les mets en confrontation avec $u(x) = \sqrt{gh(x)}$.
-%TODO inserisci grafico delle velocità calcolate con l'equazione A B e C confrontate a u(x) = sqrt(gh(x))
+\begin{figure}[h]
+\hspace{-0.05\textwidth}
+\begin{subfigure}{0.49\textwidth}
+ \resizebox{\textwidth}{!}{
+ \input{graphs/vitesse.tex}
+ }\label{uabc}
+ \caption{Vitesse de propagations $u_\alpha(x)$ en fonction de l'équation employée.}
+\end{subfigure}
+\hspace{0.02\textwidth}
+\begin{subfigure}{0.49\textwidth}
+ \resizebox{\textwidth}{!}{
+ \input{graphs/vitesseB.tex}
+ }\label{err}
+ \caption{Erreur sur la vitesse mésurée numériquement.}
+\end{subfigure}
+\caption{Vitesse de propagation $u_\alpha(x)$.}
+\end{figure}
+
-Ce dernier montre que les trois équations permettent de simuler pratiquement le bon
+Ce graphe montre que les trois équations permettent de simuler pratiquement le bon
comportement physique pour ce qui concerne la vitesse de propagation de l'onde, car les 3 courbes
-coincident et approchent assez bien la courbe réelle. De plus ce reslultat est confirmé par le graphe \ref{}
+coincident et approchent assez bien la courbe réelle. De plus ce reslultat est confirmé par le graphe \ref{err}
qui montre l'erreur $|u - u_{ref}|$
mésuré à l'aide de l'équation B. Ici en fait il est possible d'observer que l'erreur est bornée, donc ne diverge pas
et que aussi et très négligéable dans le domaine à gauche de $x_c$ car d'ordre $10^0 << 10^2$ , et pas
trop élévé dans le domaine restant, avec une erreur rélative du $10\%$.
+
\paragraph{Comparation avec l'analyse WKB}
Il a été montré en classe \cite{ref1}, que en faisant les bonnes approximations il est possible de
détérminer comment l'amplitude $A_o$ de dépend $h(x)$. Ceci est fait par une analyse WKB
qui donne: pour l'équation A $A_o \propto h(x)^{1/4}$, pour l'équation B $A_o \propto h(x)^{-1/4}$
et $A_o \propto h(x)^{-3/4}$ pour l'équation C.
{\bf N.B.} Les valeur de $A_0$ sont déjà normalisés car
l'amplitude en entrée $A =1$.
-%TODO inserire ampiezza per equazione A
+%TODO questa lasciala sola
+\begin{figure}[h]
+\hspace{-0.05\textwidth}
+\begin{subfigure}{0.49\textwidth}
+ \resizebox{\textwidth}{!}{
+ \input{graphs/ampliA.tex} % HERE
+ }\label{gA}
+ \caption{Comparaison avec l'analyse WKB dans le cas de l'équation A.}
+\end{subfigure}
+\hspace{0.02\textwidth}
+\begin{subfigure}{0.49\textwidth}
+\end{subfigure}
+\end{figure}
+
-Dans le cas de l'équation A il est possible d'observer sur le graphe \ref{}
+Dans le cas de l'équation A il est possible d'observer sur le graphe \ref{gA}
que l'amplitude $A_0(x)$ approxime bien la courbe prévue par l'analyse WKB.
Elle subit seulement une perturbation dans le prémier domaine précedant $x_a$.
Cette perturbation est simplement due à une imprécision numérique, à cause des
-approximations faites pour la màsure de l'amplitude de façons numérique.
+approximations faites pour mésurer l'amplitude de façons numérique.
-%TODO inserire ampiezza per equazione B
-%TODO inserire ampiezza per equazione C
+\begin{figure}[h]
+\hspace{-0.05\textwidth}
+\begin{subfigure}{0.49\textwidth}
+ \resizebox{\textwidth}{!}{
+ \input{graphs/ampliC.tex}
+ }\label{gB}
+ \caption{Amplitude mésuré dans le cas de l'équation B.}
+\end{subfigure}
+\hspace{0.02\textwidth}
+\begin{subfigure}{0.49\textwidth}
+ \resizebox{\textwidth}{!}{
+ \input{graphs/ampliB.tex}
+ }\label{gC}
+ \caption{Amplitude mésuré dans le cas de l'équation C.}
+\end{subfigure}
+\caption{Comparaison avec l'analyse WKB.}
+\end{figure}
-Il est ensuite possble d'observer sur le graphe \ref{} et \ref{}
+Il est ensuite possble d'observer sur le graphe \ref{gB} et \ref{gC}
les courbes $A_0(x)$ approximent encore mieux que dans le cas A
les courbes prévues par l'analyse WKB. Il est intéressant donc de
rémarquer que par certaines hypothèses analytiques les résultats obtenus
sont quasi-identiques au résultats numériques. Celle ci est une façons de
vérifier que les méthodes utilisées, soit le schéma numérique, que
l'analyse WKB, sont cohérentes.
Pour finir il est possible de montrer qu'analytiquement l'équation B est la plus correcte
pour la description de la propagation d'une onde dans l'océan.
En effet, en approximant l'eauà un liquide incompressible,
la où la vitesse de propagation diminue la quantité d'eau transporté
à cette vitesse devrait augmenter, par conservation du débit volumique.
-Donc, la où $u$ est plus petit, $A_0$ devrait augmenter, ce qui est bien décrit dans le graphe \ref{}
-au contraire du graphe \ref{} où lâmplitude diminue. En effet le terme qui différentie l'équation A de
+Donc, la où $u$ est plus petit, $A_0$ devrait augmenter, ce qui est bien décrit dans le graphe \ref{gB}
+au contraire du graphe \ref{gA} où lâmplitude diminue. En effet le terme qui différentie l'équation A de
B est $(\frac{d}{dx}u^2(x))\frac{d}{dx}f(x,t) = (g\frac{d}{dx}h(x))\frac{d}{dx}$ correspondant à la pente du fond
océanique, qu'ici n'est pas partout nulle, et qui n'est donc pas prise en considération dans l'équation A.
Ceci montre qu'en approximant ce terme à 0 pour obtenir l'équation A, le comportement physique
du système perds en justesse, car ainsi faisant la conservation du débit volumique n'est pas respécté.
Dans le cas de l'équation C la tendance est correcte mais pas l'ordre de dépendance de $h(x)$. En effet
-il est possible d'observer sur le graphe \ref{}, que l'amplitude augmente enormément, du $10000\%$, ce qui est improbable
+il est possible d'observer sur le graphe \ref{gC}, que l'amplitude augmente enormément, jusqu'au $10000\%$, ce qui est improbable
vu que la différence de vitesse entre $\sqrt{gh_{ocean}}$ et $\sqrt{gh_{recif}}$ n'est pas assez grande pour provoquer une
telle augmentation de $A_0$.
\paragraph{Changement de raideur du profil océanique}
Pour finir l'on étudie ce qu'il arrive lorsque le profil du récif devient moins régulier.
Pour faire ceci il suffit d'approximer de plus en plus $x_a$ à $x_b$ de façon à que l'hauteur
du récif changeavec un très grand gradient en proximité de
$x_a$, de même pour $x_d$ approché à $x_c$. Les simulations étudiées sont faite
par implémentation de l'équation B (\ref{B}).
%TODO inserisci grafico f(x,t) per il caso discontinuo
Le graphe \ref{} montre qu'un profil océanique si irrégulier fait apparaitre de la reflexion au bord $x_{b}$ et $x_c$, agissant
comme intérafaces où l'onde change de vitesse. Le phénomène est en effet similaire à celui de réflexion et réfraction d'un faisceau
de lumière à une intérface de changement de milieu. En effet ici la vitesse de propagation a une dérivée approximativement discontinue.
Ceci entraine un phénomène d'intérferance, influençant l'amplitude de l'onde dans le milieux de propagation.
-%TODO inserisci grafico velocità per il caso x_a (x_d) che si avvicina a x_b (x_d) per l'equazione B
+Soit $d = |x_a - x_b| = |x_c - x_d|$ la distance entre le point où la profondeur océanique change
+, il est intéressant d'étudier comment la vitesse de propagation $u$ est affectée en fonction de d, car
+plus $d$ diminue, plus augmente en valeur absolue le gradient de vitesse.
+
+Les graphes en Figure \ref{disampl} montrent l'amplitude maximale $A_0(x)$ prise par l'onde pendant le temps de simulation
+pour les mêmes valeurs de $d$ utilisés pour l'étude de $u$.
+L'on observe ici que pour des valeur plus grandes de $d$ la courbe approche mieux le résultat obtenu par l'analyse
+WKB. Ceci est du au fait que cette dernière donne un résultat consistant pour certaines approximations analytique,
+qui sont pas maintenues dans ce cas car le gradient de vitesse devient trop grand. en plus, même pour $d = 80000$
+\si{\metre} (voir graphe \ref{grande}) la courbe oscille pour $x < x_b$ ceci à cause du phénomène d'intérférance, lequel n'est pas pris en considération
+non plus dans l'analyse WKB.
+
+%TODO ho deciso di parlare prima dell'ampiezza e poi della velocità, quindi metti giusto prima i grafici sulla velocità e poi sull'ampiezza
+Pour ce qui concerne la vitesse de propagation, les graphes en Figure \ref{disu} montre un comportement similaire.
+En effet toutes les courbes approximent moins bien la vitesse de propagation réelle donnée par (\ref{u}), et l'approximation
+est moin bonne d'autant plus que la valeur de $d$ diminue.
+
+\begin{figure}[h]
+\hspace{-0.05\textwidth}
+\begin{subfigure}{0.49\textwidth}
+ \resizebox{\textwidth}{!}{
+ \input{graphs/vitesseB_dist8e4.tex}
+ }
+ \caption{$d = 80000$ \si{\metre}}
+\end{subfigure}
+\hspace{0.02\textwidth}
+\begin{subfigure}{0.49\textwidth}
+ \resizebox{\textwidth}{!}{
+ \input{graphs/vitesseB_dist6e4.tex}
+ }
+ \caption{$d = 60000$ \si{\metre}}
+\end{subfigure}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[h]
+\hspace{-0.05\textwidth}
+\begin{subfigure}{0.49\textwidth}
+ \resizebox{\textwidth}{!}{
+ \input{graphs/vitesseB_dist5e4.tex}
+ }
+ \caption{$d = 50000$ \si{\metre}}
+\end{subfigure}
+\hspace{0.02\textwidth}
+\begin{subfigure}{0.49\textwidth}
+ \resizebox{\textwidth}{!}{
+ \input{graphs/vitesseB_dist3e4.tex}
+ }
+ \caption{$d = 30000$ \si{\metre}}
+\end{subfigure}
+\label{disu}
+\caption{}
+\end{figure}
-Le graphe en Figure \ref{} montre la vitesse de propagation $u(x)$ mésurée sur la simulation.
-%TODO finire commento
-%TODO inserisci grafico di ampiezza per l'equazione B con diversi x_a (x_d) che si avvicinano a x_b (x_d).
+\begin{figure}[h]
+\hspace{-0.05\textwidth}
+\begin{subfigure}{0.49\textwidth}
+ \resizebox{\textwidth}{!}{
+ \input{graphs/ampliB_x8e4.tex}
+ }\label{grande}
+ \caption{$d = 80000$ \si{\metre}}
+\end{subfigure}
+\hspace{0.02\textwidth}
+\begin{subfigure}{0.49\textwidth}
+ \resizebox{\textwidth}{!}{
+ \input{graphs/ampliB_x6e4.tex}
+ }
+ \caption{$d = 60000$ \si{\metre}}
+\end{subfigure}
+\end{figure}
-Le graphe en Fgure \ref{} montre en fin l'amplitude maximale $A_0(x)$ prise par l'onde pendant le temps de simulation.
-Elle ne corréspond visiblement pas au résultat obtenu par l'analyse WKB en partie à cause du phénomène de réflexion
-pas prévu, mais surtout par le fait que les aproximation faites dans l'analyse WKB ne sont plus valides à
-cause du trop grand gradient de vitesse $\nabla u$ en proximité de $x_b$ et $x_c$.
+\begin{figure}[h]
+\hspace{-0.05\textwidth}
+\begin{subfigure}{0.49\textwidth}
+ \resizebox{\textwidth}{!}{
+ \input{graphs/ampliB_x5e4.tex}
+ }
+ \caption{$d = 50000$ \si{\metre}}
+\end{subfigure}
+\hspace{0.02\textwidth}
+\begin{subfigure}{0.49\textwidth}
+ \resizebox{\textwidth}{!}{
+ \input{graphs/ampliB_x3e4.tex}
+ }
+ \caption{$d = 30000$ \si{\metre}}
+\end{subfigure}
+\label{disampl}
+\caption{Comparaison de l'amplitude avec l'analyse WKB pour un profile océanique moins régulier.}
+\end{figure}
\section{Conclusion}
-Il a été montré dans ce rapport que l'implementation d'u schéma numérique
+Il a été montré dans ce rapport que l'implementation du schéma numérique
par différences finies permet d'étudier d'intéressants
phénomènes de propagation d'onde dans différents milieux.
Il a permis de vérifier l'effet de différentes conditions aux bords et leur différence, comme par
exemple l'importance de conditions de bords homogènes pour observer des modes propres et
aussi des phénomène de résonnance. Il a aussi pemis de visualiser la différence entre les
trois équations différentielles choisies pour l'étude de la propagation d'onde en milieux inhomogènes.
Ainsi faisant il a été possible de visualiser le bon comportement de l'équation B par rapport aux deux autre.
De plus, il a été montré que l'analyse WKB amène à des résultat similaire ou presque identique
à ceux obtenus par simulation numérique, ce qui est utile pour vérfier l'uen ou l'autre méthode.
En fin il a été possible d'étudier comment un profile océanique ``irrégulier'' affecte le phénomèe de
propagation d'onde en provoquant de la réflection pour une onde éléctromagnétique à une intérface
entre deux milieu avec indices de réfraction différents.
\section{Annexes}
\subsection{Formules de différences finies centrée}
Des dérives prémière et seconde d'une fonction $g(x)$ suffisamment régulière peuvent être approximée par les
formules de différences finies centrée qui suivent :
L. VILLARD, Cours de Physique Numérique pour physiciens, Faculté des Sciences de Base, Section de Physique, Ecole Polytecnique Fédérale de Lausanne.
\bibitem{ref2}
L. VILLARD, PHYSIQUE NUMERIQUE I - II ,Swiss Plasma Center, Faculté des Sciences de Base, Section de Physique, Ecole Polytecnique Fédérale de Lausanne.
\bibitem{ref3}
ECOLE POLYTECNIQUE FEDERALE DE LAUSANNE, Semestre de printemps 2019, Physique Numérique I - II - Exercice 5.
\bibitem{ref4}
HARALD, Brune, Cours de Physique IV, Faculté des Sciences de Base, Section de Physique, Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne.