diff --git a/physnum/rap2/rapport.pdf b/physnum/rap2/rapport.pdf
index 276bc49..4cf1da9 100644
Binary files a/physnum/rap2/rapport.pdf and b/physnum/rap2/rapport.pdf differ
diff --git a/physnum/rap2/rapport.tex b/physnum/rap2/rapport.tex
index bb50cef..811705d 100644
--- a/physnum/rap2/rapport.tex
+++ b/physnum/rap2/rapport.tex
@@ -1,332 +1,350 @@
 % debut d'un fichier latex standard
 \documentclass[a4paper,9pt,twoside]{article}
 
 % pour l'inclusion de figures en eps,pdf,jpg
 \usepackage{graphicx}
 % quelques symboles mathematiques en plus
 \usepackage{amsmath}
 % le tout en langue francaise
 \usepackage[francais]{babel}
 % on peut ecrire directement les caracteres avec l'accent
 % a utiliser sur Linux/Windows
 \usepackage[utf8]{inputenc}
 \usepackage[T1]{fontenc}
 % a utiliser sur le Mac
 %\usepackage[applemac]{inputenc}
 % pour l'inclusion de links dans le document 
 \usepackage[colorlinks,bookmarks=false,linkcolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
 
 % module pour les graphiques
 \usepackage{tikz}
 \usepackage{pgfplots}
 \usepackage{pgfplotstable}
 
 % module pour positionner les images
 \usepackage{float}
 
 %\usepackage[bottom = 0.5in]{geometry}
 
 \usepgfplotslibrary{external}
 \pgfplotsset{compat=1.3}
 
 %\tikzexternalize
 
 \paperheight=300mm
 \paperwidth=210mm
 
 \setlength{\textheight}{220mm}
 \setlength{\topmargin}{-1.2cm} % pour centrer la page verticalement
 %\setlength{\footskip}{5mm}
 \setlength{\textwidth}{15cm}
 \setlength{\oddsidemargin}{0.56cm}
 \setlength{\evensidemargin}{0.56cm}
 
 \pagestyle{plain}
 
 % quelques abreviations utiles
 \def \be {\begin{equation}}
 \def \ee {\end{equation}}
 \def \dd  {{\rm d}}
 
 \newcommand{\mail}[1]{{\href{mailto:#1}{#1}}}
 \newcommand{\ftplink}[1]{{\href{ftp://#1}{#1}}}
 %
 % latex SqueletteRapport.tex      % compile la source LaTeX
 % xdvi SqueletteRapport.dvi &     % visualise le resultat
 % dvips -t a4 -o SqueletteRapport.ps SqueletteRapport % produit un PostScript
 % ps2pdf SqueletteRapport.ps      % convertit en pdf
 
 % pdflatex SqueletteRapport.pdf    % compile et produit un pdf
 
 % ======= Le document commence ici ======
 
 \begin{document}
 % Le titre, l'auteur et la date
 \title{Particule dans un champ élécromagnétique}
 \date{\today}
 \author{Raffaele Ancarola, Cincotti Armando\\{\small \mail{raffaele.ancarola@epfl.ch} \small \mail{cincotti.armando@epfl.ch}}}
 \maketitle
 \tableofcontents % Table des matieres
 
 % Quelques options pour les espacements entre lignes, l'identation 
 % des nouveaux paragraphes, et l'espacement entre paragraphes
 \baselineskip=16pt
 \parindent=15pt
 \parskip=5pt
 
 \section{Introduction} %------------------------------------------
 Le mouvement d'une particule chargée dans un champs éléctromagnétique est régit par l'action de la force de Lorentz sur cette particule.
 Ce système physique est analitiquement simple à détérminer, et pourtant, il est facile obtenir des valeurs analytiques à travers lesquels est possible tester
 la stabilité d'un schéma d'intégration numérique.
 Ce rapport illustréra donc la détérmination analityque du système, et ensuite étudiera la simulation numérique du système à travers trois schéma d'intégration numérique différents : Euler, Euler-Cromer, Runge-Kutta d'ordre 2.
 Il sera étudié ensuite la convergence et la stailité des différents schémas numérique en les confrontant avec les valeurs analytiques.
 Le but de l'étude est en effet celui de tester les schéma pour pouvoir les confronter, et savoir ensuite lequel est plus susceptible d'être utile pour l'étude d'un système physique plus complexe.  
 
 \section{Détermination Analytique du système}
 On étudie le mouvement d'un proton chargé dans le plan {\it xOy} plongé dans un champ éléctromagnétique uniforme.
 
 \subsection{Donnés}
 
 \subsubsection{Constantes}
 \begin{itemize}
 \item Masse du proton $m = 1.6726 \cdot 10^(-27) kg$.
 \item Charge du proton $q = 1.6022 \cdot 10^(-19) C$.
 \item La vitesse initiale ${\bf v_0} = (v_(x0),v_(y0))$.
 \item Le champ éléctrique uniforme ${\bf E} = {\it E}{\bf y}$.
 \item Le champs magnétique uniforme  ${\bf B} = {\it B}{\bf z}$.
 \end{itemize}
 
 {\bf N.B.} Les constantes {\it B} et {\it E} seront établies en début de chaque éxercice.
 
 \subsubsection{Rélations}
 
 \subsection{Calculs Analytique}
 
 Parmi le deuxième principe de newton, on obtien l'équation différentielle en
 applicant la force de {\it Lorentz}:
 
 \begin{align} \label{equadiff}
 \vec{F_{res}} &= m \cdot \frac{d\vec{V}}{dt} \Rightarrow m \frac{d\vec{V}}{dt} = q \cdot \vec{V} \times \vec{B} \\
 \Leftrightarrow
 \begin{cases}
 \frac{dV_x}{dt} &= \omega V_y \\
 \frac{dV_y}{dt} &= - \omega V_x
 \end{cases} \omega &= \frac{qB}{m} \\
 \Leftrightarrow
 \frac{d\vec{V}}{dt} &= 
 \begin{pmatrix}
 0       & \omega \\
 -\omega & 0
 \end{pmatrix} \cdot \vec{V}
 \end{align}
 
-Pour la résoudre on cherche les valeurs propres de la matrice:
+Noter que dans le système de coordonnées choisi on a $\hat{x} \times \hat{y} = \hat{z}$,
+le produit véctoriel est donc {\it standard} au niveau des composantes.
+Pour résoudre l'équation on cherche les valeurs propres de la matrice:
 
 \begin{equation} \label{eigenvalues}
 \begin{vmatrix}
 \lambda          &   \omega \\
 -\omega          &   \lambda
 \end{vmatrix} = \lambda^2 + \omega^2 = 0 \Rightarrow \lambda = \pm i\omega
 \end{equation}
 
-Puisque la matrice se laisse diagonaliser par des valeur complexes, on peut
+Puisque la matrice se laisse diagonaliser par des valeur complexes, on pourrait
 démontrer que la solution de l'équation différentielle est de la forme:
 
 \begin{equation} \label{solutionform}
 \begin{cases}
 V_x(t) &= A \cos(\omega t) + C \sin(\omega t) \\
 V_y(t) &= B \cos(\omega t) + D \sin(\omega t)
 \end{cases}
 \end{equation}
 
 avec $A$, $B$, $C$, $D$ à déterminer selon les condition initielles.
 En posant, en fait $\vec{V}(t = 0)$ on obtien:
 
 \begin{equation} \label{initspeed}
 \vec{V}(0) = 
 \begin{pmatrix}
 A \\ 
 B
 \end{pmatrix} :=
 \begin{pmatrix}
 V_{x_0} \\
 V_{y_0}
 \end{pmatrix}
 \end{equation}
 
 Pour trouver $C$ et $D$ il faut dériver l'expression de la solution et puis
 appliquer la condition $\frac{d\vec{V}}{dt}(t = 0)$:
 
 \begin{equation} \label{initacc}
 \frac{d\vec{V}}{dt}(0) = \omega \cdot
 \begin{pmatrix}
 C \\
 D
 \end{pmatrix} = \omega \cdot
 \begin{pmatrix}
 V_{y_0} \\
 -V_{x_0}
 \end{pmatrix}
 \end{equation}
 
 On obtien, enfin, l'expréssion de la vitesse de la particule:
 
 \begin{equation} \label{speedexpr}
 \vec{V}(t) =
 \begin{pmatrix}
 V_{x_0} \cos(\omega t) + V_{y_0} \sin(\omega t) \\
 V_{y_0} \cos(\omega t) - V_{x_0} \sin(\omega t)
 \end{pmatrix}
 \end{equation}
 
 Si on applique enfin la trasformation $V_0 = \sqrt{V_{x_0}^2 + V_{y_0}^2}$ et
 $\phi = \arcsin(\frac{V_{x_0}}{V_0}) = \arccos(\frac{V_{y_0}}{V_0})$ on a 
 une forme plus agréable:
 
 \begin{equation} \label{speedbestexpr}
 \vec{V}(t) = V_0 \cdot
 \begin{pmatrix}
 \sin(\omega t + \phi) \\
 \cos(\omega t + \phi)
 \end{pmatrix}
 \end{equation}
 
 Une fois q'on a la fonction de la vitesse, il reste seulement à intégrer l'éxpression
 pour obtenir la position en fonction du temps et, dans un deuxième moment,
 déterminer la constante d'intégration $\vec{C_0}$ selon les conditions initielles.
 
 \begin{align} \label{positionexpr}
-\vec{r}(t) &= \int \vec{V(t)}dt + \vec{K} = \frac{V_0}{\omega}
+\vec{r}(t) &= \int \vec{V(t)}dt + \vec{C_0} = \frac{V_0}{\omega}
 \begin{pmatrix}
 - \cos(\omega t + \phi)  \\
 \sin(\omega t + \phi)
-\end{pmatrix} + \vec{K} \\
+\end{pmatrix} + \vec{C_0} \\
 \vec{r}(t = 0) &= \frac{V_0}{\omega} 
 \begin{pmatrix}
 -\cos(\phi) \\
 \sin(\phi)
-\end{pmatrix} + \vec{C_0} := 
+\end{pmatrix} + \vec{C}_0 := 
 \begin{pmatrix}
 x_0 \\
 y_0
 \end{pmatrix} \\
-\Rightarrow \vec{C_0} &= 
+\Rightarrow \vec{C}_0 &= 
 \begin{pmatrix}
 x_0 + \frac{V_0}{\omega} \cos(\phi) \\
 y_0 - \frac{V_0}{\omega} \sin(\phi)
-\end{pmatrix} \\
-\Rightarrow \vec{r}(t) &=
-\frac{V_0}{\omega}
+\end{pmatrix} =
+\vec{r}(0) + \frac{1}{\omega} 
 \begin{pmatrix}
-- \cos(\omega t + \phi) + \cos(\phi) \\
-\sin(\omega t + \phi) - \sin(\phi)
-\end{pmatrix} + 
+0  & 1 \\
+-1 & 0 
+\end{pmatrix} \cdot \vec{V}(0)
+\end{align}
+
+Ce qui montre bien que la trajectoire est circulaire de rayon 
+$R = \frac{V_0}{\omega}$ et de centre $\vec{C}_0$.
+
+\paragraph{Cas centré à l'origine (éxercice 2.1.3)}
+
+C'est suffisant de poser $\vec{C_0} = 0$ et, en ayant choisi un 
+système de coordonnés où $\vec{B} = -B \hat{z}$, alors 
+$\omega = - \frac{qB}{m}$.
+
+\begin{equation} \label{centered}
 \begin{pmatrix}
 x_0 \\
 y_0
+\end{pmatrix} = - \frac{1}{\omega}
+\begin{pmatrix}
+0  & 1 \\
+-1 & 0
 \end{pmatrix}
-\end{align}
-
-Ce qui montre trés bien que la trajectoire est circulaire de rayon 
-$R = \frac{V_0}{\omega}$ et de centre $C_0$.
+\begin{pmatrix}
+0 \\
+v_0
+\end{pmatrix} = \frac{m v_0}{qB} \hat{x}
+\end{equation}
 
 \section{Simulations}
 
 \subsection{Étude de convérgence}
 
 \pgfplotstableread{conv_study_one.dat}\convstudyone
 
 \begin{figure}[H]
 \begin{tikzpicture}
 
 \pgfplotsset
 {
     %scale only axis,
     %scaled x ticks = base 10:2,
     xmin = 0, xmax = 22,
     %height = 7cm
 }
 
 \begin{axis}
 [
     xlabel={$dt \: [10^{-5} \; s]$},
     ylabel={$x_f \: [mm]$},
     ymin=-3.9, ymax= -1.3,
     ymajorgrids = true,
     grid style = dashed,
     legend style = {
         matrix anchor = south west,
         at = {(0.05, 0.05)}
     }
 ]
 
 \addplot
     table [x = dt, y = Exf] {\convstudyone};
     \label{exf}
     \addlegendentry{Euler}
 
 \addplot
     table [x = dt, y = ECxf] {\convstudyone};
     \label{ecxf}
     \addlegendentry{Euler-Cromer}
 
 \addplot
     table [x = dt, y = RKxf] {\convstudyone};
     \label{rkxf}
     \addlegendentry{Runge-Kutta}
 
 \addplot+[mark = none, domain = 0:22] {-1.4};
     \label{thxvalue}
     \addlegendentry{Valeur théorique}
 
 \end{axis}
 
 \end{tikzpicture}
 \caption{sticazzi TODO}
 \end{figure}
 
 % secondo grafico
 
 \begin{figure}[H]
 \begin{tikzpicture}
 
 \pgfplotsset
 {
     xmin = 0, xmax = 22
 }
 
 \begin{axis}
 [
     xlabel={$dt \: [10^{-5} \; s]$},
     ylabel={$y_f \: [10^{-5} \; m]$},
     ymin=-22, ymax= 0.5,
     ymajorgrids = true,
     grid style = dashed,
     legend style = {
         matrix anchor = south west,
         at = {(0.05, 0.05)}
     }
 ]
 
 \addplot
     table [x = dt, y = Eyf] {\convstudyone};
     \label{eyf}
     \addlegendentry{$Euler$}
 
 \addplot
     table [x = dt, y = ECyf] {\convstudyone};
     \label{ecyf}
     \addlegendentry{$Euler-Cromer$}
 
 \addplot
     table [x = dt, y = RKyf] {\convstudyone};
     \label{rkyf}
     \addlegendentry{$Runge-Kutta$}
 
 \end{axis}
 
 \end{tikzpicture}
 \caption{sticazzi TODO}
 \end{figure}
 
 \end{document} %%%% THE END %%%%