où $i^2 = -1$, $\hbar$ est la constante normalisée de Planck et $H(\vec{x}) = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec{x})$ est l'operatuer Hamiltonien.
Cette équation est parfaitement détérministe, et étant d'ordre 1 dans le temps, il suffit une solution initiale $\psi(\vec{x},0)$. La solution à l'équation de Schrödinger est donnée par :
Pour une valeur donnée de $E$ l'on étudie le comportement de la densité de probabilité $|\psi(x,t)|^2$ pour différentes valeurs de $\Delta$ de façon
à varier $V_0 = V(x=0)= \frac{1}{2}m\omega^2\Delta^2$. L'on distingue en effet trois cas particuliers :
$V_0 < E$, $V_0 \approx E$ et $V_0 > E$. Pour chercher les trois cas il est utile d'en déduire les valeur de $\Delta$ du graphe
\ref{} qui illustre la valeur de $V_0(\Delta)$ par rapport à l'énérgie $E$ qui reste constante.
Dans le cas d'une particule classique se déplaceant dans un potentiel de même type $V(x)$, la particule se comporte différemment en fonction
de l'énérgie initiale $E$ donnée:
Lorsque $E > V_0$, la particule a assez d'énérgie pour passer au delà de la barrière de potentiel à hauteur $v_0$, or elle oscillera
de droite à gauche dans les limites du domaine et de l'énérgie initiale E.
Lorsque $E < V_0$, au contraire la particule n'as pas assez d'énérgie pour dépasser la barrière et elle reste confinée dans le premier puits de potentiel.
+
+ %TODO inserire un grafico con il profilo del potenziale (scegli un Delta qualsiasi) e tre livelli di energia diversi
+ % E1< V_0 E2=V0 e E3 > V_0
+
+\begin{minipage}{\textwidth}
+\hspace{-0.05\textwidth}
+\begin{minipage}{0.45\textwidth}
Lorsque $E = V_0$ la particule atteint dans un temps infini le sommet de la barrière, sinon si $E \approx V_0$ le cas se résume
par les deux précédant si $E > V_0$ ou $E < V_0$. De plus, la période totale est grande d'autant plus que la valeur de $E$ s'approche
à $V_0$ \cite{ref4}.
Le graphe \ref{} illustre graphiquement les trois cas. Ici chaque niveau d'énérgie correspond au point plus haut que la particule
peut atteindre en suivant le profil du potentiel.
-
- %TODO inserire un grafico con il profilo del potenziale (scegli un Delta qualsiasi) e tre livelli di energia diversi
- % E1< V_0 E2=V0 e E3 > V_0
+\end{minipage}
+\hspace{0.02\textwidth}
+\begin{minipage}{0.6\textwidth}
+ \resizebox{\textwidth}{!}{
+ \input{graphs/levels.tex}
+ }
+ \captionof{figure}{Barrière de potentiel et niveaux d'énergie à disposition}
+ \label{barrier_fig}
+\end{minipage}
+\end{minipage}
%TODO inserire grafici di densita di probabilita in x e t (grafico a colori) e a fianco P_x<0, P_x>0
% metterne uno per caso : E>V_0, E approx V_0 e E<V_0
+\begin{figure}[p]
+\hspace{-0.05\textwidth}
+\begin{subfigure}{0.55\textwidth}
+ \resizebox{\textwidth}{!}{
+ \input{graphs/tunnel/E_minorof.tex} % HERE
+ }
+ \caption{$\abs*{\psi}^2$}
+ \label{psi_minorof}
+\end{subfigure}
+\hspace{0.02\textwidth}
+\begin{subfigure}{0.55\textwidth}
+ \resizebox{\textwidth}{!}{
+ \input{graphs/tunnel/P_minorof.tex} % HERE
+ }
+ \caption{$P_{x<0}$ et $P_{x>0}$ }
+ \label{P_minorof}
+\end{subfigure}
+ \caption{Cas $V_0 < E$}
+ \label{minorof}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[p]
+\hspace{-0.05\textwidth}
+\begin{subfigure}{0.55\textwidth}
+ \resizebox{\textwidth}{!}{
+ \input{graphs/tunnel/E_equals.tex} % HERE
+ }
+ \caption{$\abs*{\psi}^2$}
+ \label{psi_equals}
+\end{subfigure}
+\hspace{0.02\textwidth}
+\begin{subfigure}{0.55\textwidth}
+ \resizebox{\textwidth}{!}{
+ \input{graphs/tunnel/P_equals.tex} % HERE
+ }
+ \caption{$P_{x<0}$ et $P_{x>0}$ }
+ \label{P_equals}
+\end{subfigure}
+ \caption{Cas $V_0 \approx E$}
+ \label{equals}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[p]
+\hspace{-0.05\textwidth}
+\begin{subfigure}{0.55\textwidth}
+ \resizebox{\textwidth}{!}{
+ \input{graphs/tunnel/E_majorof.tex} % HERE
+ }
+ \caption{$\abs*{\psi}^2$}
+ \label{psi_majorof}
+\end{subfigure}
+\hspace{0.02\textwidth}
+\begin{subfigure}{0.55\textwidth}
+ \resizebox{\textwidth}{!}{
+ \input{graphs/tunnel/P_majorof.tex} % HERE
+ }
+ \caption{$P_{x<0}$ et $P_{x>0}$}
+ \label{P_majorof}
+\end{subfigure}
+ \caption{Cas $V_0 > E$}
+ \label{majorof}
+\end{figure}
+
Le graphe en Figure \ref{} montre l'évolution de $|\psi(x,t)|^2$ lorsque $V_0 < E$, et comme pour le cas classique,
en suivant le pics de probabilité il est possible d'observer que la particule oscille à gauche et à droite du domaine.
Il est intéressant de rémarquer aussi que par effet de la forme du potentiel, lorsque la particulle passe sur la barrière,
l'on observe une perturbation dans le graphe de la densité de probabilitée. De plus, en Figure \ref{} on observe que les courbes
$P_{x<0}(t)$ et $P_{x>0}(t)$ évoluent de façon similaire au cas d'un oscillateur harmonique classique. Les courbes ont en effet la
même allure que celle en Figure \ref{}.
Le graphe en Figure \ref{} montre l'évolution de $|\psi(x,t)|^2$ lorsque $V_0 \approx E$. Dans ce cas il est possible d'observer que
la fonction se partage en deux parties montrant que la particule à une certaine probabilité de se trouver soit à droite que à gauche au même
temps, cela est observable aussi en Figure \ref{}. Cela ne veut biensur pas dire que la particule se separe en deux, mais que
il y a une probabilité bien définie de retrouver la particule au déla de la barrière malgré elle a une énérgie initiale $E$ trop proche de
$V_0$ ou même événtuellement plus petite. Cet effet est appelé effet tunnel, par lequel la probabilité de la particule
de se trouver au déla d'une barrière de potentiel est non nulle malgré le fait que $E < 0$. Pour finir dans ce cas, en observant le graphe
\ref{} il est possible d'en marque une différence significative avec le cas classique, dans le fait que la période de la particule n'est
visiblement pas tendante à l'infini.
Le graphe en Figure \ref{} illustre en fin le cas $E < 0$. Ici on y observe que, comme pour le cas classique, la particule
semble être en effet confinée à bouger dans le puits de potentiel de gauche, n'ayant pas assez d'énérgie pour dépasser
la barrière à hauteur $V_0$. Pourtant le graphe \ref{} montre que la probabilité $P_{x<0}(t)$ diminue doucement
dans le temps par effet tunnel, et donc malgré l'énérgie initiale, elle existe une certaine probabilité, rélativement basse,
de trouver la particule dans le puit de potentiel de droite.
%TODO inserisci grafico per probabilità di trasmissimone più vicina possibile a 1/2 per Delta = 64
%TODO e grafico degli n dove vedi come hai trovato l'n che si avvicina di più
Pour finir l'on fixe $\Delta = 64 = -x_0$ et l'on cherche le niveau d'énérgie $E$ pour lequel la probabilité de transmission
au premier passage soit $1/2$ \cite{ref3}. Il a été déjà montré que le niveau d'énérgie initiale dépende de l'impulsion initiale $p_0$,
et comme décrit par l'équation (\ref{p_0}), cette dérnière dépend de la valeur de $n$. Or en changeant $n$ on cherche
la valeur pour laquelle la probabilité $P_{x>0}(t)$ soit la plus proche possible de $1/2$ dans un temps $t = t_p$
correspondant à un moment après le prémier passage de la particule par $x=0$. Le graphe \ref{} montre la distance de la valeur
de $P_{x>0}(t_p)$ de $1/2$ en fonction de la valeur de n. Ici l'on observe que le minimum est atteint pour $n = 11.06$ et le
graphe \ref{} montre l'évolution temporelle de $|\psi(x,t)|^2$ pour cette valeur de $n$. Sur ce dernier graphe il peut
être observé en effet que les pics de densité de probabilité ont approximativement la même aplitude, et l'on déduit en effet
que pour cette énérgie initiale la particule aura une probabilitée égale de se retrouver à droite ou à gauche du domaine après chaque passage
sur $x_0$.
%TODO inserire grafico P_x>0 e P_x<0 per l'n ottimale su Delta = 64 poi finisco di commentare
%TODO scrivimi il valore dell'energia iniziale data dall'n ottimale a Delta = 64, poi commento
\subsubsection{Détection ou non de la particule}
Il est intéressant d'étudier maintenant qu'est-ce qu'il se passe lorsque dans le système est inséré un detecteur qui peut
détécter la présence de la particule à droite ou à gauche. Lorsque ce dernier detecte la particule à droite par exemple,
la probabilité qu'elle se trouve à droite devient automatiquement égale à 1 et $P_{x<0}(t_{detect}) = 0$ comme illustré
dans le graphe \ref{}. Ceci implique que lorque le detecteur capte la particule à droite, sa fonction d'onde collapse, $\psi(x,t) = 0$
pour tout $x<0$ et elle garde sa forme actuelle seulement à droite. Pour simuler cela pendant la simulation, au temps $t_{detect}$
toute valeur du vecteur $\vec{\psi}$ est mise à 0 pour les composante à gauche. Ensuit la partie à droite garde la même forme, mais
toutes les valeurs de $\vec{\psi}$ sont normalisés de façons que $\int \limits_0^{x_R} |\psi(x,t_{detect})|^2 dx = 1$ c'est à dire pour
que $P_{x>0}(t_{detect}) = 1$.
%TODO inserire grafico di P_x>0 et P_x<0 per illustrare cosa succede quando captiamo la particella
En prenant $\Delta = 64$ et $n = 11.06$ l'on simule l'évolution de $\psi(x,t)$ jusqu'à $t_{fin} = 5000$ pour deux cas :
\begin{itemize}
\item le détecteur ne détecte pas de particule (ni à droite ni à gauche), or tout simplement la fonction d'onde ne collapse pas.
\item le détecteur détecte la particule à droite en $t_{detect} =1000$.
\end{itemize}
%TODO calcolare P_x<0(t_detect) e P_x>0(t_detect) per i due casi e scrivere i valori da qualche parte
%TODO inserire grafici <x> <p> <H> <Delta x> e <Delta p> nel caso detect
%TODO se vuoi inserire dei supplementari dimmi cosa fai che commento
\section{Conclusion}
\section{Annexes}
\subsection{Formules de différences finies}
\paragraph{Centrées :}
Des dérives prémière et seconde d'une fonction $g(x)$ suffisamment régulière peuvent être approximées par les
formules de différences finies centrée qui suivent :
L. VILLARD, Cours de Physique Numérique pour physiciens, Faculté des Sciences de Base, Section de Physique, Ecole Polytecnique Fédérale de Lausanne.
\bibitem{ref2}
L. VILLARD, PHYSIQUE NUMERIQUE I - II ,Swiss Plasma Center, Faculté des Sciences de Base, Section de Physique, Ecole Polytecnique Fédérale de Lausanne.
\bibitem{ref3}
ECOLE POLYTECNIQUE FEDERALE DE LAUSANNE, Semestre de printemps 2019, Physique Numérique I - II - Exercice 8.
\bibitem{ref4}
F. MILA, P. DE LOS RIOS. Mécanique Analytique, Faculté des Sciences de Base, Section de Physique, Ecole Polytecnique Fédérale de Lausanne. Hiver 2006 - 2007 Lausanne.