diff --git a/labo/A4/graphs/ampiezza.tex b/labo/A4/graphs/ampiezza.tex
index 7a2df1a..c91038d 100644
--- a/labo/A4/graphs/ampiezza.tex
+++ b/labo/A4/graphs/ampiezza.tex
@@ -1,105 +1,105 @@
\begin{tikzpicture}
\pgfplotsset
{
%scale only axis,
%scaled x ticks = base 10:2,
%height = 18cm,
width = 10cm,
xlabel={$\Omega$ [\si{\radian/\second}]},
xmin = 2, xmax = 8,
legend style =
{
at = {(0.95, 0.95)},
anchor = north east
},
%cycle list name = color,
grid style = dashed,
ymajorgrids = true,
% custom entry
legend image with node/.style={
legend image code/.code={%
\node[#1, circle, fill, anchor=center, inner sep=1.7pt] at (0.3cm,0cm) {};
}
},
clip mode = individual,
minor x tick num = 4,
minor y tick num = 4
}
\pgfplotstableread{outs/resonance.dat}\infile
\begin{axis}
[
- ylabel={Amplitude maximale [\si{\volt}]},
+ ylabel={Amplitude en régime stationnaire},
ymin = 0, ymax = 0.4
]
\addplot
[
color = blue,
mark = asterisk,
mark options = {
draw = blue,
fill = none
},
only marks,
on layer = background
]
table [x = fs, y = Amax] {\infile};
\addlegendentry{Donnés}
\addplot
[
mark = none,
color = red,
domain = 2:8,
on layer = main,
samples = 64
] {0.348775 / sqrt((4.12059^2 - x^2)^2 + 4 * 0.121082^2 * x^2)};
\addlegendentry{Fit (formule \ref{aps})}
\draw[cyan, on layer = background] (2, 0.24748) -- (8, 0.24748);
\addlegendimage{cyan}
\addlegendentry{$A_{max}/\sqrt{2}$}
\node[label={0:{}},
black,
circle,
fill,
inner sep=1.7pt,
on layer = foreground] at (axis cs:4.11,0.35) {};
\draw[black, dashed, on layer = main] (4.11, 0) -- (4.11, 0.35);
\addlegendimage{legend image with node = black}
\addlegendentry{$\Omega_r \approx 4.11$ \si{\radian/\second}}
\node[label={0:{}},
brown,
circle,
fill,
inner sep=1.7pt,
on layer = foreground] at (axis cs:4.00,0.24748) {};
\draw[brown, dashed, on layer = main] (4.00, 0) -- (4.00, 0.24748);
\addlegendimage{legend image with node = brown}
\addlegendentry{$\Omega_1 \approx 4.02$ \si{\radian/\second}}
\node[label={0:{}},
orange,
circle,
fill,
inner sep=1.7pt,
on layer = foreground] at (axis cs:4.25,0.24748) {};
\draw[orange, dashed, on layer = main] (4.25, 0) -- (4.25, 0.24748);
\addlegendimage{legend image with node = orange}
\addlegendentry{$\Omega_2 \approx 4.25$ \si{\radian/\second}}
\end{axis}
\end{tikzpicture}
diff --git a/labo/A4/graphs/battements.tex b/labo/A4/graphs/battements.tex
index e3d82e3..f5f5f49 100644
--- a/labo/A4/graphs/battements.tex
+++ b/labo/A4/graphs/battements.tex
@@ -1,97 +1,97 @@
\begin{tikzpicture}
\pgfplotsset
{
%scale only axis,
%scaled x ticks = base 10:2,
height = 8cm,
width = 14cm,
xlabel={temps [\si{\second}]},
xmin = 8, xmax = 100,
legend style =
{
at = {(1.05, 0.95)},
anchor = north west
},
%cycle list name = color,
grid style = dashed,
ymajorgrids = true,
%minor x tick num = 4,
%minor y tick num = 4,
clip mode = individual
}
\begin{axis}
[
- ylabel={Amplitude [\si{\volt}]},
+ ylabel={Déplacement $\theta$},
ymin = -1.5, ymax = 1.5
]
\addplot
[
color = blue,
mark = x,
mark options = {
draw = blue,
fill = none,
scale = 0.5
},
smooth,
on layer = background
]
gnuplot [raw gnuplot] {
plot "outs/battementsf30.dat" using 1:2;
};
\addlegendentry{Donnés}
\addplot
[
color = red,
mark = *,
mark options = {
draw = red,
fill = red,
%scale = 1
},
only marks,
on layer = main
]
gnuplot [raw gnuplot] {
plot "outs/battementsf30.dat" using 3:4;
};
\addlegendentry{Pics détectés (hautes)}
\addplot
[
color = violet,
mark = *,
mark options = {
draw = violet,
fill = violet,
%size = 1pt
},
only marks,
on layer = main
]
gnuplot [raw gnuplot] {
plot "outs/battementsf30.dat" using 5:6;
};
\addlegendentry{Pics détectés (bas)}
% TODO fit, sine
\draw[black, dashed, on layer = foreground] (60.75, -1.5) -- (60.75, 1.5);
\draw[black, dashed, on layer = foreground] (39.6, -1.5) -- (39.6, 1.5);
\addlegendimage{black, dashed}
\addlegendentry{Distance: $2\pi / \omega_b$}
\draw[orange, dashed, on layer = foreground] (70.75, -1.5) -- (70.75, 1.5);
\draw[orange, dashed, on layer = foreground] (72.39, -1.5) -- (72.39, 1.5);
\addlegendimage{orange, dashed}
\addlegendentry{Distance: $2\pi / \Omega$}
\end{axis}
\end{tikzpicture}
diff --git a/labo/A4/graphs/damping.tex b/labo/A4/graphs/damping.tex
index 70f3589..fa10119 100644
--- a/labo/A4/graphs/damping.tex
+++ b/labo/A4/graphs/damping.tex
@@ -1,75 +1,75 @@
\begin{tikzpicture}
\pgfplotsset
{
%scale only axis,
%scaled x ticks = base 10:2,
%height = 18cm,
width = 10cm,
xlabel={temps [\si{\second}]},
xmin = 5, xmax = 46,
legend style =
{
at = {(0.95, 0.95)},
anchor = north east
},
%cycle list name = color,
grid style = dashed,
ymajorgrids = true,
minor x tick num = 4,
%minor y tick num = 4,
clip mode = individual
}
\begin{axis}
[
- ylabel={Amplitude [\si{\volt}]},
+ ylabel={Déplacement angulaire $\theta$},
ymin = -1.5, ymax = 1.5
]
\addplot
[
color = blue,
mark = x,
mark options = {
draw = blue,
fill = none,
scale = 0.5
},
smooth,
on layer = background
]
gnuplot [raw gnuplot] {
plot "outs/lambda_demo.dat" using 1:2;
};
\addlegendentry{Donnés}
\addplot
[
color = red,
mark = *,
mark options = {
draw = red,
fill = red,
%scale = 1
},
only marks,
on layer = main
]
gnuplot [raw gnuplot] {
plot "outs/lambda_demo.dat" using 3:4;
};
\addlegendentry{Pics détectés}
\addplot
[
mark = none,
color = brown,
domain = 5:45,
on layer = foreground
] {-0.1649 + 1.9682 * exp(-0.055 * x)};
\addlegendentry{Fit: $\lambda = 0.06$ \si{1/\second}}
\end{axis}
\end{tikzpicture}
diff --git a/labo/A4/outs/.general.dat.swo b/labo/A4/outs/.general.dat.swo
deleted file mode 100644
index ecd4c21..0000000
Binary files a/labo/A4/outs/.general.dat.swo and /dev/null differ
diff --git a/labo/A4/rapport.synctex.gz b/labo/A4/rapport.synctex.gz
deleted file mode 100644
index 377ab09..0000000
Binary files a/labo/A4/rapport.synctex.gz and /dev/null differ
diff --git a/labo/A4/rapport.tex b/labo/A4/rapport.tex
index a543c77..e7f5761 100644
--- a/labo/A4/rapport.tex
+++ b/labo/A4/rapport.tex
@@ -1,633 +1,662 @@
\documentclass[a4paper, 12pt,oneside]{article}
%On peut changer "oneside" en "twoside" si on sait que le résultat sera recto-verso.
%Cela influence les marges (pas ici car elles sont identiques à droite et à gauche)
% pour l'inclusion de figures en eps,pdf,jpg,....
\usepackage{graphicx, caption}
\usepackage{gensymb}
\usepackage{subcaption}
%Marges. Désactiver pour utiliser les valeurs LaTeX par défaut
%\usepackage[top=2.5cm, bottom=1.5cm, left=2cm, right=2cm, showframe]{geometry}
\usepackage[top=2.5cm, bottom=1.5cm, left=2cm, right=2cm]{geometry}
% quelques symboles mathematiques en plus
\usepackage{amsmath}
% chemie
\usepackage{mhchem}
% quelques symboles mathematiques en plus
\usepackage{amsmath}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{gensymb}
\usepackage{url}
\usepackage{makecell}
% absolute value
\DeclarePairedDelimiter\abs{\lvert}{\rvert}
% le tout en langue francaise
%\usepackage[francais]{babel}
% on peut ecrire directement les charactères avec l'accent
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
% a utiliser sur Linux/Windows
%\usepackage[latin1]{inputenc}
% a utiliser avec UTF8
\usepackage[utf8]{inputenc}
%Très utiles pour les groupes mixtes mac/PC. Un fichier texte enregistré sous codage UTF-8 est lisible dans les deux environnement.
%Plus de problème de caractères accentués et spéciaux qui ne s'affichent pas
% a utiliser sur le Mac
%\usepackage[applemac]{inputenc}
% pour l'inclusion de liens dans le document (pdflatex)
\usepackage[colorlinks,bookmarks=false,linkcolor=black,urlcolor=blue, citecolor=black]{hyperref}
%Pour l'utilisation plus simple des unités et fractions
\usepackage{siunitx}
%Pour utiliser du time new roman... Comenter pour utiliser du ComputerModern
%\usepackage{mathptmx}
%graphs
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\usepackage{pgfplotstable}
\usetikzlibrary{patterns}
\usepgfplotslibrary{external}
\pgfplotsset{compat=newest}
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%Pour du code non interprété
\usepackage{verbatim}
\usepackage{verbdef}% http://ctan.org/pkg/verbdef
%Pour changer la taille des titres de section et subsection. Ajoutez manuellement les autres styles si besoin.
\makeatletter
\renewcommand{\section}{\@startsection {section}{1}{\z@}%
{-3.5ex \@plus -1ex \@minus -.2ex}%
{2.3ex \@plus.2ex}%
{\normalfont\normalsize\bfseries}}
\makeatother
\makeatletter
\renewcommand{\subsection}{\@startsection {subsection}{1}{\z@}%
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%pgfplot setup
\makeatletter
\pgfplotsset{
/pgfplots/flexible xticklabels from table/.code n args={3}{%
\pgfplotstableread[#3]{#1}\coordinate@table
\pgfplotstablegetcolumn{#2}\of{\coordinate@table}\to\pgfplots@xticklabels
\let\pgfplots@xticklabel=\pgfplots@user@ticklabel@list@x
},
% layer definition
layers/my layer set/.define layer set={
background,
main,
foreground
}{
% you could state styles here which should be moved to
% corresponding layers, but that is not necessary here.
% That is why wo don't state anything here
},
% activate the newly created layer set
set layers=my layer set
}
\makeatother
%Début du document
\begin{document}
\title{\normalsize{Lab Work Report - Group N$^\circ$\\ XX - Experiment}}
\date{\normalsize{\today}}
\author{\normalsize{Name} 1\and \normalsize{Name 2}}
%Crée la page de titre
%\maketitle
%Ajoute la table des matières
%\tableofcontents
%Début du rapport à la page suivante
%\newpage
%De manière à ce que template latex ressemble au mieux au template word, on empêche latex de créer la page de titre et la créons à la main
%En taille de police 12, la commande \large donne une taille de police 14
%On utilise la commande \sffamily pour créer des caractères sans-serif
\begin{center}
\large\textbf{\sffamily Experiment N$^\circ A4$: Oscillations libres et forcées.}\\%
\large\sffamily Group N$^\circ 16$: Ancarola Raffaele, Cincotti Armando\\%
\large\sffamily \today\qquad Dubey Quentin\\%
\end{center}
% Introduction
\section{Introduction}
Certaines équations analytiques se retrouvent souvent dans différents domaines de la
physique, dans le cas du rapport qui suit l'équation d'un oscillateur
harmonique amorti. Ce dernier en effet est étudié en mécanique dans le cadre des
oscillateurs harmoniques, mais trouve un modèle analogue en éléctronique aussi
dans l'implementation des circuit RLC, et dans d'autre domaine. Il est donc souvent utile d'étudier
ces phénomène dans tout type de domaine, car les résultat obtenus peuvent être transportés dans les
domaines analogues où la même équation apparaît. Le but de cette expérience est celui d'étudier
un disque tournant et oscillant, pour étudier et vérifier les carctéristiques du système déduites analytiquement
comme effets de résonnance et de battements.
\section{Théorie}
\subsection{Équation différentielle pour un disque tournant}
Dans cette experience le système étudié corréspond à un disque de moment d'inertie $I$ [\si{\kilogram\cdot\metre^2}],
tournant autour de son axe principal passant uniquement par le centre du disque.
Le disque subit un couple $M_{k}$ de la part d'un ressort avec constante de couple de rappel $k$ [\si{\kilogram\cdot\metre^2\per\second^2}]
lorsque le disque tourne d'un angle $\theta$ par rapport à la position d'équilibre du système disque-ressort. On a donc $M_{k} = -k \theta$.
De plus, dans le système étudié le disque subit un couple d'hamortissement magnétique $M_{fr}$ (voir Figure \ref{}) de coéfficient
$N$ \si{\kilogram\cdot\metre^2\per\second} d'où $M_{fr} = -N\dot{\theta}$. En fin, il est possible d'appiquer un moment supplementaire au disque
par une fonction $G(t) = P\sin(\Omega t)$ dépendant du temps.
Ayant que le moment cinétique $L = I\dot{\theta}$, en supposant $I$ constant dans le temps,
d'un bilan des moments de force $M_{ext} = G(t) + M_k + M_{fr}$
et en appliquant le théorème du moment cinétique $\frac{d L}{dt} = M_{ext}$ il est possible de détérminer l'équation suivante:
\begin{equation}\label{diff}
I \ddot{\theta} + N \dot{\theta} + k \theta = P\sin(\Omega t)
\end{equation}
En divisant en fin l'équation (\ref{diff}) par $I$ il en résulte l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique hamorti et forcé :
\begin{equation}\label{osc}
\ddot{\theta} + 2\lambda \dot{\theta} + \omega_0^2 \theta = p \sin{(\Omega t)} \quad \lambda = \frac{N}{2I}, \; \omega_0^2 = \frac{k}{I}, \; p = \frac{P}{I}
\end{equation}
où $\lambda$ est le facteur d'amortissement, $\omega_0$ la pulsation propre de l'oscillateur harmonique,
et $p$ l'amplitude (en \si{\radian\per\second^2}) du forçage externe.
\subsection{Solutions de l'équation différentielle}
\paragraph{Oscillations libres, en régime non forcé.}
Dans le cas où la perturbation externe est inexistante $G(t) = 0$, existent trois solutions à l'équation (\ref{osc}) \cite{ref1}, lequelles
dépendent du signe de $\lambda^2-\omega_0^2$. Pour cet experience le cas étudié est celui où $\lambda^2 < \omega_0^2$
pour lequel l'amortissement est dit faible et la solution à (\ref{osc}) est donnée par :
\begin{equation}\label{nforce}
\theta(t)=\theta_0e^{-\lambda t}\cos{(\omega t - \phi)}
\end{equation}
où $\omega^2 = \omega_0^2 - \lambda^2$, $\tan{\phi} = - \frac{\lambda}{\omega}$ et où $\theta_0 = \theta(0)$.
Dans ce cas l'amortissement n'empêche pas l'apparition d'oscillations mais il en diminue l'amplitude de façon exponentielle.
\begin{minipage}{\textwidth}
\vspace{0.8cm}
\hspace{-0.05\textwidth}
\begin{minipage}{0.55\textwidth}
\paragraph{Oscillations en régime forcé}
Dans le cas où le système subit une perturbation externe, c'est à dire $G(t) = P\sin{(\Omega t)} \neq 0$,
l'équation (\ref{osc}) admet trois solutions de la forme
\begin{equation}\label{force}
\theta(t) = A(\Omega)\sin{(\Omega t - \Psi(\Omega))} + h(t)
\end{equation}
où h(t) est dite solution transitoire correspondante à une des trois solutions de type homogène de l'équation
(\ref{osc}) qui décroissent de façons exponentielle dans le temps. Pour ce qui concerne cette experience
$h(t) = \theta_0e^{-\lambda t}\cos{(\omega t - \phi)}$ pour $\lambda^2 < \omega_0^2$ dans
le cas d'un amortissement faible.
À cause de cette décroissance du terme transitoire, le terme sinusoidale décrit le régime permanent
du système, pour des temps $t$ où $h(t)$ est donc négligéable.
\end{minipage}
\hspace{0.02\textwidth}
\begin{minipage}{0.35\textwidth}
\includegraphics[width=\textwidth]{aomega.png}
- \captionof{figure}{Amplitude de la solution permanente pour un oscillateur forcé.} % TODO
+ \captionof{figure}{Amplitude pour un oscillateur forcé.} % TODO de la solution permanente
\label{aomega}
\end{minipage}
\vspace{0.4cm}
\end{minipage}
Le terme permanent contient une amplitude et un déphasage dépendants les deux de $\Omega$ comme suit \cite{ref1}:
\begin{equation}\label{aps}
A(\Omega) = \frac{p}{\sqrt{(\omega^2 - \Omega^2)^2 + 4\lambda^2\Omega^2}} \;\;\quad\quad
\Psi(\Omega) = \arctan\Big(\frac{2\lambda\Omega}{\omega^2-\Omega^2}\Big)
\end{equation}
De
l'équation de A il est possible de déduire une pulsation de résonance $\Omega_r = \sqrt{\omega_0^2 - 2\lambda^2}$
qui est définie par $A(\Omega_r) = A_{max}$ (voir aussi Figure \ref{aomega}).
L'on défini aussi la largeur de raie à mi hauteur autour de
$\Omega_r$ par $\Delta\Omega = \Omega_2 - \Omega_1 = 2\lambda\omega/\Omega_r$, où $\Omega_2$ et $\Omega_1$ sont les deux valuers
pour lesquelles $A(\Omega_i)=\frac{A_{max}}{\sqrt{2}}$.
\begin{minipage}{\textwidth}
\hspace{-0.05\textwidth}
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
De plus on défini un facteur de qualité
$Q = \frac{\Omega_r}{\Delta\Omega} = \frac{\Omega_r^2}{2\lambda\omega}$.
Pour finir, dans un régime transitoire pour un amortissement faible, si $\Omega$ et $\omega$ sont voisins,
dans le système se manifeste un phénomène de battement où l'amplitude oscille (voir image \ref{battement})
avec une pulsation de battement \cite{ref1}:
\begin{equation}\label{batt}
\omega_B = |\omega- \Omega|
\end{equation}
\end{minipage}
\hspace{0.02\textwidth}
\begin{minipage}{0.55\textwidth}
\includegraphics[width=\textwidth]{battement.png}
\captionof{figure}{Phènomène de battement}
\label{battement}
\end{minipage}
\end{minipage}
\section{Apparat et démarche expérimentale}
L'apparat expérimental contient les éléments caractérisant le système physique décrit par l'équation (\ref{diff})
plus des manivelles pour regler la perturbation externe et l'hamortissement, et des potentiomètre fonctionnant de
capteur d'amplitude des oscillation du disque et de l'excitation.
%TODO inserire apparato.png
\begin{minipage}{\textwidth}
\hspace{-0.05\textwidth}
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
Dans un prémier temps, lorsque aucune perturbation de type $G(t)$ est introduite dans le système,
grace à un programme d'acquisition informatique, des courbes $\theta(t)$ peuvent être tracée
pour différentes valeures de $N$, en modifiant l'effet d'hamortissement magnétique, et du moment d'inertie $I$ aussi, en plaçant
des masses supplémentaires de façon simmétrique sur le disque. Une mésuration est déclanchée en laissant le disque tourner avec un
angle initial $\theta_0 = 135^\circ$.
\end{minipage}
\hspace{0.02\textwidth}
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\includegraphics[width=\textwidth]{apparato.png}
\captionof{figure}{Apparat éxperimental}
\label{apparato}
\end{minipage}
\vspace{0.5cm}
\end{minipage}
Une fois tracées les courbes $\theta(t)$, comme l'hamortissement est faible
pour chaqune la pulsation $\omega$ peut être mésurée et le facteur d'amortissement $\lambda$
peut être extrapolé par un fit exponentiel des pics d'amplitudes.
L'équation (\ref{nforce}) montre en effet que l'amplitude décroit éxponentiellement d'un facteur $\lambda$.
Deuxièmement dans le cas d'une oscillation forcée ($G(t)\neq 0$), le système d'acquisition numérique permet de mésurer
la pulsation de l'oscillation forcée $\Omega$ et la pulsation de battement $\omega_b$ en les prenant des graphes comme montré en Figure \ref{battement}.
Par plusieures mésuration il est donc possible de vérifier l'équation (\ref{batt}).
Pour finir, toujour dans le cas d'une oscillation forcée, il est possible d'étudier l'amplitude $A(\Omega)$ et le déphasage $\Psi(\Omega)$
du régime premanent et de vérifier ainsi les équations en (\ref{aps}). Ainsi faisant sera aussi possible de donner les valeurs de
$\Omega_r$, $Q$ et $\Delta\Omega$ du système.
Pour les deux cas en oscillation forcée les mésuration sont faite sur un disque sans masses attachés dessous.
\section{Resultats et discussion}
Les valeurs de $\omega$, $\Omega$ et $\omega_b$ sont pris diréctement des graphes et les erreurs
sur ces mésures dependent de la précision du programme informatique d'acquisition de données.
\subsection{Oscillateur non-forcé}\label{secnforce}
%TODO inserire grafici sul fit esponenziale *
\begin{minipage}{\textwidth}
\hspace{-0.05\textwidth}
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
Le graphe en Figure \ref{damping} montre une courbe déssinnée $\theta(t)$ (l'échélle est arbitraire)
plus un fit exponentiel sur ses pics
permettant d'extrapoler le facteur d'hamortissement $\lambda$.
Comme prévu par l'équation (\ref{nforce}) dans ce cas les oscillations subissent en effet un
hamortissement exponentiel.
Le Tableau \ref{valuestab} montre les valeurs mésurés des paramètres $\lambda$, $\omega$ et $\omega_0 =\sqrt{\omega^2 + \lambda^2}$
en fonction de l'hamortissement appliqué en pourcentage $\tau$ du maximum appliquable par la machine.
Ici il est possible d'observer que les trois valeurs diminuissent lorsque l'on ajoute des masses au disque.
Ceci est du à l'augmentation du moment d'inertie $I$ qui affecte donc les valeurs de $\lambda$ et de $\omega_0$ comme prévu dans les rélations
en (\ref{osc}).
\end{minipage}
\hspace{0.02\textwidth}
\begin{minipage}{0.55\textwidth}
\resizebox{\textwidth}{!}{
\input{graphs/damping.tex}
}
\captionof{figure}{Ammortissement faible, avec $\tau = 50$ \% et trois masses attachées}
\label{damping}
\end{minipage}
\end{minipage}
-\begin{table}
+\begin{table}[h]
\centering
-\input{graphs/table.tex} % HERE
+ %\resizebox{0.6\textwidth}{!}{
+ \input{graphs/table.tex} % HERE
+ %}
\caption{Valeurs de $\lambda$ et $\omega$ en fonction du frottement et des masses attachées}
\label{valuestab}
\end{table}
Il est possible en plus d'observer sur ce Tableau que les valeurs de $\omega_0$ restent constant
pour un moment d'inertie $I$ donné, comme aucune modification est apportée à la constante de rappel du ressort,
et que $\omega$ est quasi-identique. %TODO inserire tabella e grafico di Lambda in funzione della percentuale di ammortizzamento applicato *
\begin{minipage}{\textwidth}
\vspace{0.5cm}
\hspace{-0.07\textwidth}
\begin{minipage}{0.46\textwidth}
Ceci est du en effet au fait que
les valeurs de $\lambda$ restent relativement petites et donc $\lambda^2$ devient
presque négliegeable dans la détérmination de $\omega_0$.
L'erreur sur $\omega_0$ est plus grand par effet de propagation d'erreur
Pour finir il est possible d'observer en Figure \ref{lambdas} que le facteur d'hamortissement
$\lambda$ diminuit exponentiellement avec
$\tau$. Ceci ne tends par contre pas à 0 lorsque l'hamortissement
magnétique appliqué par la machine est nul, car en effet aussi
l'air et d'autre contrainte propres au solide
influencent l'effet d'hamortissement, et cet effet est mésurable comme pour l'hamortissement magnétique lorsque ce dernier est nul.
\end{minipage}
\hspace{0.01\textwidth}
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\resizebox{\textwidth}{!}{
\input{graphs/lambdas.tex}
}
\captionof{figure}{Valeur de $\lambda$ en fonction de l'intensité du frottement magnétique}
\label{lambdas}
\end{minipage}
\vspace{0.5cm}
\end{minipage}
L'on observe en fin
que ces contraintes ont un effet négligéable par rapport à celui de l'hamortissement magnétique lorsque ceci est pris pour un pourcentage $>50\%$.
\subsection{Oscillateur forcée}
\subsubsection{Battements}
%TODO inserire grafico sul battement *
Le graphe en figure \ref{battfig} illustre le phénomène de battement observable dans le cas d'un oscillateur forcé. La courbe choisie
en exemple est celle où le phénomène de battement était le plus évident dans les mésurations faites, pour
$\Omega = 4.74$ \si{\radian\per\second} . Ce phénomène
est caractérisé par une oscillation périodique de l'amplitude lorsque le système n'as pas encore atteint son état permanent.
C'est en effet par la mésuration de cette période qu'il est possible de déterminer $\omega_b$. Le Tableau \ref{battvalues}
expose les valeurs mésurés pour 4 hamortissement divers et 2 différentes valeurs de $\Omega$.
Il est possible d'osbserver que la rélation (\ref{batt}) est assez bien vérifée dans le cas de $\Omega = 4.74$ \si{\radian\per\second},
mais moins dans les autres cas. Ceci est simplement du à l'imprecision de mésuration, en effet dans le premier cas le phénomène de battement est aussi
mieux observable comme déjà mentionné. Il est possible pourtant de conclure en disant que la rélation est bien vérifiée.
\begin{figure}[t]
\centering
\resizebox{\textwidth}{!}{
\input{graphs/battements.tex}
}
\caption{Verification des battements, pour $\tau = 17$ \%}
\label{battfig}
\end{figure}
%TODO inserire tabella su omega_b
\begin{table}[h]
\centering
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$\Omega$ & $\tau$ \% & $\omega_b$ [\si{\radian/\second}] & $\abs*{\omega - \Omega}$ [\si{\radian/\second}] \\
\hline
$4.74 \pm 0.07$ & $50$ & $0.74 \pm 0.01$ & $0.72 \pm 0.09$ \\
\hline
$3.76 \pm 0.06$ & $35$ & $0.33 \pm 0.01$ & $0.26 \pm 0.08$ \\
\hline
$3.76 \pm 0.06$ & $17$ & $0.30 \pm 0.01$ & $0.26 \pm 0.07$ \\
\hline
$3.76 \pm 0.06$ & $0$ & $0.36 \pm 0.01$ & $0.31 \pm 0.08$ \\
\hline
\end{tabular}
\caption{Valeurs de $\omega_b$ et verification de la formule \ref{batt}}
\label{battvalues}
\end{table}
\subsubsection{Résonnance et déphasage}
%TODO inserire grafici di ampiezza e fase *
Les graphes en Figure \ref{amaxfig} et \ref{phasefig} illustrent les valeurs mésurés d'amplitude $A$ et
déphasaghe $\Psi$ en fonction de $\Omega$, mésurés lorsque le système était
complétement dans l'état permanent. Les mésuration sont faites pour
une intensité d'hamortissement du $50\%$. Les deux images présentent
aussi un fit donné par le support de {\it fittype function} de Matlab, en utilisant les rélation en (\ref{aps}).
Le fit est nécéssaire pour obtenir les valeur de $\Omega_r$ et $\Delta\Omega$, et donc aussi du facteur
de qualité $Q$. On mésure ainsi $Q = 17.9 \pm 5.0$, % TODO
$\Omega_r = (4.11 \pm 0.02)$ \si{\radian/\second}, et $\Delta \Omega = (0.23 \pm 0.04)$ \si{\radian/\second}.
%TODO inserisci valori di Omega_r DeltaOmega e Q misurati
\begin{align} \label{thvalues}
\Omega_{r_{ref}} = \sqrt{\omega_0^2 - 2\lambda^2} = (4.03 \pm 0.02) \text{ \si{\radian/\second}}
& &
\Delta \Omega_{ref} = \frac{2\lambda\omega}{\Omega_{r_{ref}}} = (0.19 \pm 0.04) \text{ \si{\radian/\second}}
\end{align}
L'on observe que $\Omega_r \approx \omega_0$, en effet comme le facteur d'hamortissement
est négligéable, la pulsation de résonance est pratiquement la pulsation propre du système.
%TODO inserisci valore teorico Di Omega_r e DeltaOmega
\begin{figure}[h]
\hspace{-0.06\textwidth}
\begin{subfigure}{0.55\textwidth}
\resizebox{\textwidth}{!}{
\input{graphs/ampiezza.tex}
}
\caption{Amplitude en régime permanent}
\label{amaxfig}
\end{subfigure}
\hspace{0.02\textwidth}
\begin{subfigure}{0.55\textwidth}
\resizebox{\textwidth}{!}{
\input{graphs/phase.tex}
}
\caption{Phase $\psi$}
\label{phasefig}
\end{subfigure}
\caption{Réponse de l'amplitude et de la phase du signal en fonction de $\Omega$}
\label{ampliphase}
\end{figure}
En observant en plus les valeurs calculés par les rélations mathématiques en prénant les valeurs
mésurés dans la section \ref{secnforce}, il est possible de dire que les mésurations faites sont
consistantes avec la théorie physique à un erreur rélativement petit, ce qui implique que la méthode de mésuration
est assez bonne pour détérminer ces valeurs.
Il est souvent important de connaitre les valeur de résonnance $\Omega_r$, de largeur de raie
$\Delta\Omega$ et le facteur de qualité $Q$. En effet il peut être nécaissaire de travailler avec des grandes amplitudes,
dans ce cas l'on cherche de travaille avec une excitation proche de $\Omega_r$ pour lequel l'amplitude maximale est
affectée aussi de la largeur de raie : plus elle est grande moindre sera l'amplitude maximale. Comme
il est mentionné dans l'équation \ref{thvalues}, la valeur de largeur de raie dépend théoriquement de $\lambda$, ce
qui permet de pouvoir en manipuler la valeur en connaissant comment faire varier le facteur d'hamortissement.
De même vaut pour le facteur de qualité, plus grand pour une petite largeur de raie, indiquant que l'amplitude de résonnace est
assez importante, comme il en est le cas pour les mésurations faites (voir graphe \ref{amaxfig}).
Sur le graphe \ref{phasefig} il est possible en fin d'observer que le déphasage $\Psi$ prend valeur $\pi/2$
en $\Omega_r$, et le déphasage devient ensuite rapidement la valeur $\Psi(\Omega > \Omega_r + \epsilon) \approx \pi$ pour $\epsilon$
assez grand. Un déphasage de $\pi$ entre oscillation et excitation implique une diminution de l'amplitude, en effet sur le graphe \ref{phasefig}
l'on observe que l'amplitude prends des valeurs plus basses pour cette plage de $\Omega$.
%TODO poi finisco di commentare
\section{Conclusion}
Comme montré, cette experience a permis d'étudier des oscillations faibles et différents phénomènes
liés à ce système comme celui de battement et celui de résonnance lorsque l'oscillation est forcée.
Dans un prémier temps, l'expérience a permis de vérifier des
lois mathématiques décrivants le phénomène, ou de se rendre compte que des méthode de mésurations
sur les donnée plus précises sont nécéssaire comme dans le cas où l'on a vérifié la rélation (\ref{batt}).
L'intérêt pratique de ces expériences est celui de pouvoir trouver et étudier comment peuvent changer les
valeur liés au phénomène de résonnance. En effet lorsque l'on voudrai éviter la plage de résonnance
il est important de diminuer par exemple le facteur d'hamortissement de façons a diminuer la largeur de raie.
Ou une autre méthode serait de augmenter la valeur de fréquence de résonnance (laquelle est souvent
proche à la pulsation propre $\omega_0$) en diminuant le moment d'inertie de l'objet oscillant.
En effet il serait interessant de faire d'autres mésurations sur les valeurs de $\Omega_r$, $\Delta\Omega$ et
$Q$ en faisant varier l'hamortissement, le moment d'inertie et d'autre paramètre pour en déduire des informations
utile sur ces facteurs et sur commment les manipuler.
\section{Annexes}
-\subsection{Éffort du moteur et $\Omega$}
+\subsection{La grandeur $\theta$}
+Cette grandeur $\theta$ corréspond à la réponse en tension du capteur de
+déplacement angulaire du disque.
+En faite elle est {\it proportionelle} à cette
+déviation du disque par rapport au zero choisi, qui est dans ce cas l'équilibre.
+Donc quand elle est raffiguré dans les donnés, sa signification est
+$\theta \propto$ "{\it déplacement angulaire}" (sans unité de mésure).
+
+\subsection{Éffort du moteur et $\Omega$}
\begin{minipage}{\textwidth}
\hspace{-0.05\textwidth}
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
On cherche la relation entre ces deux grandeurs pour en verifier la
corréspondance. Il en suit qu'un fit linéaire donne:
\begin{equation} \label{OmMotor}
\Omega(\epsilon) = (1.00 \cdot \epsilon - 0.06) \text{ \si{\radian/\second}}
\end{equation}
c'est à dire qu'il y a juste un décalage à considerer.
\end{minipage}
\hspace{0.02\textwidth}
\begin{minipage}{0.55\textwidth}
\resizebox{\textwidth}{!}{
\input{graphs/Omega.tex}
}
\captionof{figure}{Relation entre l'éffort $\epsilon$ et $\Omega$}
\label{}
\end{minipage}
\end{minipage}
\subsection{Linear regression}
\paragraph{Variance et covariance} \label{varcov}
Soient $X$, $Y$ deux ensemble de donnés de taille $N$,
alors la covariance $cov_{XY}$ est donnée par:
\begin{align}
cov_{XY} &= \frac{1}{N} \sum\limits_{k = 1}^N (X_k - \bar{X})(Y_k - \bar{Y}) \\
\bar{X} &= \frac{1}{N} \sum\limits_{k = 1}^N X_k \\
\bar{Y} &= \frac{1}{N} \sum\limits_{k = 1}^N Y_k
\end{align}
Et les variances $\sigma_X^2$ et $\sigma_Y^2$ sont données par la relation:
\begin{align}
\sigma_X^2 &= cov_{XX} \\
\sigma_Y^2 &= cov_{YY}
\end{align}
\paragraph{Régression linéaire pour les {\it fit}}
Soit $X$ et $Y$ comme définits en avance, la régression linéaire $f(x)$
est donnée par:
\begin{align} \label{linear_reg}
f(x) &= m_{XY} \cdot x + b_{XY} \\
m_{XY} &= \frac{cov_{XY}}{\sigma_X^2} \\
b_{XY} &= \bar{Y} - m_{XY} \cdot \bar{X}
\end{align}
\paragraph{Détermination de $\lambda$} \label{findlambda}
En suivant la relation (\ref{linear_reg}), remplacer
-$Y$ par le \textbf{logaritme} des donnés de $\frac{U_{out}(0)}{U_{out}(t)}$, où
+$Y$ par le \textbf{logaritme} des donnés de $\frac{\theta_0}{\theta_n}$, où
$U$ est la tension, et analoguement remplacer $X$ par
le temps:
\begin{equation}
-\ln\Big(\frac{U_{out}(0)}{U_{out}(t)}\Big) = \lambda \cdot t
+\ln\Big(\frac{\theta_0}{\theta_n}\Big) = \lambda \cdot t_n
\end{equation}
+où $n$ est l'n-ième pic positiv de $\theta$.
+
\textbf{NB:} Le calcul est automatisé informatiquement.
\subsection{À propos de l'erreur}
\subsubsection{Erreur sur la pente \cite{ref2}}
\paragraph{Déviation quadratique d'une fonction $f$} \label{err_slope}
Soit $X$, $Y$ et $f(x)$ comme en (\ref{varcov}), alors la déviation
quadratique de $f(x)$ est donnée par:
\begin{equation}
\epsilon_{XY}^2 = \frac{1}{N - 2} \sum\limits_{k = 1}^N (Y_k - f(X_k))
\end{equation}
\paragraph{Érreur sur $m_{XY}$ et $b_{XY}$} \label{slopeErr}
\begin{align}
\Delta m_{XY} &= 2 \frac{\epsilon_{XY}}{\sigma_X} \\
\Delta b_{XY} &= 2 \epsilon_{XY} \sqrt{\frac{1}{N} + \frac{s_X^2}{\sigma_X^2}} \\
s_X^2 &= \frac{1}{N} \sum\limits_{k = 1}^N X_k^2
\end{align}
% TODO reference
\paragraph{Application à l'érreur sur $\lambda$}
-Le même que dans la séction (\ref{slopeErr}): remplacer $Y$ par $\ln(U_{out}(0) / U_{out}(t))$
-et $X$ par $t$, et appliquer le proceder de (\ref{err_slope}).
+Le même que dans la séction (\ref{slopeErr}): remplacer $Y$ par $\ln(\theta_0 / \theta_n)$
+et $X$ par $t$, et appliquer le proceder de (\ref{err_slope}). Où $\theta_n$ est
+l'amplitude de l'n-ième pic.
\par
\textbf{NB:} Le calcul est automatisé informatiquement.
\subsubsection{Èrreur systématiques et propagés}
+\paragraph{Érreur sur $\theta$:} cette valuer est donnée par la précision de
+détection de cette grandeur, qui vaut $\Delta \theta = 0.001$.
+
+\paragraph{Érreur sur la pulsation $\Omega$ du moteur:}
+cette incertitude corréspond à celui de l'éffort du moteur $\epsilon$ et elle
+vaut $\Delta \Omega = 0.01$.
+
\paragraph{Érreur sur le temps et propagation sur les $\omega$}
Le temps est détecté avec une précision de $\Delta t = 0.01$ \si{\second} en suivant
les chiffres significatives sur les rawdata.
Donc pour touts les périodes et différences de temps on a l'incertitude $\Delta T = 2 \Delta t = 0.02$.
-Il en suit que pour toutes les pulsations on a la propagation d'érreur suivante:
+Il en suit que pour toutes les pulsations $\omega_{\alpha}$ détérminée par les
+graphiques on a la propagation d'érreur suivante:
\begin{equation*}
- \Delta \omega = \frac{2 \pi}{T^2} \Delta T
+ \Delta \omega_{\alpha} = \frac{2 \pi}{T^2} \Delta T
\end{equation*}
-\paragraph{Érreur sur l'amplitude}
+En particulier les grandeurs affectées sont $\omega_b$, $\omega$.
+
+\paragraph{Grandeurs dérivées}
+
+\begin{itemize}
+ \item Pulsation propre: $\Delta \omega_0 = (\omega^2 + \lambda^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (\omega \Delta \omega + \lambda \Delta \lambda)$
+ \item Facteur de qualité: $\Delta Q = \frac{\Delta \Omega_r}{(\Delta \Omega)} + \frac{\Omega_r}{(\Delta \Omega)^2} \Delta (\Delta \Omega)$
+ \item Erreur sur le $\Delta \Omega$: $\Delta (\Delta \Omega) = 2 \Delta \omega_{\alpha}$
+\end{itemize}
\section{Références}
% Bibliographie
\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{ref1}
Notices des TP de physique A4: Oscillations libres et forcées
\bibitem{ref2}
Uncertainty Slope Intercept of Least Squares - Faith A. Morrison - \url{http://pages.mtu.edu/~fmorriso/cm3215/UncertaintySlopeInterceptOfLeastSquaresFit.pdf}
\end{thebibliography}
\end{document}
\end{document}
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index e96e766..66c3c02 100644
--- a/labo/A4/tikzext/rapport-figure0.md5
+++ b/labo/A4/tikzext/rapport-figure0.md5
@@ -1 +1 @@
-\def \tikzexternallastkey {74A4F7424253B59E50CC75D4628593E7}%
+\def \tikzexternallastkey {15BF9726A8604B648A2C943AD6A066A3}%
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index 53dfe21..e6d2a67 100644
Binary files a/labo/A4/tikzext/rapport-figure0.pdf and b/labo/A4/tikzext/rapport-figure0.pdf differ
diff --git a/labo/A4/tikzext/rapport-figure2.md5 b/labo/A4/tikzext/rapport-figure2.md5
index 1355297..3a789cf 100644
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@@ -1 +1 @@
-\def \tikzexternallastkey {C1F817BB7C56231260DD331FFA7E3EF6}%
+\def \tikzexternallastkey {385D49C4C8E1131FF469AA888057E696}%
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