où $f_n$ est une mode propre du système, $\omega_n$ sa pulsation propre et $\lambda_n$ sa longeur d'onde propre.
\subsubsection{Conditions aux bords}
La vitesse de propagation $u = 6$ \si{\metre\per\second} sur tout le domaine.
Ici est simulée une condition harmonique au bord gauche : $f(0,t) = A\sin{\omega t}$, avec $\omega = 5$ \si{\radian\per\second}.
\paragraph{Bord fixe à droite.}\label{fixe}
Dans le cas où le bord droite est fixe, ceci peut être intérpetré comme une intérface où l'onde passe
du milieu étudié à un milieu d'impédance infinie, ainsi l'onde est totalement réfléchie. La partie réfléchie
est une onde rétrograde avec phase $\phi = \pi$ \cite{ref4}. Cet onde se superpose à l'onde progressive crée
par excitation du bord gauche, engendrant un phénomène d'intérference dont les effets peuvent être observés
sur le graphe en Figure \ref{}, obtenu par simulation numérique. Sur ce graphe est possible d'observer l'évolution temporelle de $f(x,t)$ en tout point
$x \in [0,L]$.
%TODO inserire grafici f(x,t) con L=20 uno con t_fin basso e l'altro con t_fin alto
\begin{figure}[h]
\hspace{-0.05\textwidth}
\begin{subfigure}{0.49\textwidth}
\resizebox{\textwidth}{!}{
\input{graphs/fL20tlow.tex} % HERE
}
\end{subfigure}
\hspace{0.02\textwidth}
\begin{subfigure}{0.49\textwidth}
\resizebox{\textwidth}{!}{
\input{graphs/fL20thigh.tex} % HERE
}
\end{subfigure}
\end{figure}
Sur ce graphe il est possible d'observer un pattern de superposition,
où les tâches bleus correspondent aux creux et les tâches jaunes
aux pics. La pente qui délimite inférieurement ce pattern est due au
fait que l'onde rétrograde doit completer un démi-transit à la vitesse $u = 6$ \si{\metre\per\second}.
Cette pente est en effet de même valeur que celle qu'on peut observer
pour la propagation de l'onde progressive au bébut de la simulation.
La même pente est observable dans le pattern de superposition,
approximable par la ligne qui lies un set de tâches (jaunes ou bleus)
sur une même diagonale. Il est possible aussi d'observer que la longuer d'onde
(tâche bleue plus jaune) change lorsque l'on
observe le patter de superposition, ici elle correspond visiblement à une des longeures d'onde
propres apparaissant en (\ref{propres}).
Une dérnière observation intéressante sur le graphe \ref{} est le fait que les noeuds,
obsevables comme étant les points où $f(x,t) = 0$ entre un creux et un pic, restent en une première approximation fixes dans le temps.
Ceci est en effet une conséquence du fait que la superposition d'une onde progressive
et rétrograde de même fréquences donne lieu
à une onde stationnaire, caractérisée physiquement par des noeuds fixes dans le temps \cite{ref4}.
De plus l'amplitude de l'onde stationnaire correspond
au double de l'amplitude d'une onde individuelle (voir Figure \ref{}),
car comme la réflexion est parfaite l'onde rétrograde a même amplitude de celle
progressive.
%TODO inserisci grafico f(x,t_1) con bordo fisso dove non c'è stato ancora riflessione e sovrapponilo a quello di f(x,t_2) a bordo fisso con
%riflessione, per fare vedere che normalmente la superposizione da un'ampiezza dippia
Sur le graphe en Figure \ref{} il est possible d'observer que le pattern
de superposition ne reste pas sur tout le temps de simulation.
En observant les résultat pour des longuer $L$
du domaine différentes (voir Figures \ref{} et \ref{}),
on en déduit que la permanence de ce pattern dépend de cette longuer.
En effet, matématiquement la longuer d'onde produite par l'excitation
à gauche est donnée par $\lambda_e = \frac{2\pi u}{\omega} \approx 7.54$
\si{\metre} alors que la longuer d'onde observable lors de la superposition correspond
à une des longeurs d'onde propre du système comme
donnée en (\ref{propres}) $\lambda_n = \frac{2L}{n}$.
Lorsque les deux longeures d'ondes ne correspondent, le phénomène de superposition
n'est pas stable (voir graphe \ref{}). Dans le cas où $L$ est un multiple entier de $\lambda_e$ ($L = n\lambda_e$)
il existe un $n$ tel que $\lambda_e = \lambda_n$
et on observe en effet sur le graphe en Figure \ref{} que le pattern de superposition
ne subit pas de destruction pour un temps de simulation assez
long, il peut être donc approximé à un phénomène de résonance parfait.
Au contraire, dans le cas où la longeur $L = (n + 1/2)$ le phénomène
de superposition dure moins de temps, par êxemple en figure
\ref{} il est possible d'observer qu'il dure un seul transit, et il est possible
aussi d'observer un phénomène de destruction totale.
%TODO inserisci grafico f(x,t) con i due L diversi scelti, quello perfetto di risonanza e quello con sfasamento e distruzione perfetta
\begin{figure}[h]
\hspace{-0.05\textwidth}
\begin{subfigure}{0.49\textwidth}
\resizebox{\textwidth}{!}{
\input{graphs/fLConstructive.tex}
}
\end{subfigure}
\hspace{0.02\textwidth}
\begin{subfigure}{0.49\textwidth}
\resizebox{\textwidth}{!}{
\input{graphs/fLDestructive.tex}
}
\end{subfigure}
\end{figure}
\paragraph{Bord à droite libre.}
Dans le cas où le bord droit n'est pas fixe mais est entrainée par le mouvement du milieu de propagation
de l'onde, il est possible d'observer aussi un pattern de superposition comme dans le cas précedent
(voir Figure \ref{}), mais dans ce cas, comme la condition de bord n'est pas homogène, la longeur d'onde
propre $\lambda_n$ ne peut pas être observée. De plus, en observant le graphe de $f(L,t)$ en Figure
\ref{} il est possible d'observer que l'amplitude des oscilations au bords droite change périodiquement
mais de façon aléatoire. La période décrite par ce graphe est un transit entier, comme il est possible
d'observer en Figure \ref{}. Comme l'amplification est caotique, il est sensé de penser
qu'un phénomène de résonance ne peut pas être observé pour une condition de bord de ce type.
%TODO inserire per il caso bordo destro libero grafico f(x,t) e f(L,t)
\begin{figure}[h]
\hspace{-0.05\textwidth}
\begin{subfigure}{0.49\textwidth}
\resizebox{\textwidth}{!}{
\input{graphs/free.tex}
}
\end{subfigure}
\hspace{0.02\textwidth}
\begin{subfigure}{0.49\textwidth}
\resizebox{\textwidth}{!}{
\input{graphs/freexL.tex}
}
\end{subfigure}
\end{figure}
\paragraph{Sortie de l'onde à droite.}
Dans le cas où l'onde ``sort'' par le bord droite, aucune reflexion d'onde
devrait apparaitre et seule une onde progressive se propage dans le milieu étudié.
Par simulation numérique l'on obtien le graphe \ref{} qui montre bien ceci.
En effet les creux et les pics se propagent dans une seule direction à une vitesse
de propagation constate représentée dans ce dernier graphe par la pente
de la diagonale décrite par les creux ou les pics.
\begin{figure}[h]
\hspace{-0.05\textwidth}
\begin{subfigure}{0.49\textwidth}
\resizebox{\textwidth}{!}{
\input{graphs/sortie.tex}
}
\end{subfigure}
\hspace{0.02\textwidth}
\begin{subfigure}{0.49\textwidth}
\resizebox{\textwidth}{!}{
\input{graphs/convtest.tex}
}
\end{subfigure}
\end{figure}
\paragraph{Test de convergence}
Pour finir l'on test la convergence de la solution numérique $f(x,t)$ en $x = 5$ \si{\metre} et $t = 1.5$ \si{\second}.
Pour faire cela, l'on défini d'abord le paramètre $\beta_{CFL} = u\frac{\Delta t}{\Delta x}$ apparaissant dans l'équation (\ref{A}).
Comme montré en classe \cite{ref1}, lorsque ce paramètre est tel que $\beta_{CFL} \leq 1$, le schéma numérique décrit
par l'équation \ref{A} reste stable. Le but est donc de le garder constant et plus petit ou égale à 1, et de faire un étude de convergence
de $f(5,1.5)$ sur $\Delta t$ en modifiant de conséquence $\Delta x$. L'étude de convergence est fait en prénant la différence de $f(5,1.5)$
d'une valeur de référence prise pour une discretisation assez fine.
%TODO inserire grafico test di convergenza specifica il valore di beta_CFL nel caption
Le graphe en Figure \ref{} illustre la convergence en $\Delta t$ du schéma numérique à $\beta_{CFL} = 1$.
Il est possible d'observer sur ce graphe, que le schéma numérique converge pour ce $\beta_{CFL}$
à l'ordre $1.4$ à peu prés.
\subsubsection{Modes propres et résonnance}
Il est intéressant maintenant de simuler une excitation de type $f(0,t) = A\sin{\omega t}$ sur une certaine plage $\omega$,
avec une condition de bord fixe à droite.
En définissant l'énérgie de l'onde comme $E(t) = \int \limits_0^L f^2(x,t) dx$, on étudie la fonction suivante :
L. VILLARD, Cours de Physique Numérique pour physiciens, Faculté des Sciences de Base, Section de Physique, Ecole Polytecnique Fédérale de Lausanne.
\bibitem{ref2}
L. VILLARD, PHYSIQUE NUMERIQUE I - II ,Swiss Plasma Center, Faculté des Sciences de Base, Section de Physique, Ecole Polytecnique Fédérale de Lausanne.
\bibitem{ref3}
ECOLE POLYTECNIQUE FEDERALE DE LAUSANNE, Semestre de printemps 2019, Physique Numérique I - II - Exercice 5.
\bibitem{ref4}
HARALD, Brune, Cours de Physique IV, Faculté des Sciences de Base, Section de Physique, Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne.