Dans les rapport précedents l'itérêt était d'étudier la convergence et la stabilitée de différentes schémas d'intégration numérique, pour
en tester la qualité et les différentes caractéristiques. Les resultats précedents nous on permit de déduire par exemple,
que le schéma de Runge-Kutta est assez bon et peut être implementé pour obtenir un ordre de convergence assez élévé.
Comme en physique les problèmes plus intéressantes ne peuvent pas être étudiés de façons purement analytique, un schéma numérique
performat est strictement nécessaire pour l'étude de ces problèmes. Dans le rapport qui suit sera étudié un problème de gravitation dans lequel trois
objets massiques interagissent entre eux. Le problème ne peut pas être étudié analytiquement, et donc le Schéma de Runge-Kutta d'ordre 4 sera implementé pour l'utiliser dans l'étude de ce problème. Le rapport en soit illustre différentes façons d'exploiter un tel schéma numérique.
\section{Analyse du problème}
\subsection{Description du problème}
L'intérêt est porté sur le mouvement de N ($N \leq 3$) corps soumis aux forces de gravitation.
Comme le nombre d'objets est maximum 3, ils sont tous coplanaires, et on simplifie le problème en supposant qu'il sont contraint à
bouger sur un plan bidimensionnel. Ainsi on s'intèresse donc seulement aux coordonnée planaires $xOy$ du système.
Les forces agissantes dans le système sont :
\begin{itemize}
\item La force gravitationnelle exércée par le corps j sur le corps i :
où T représente la Terre, et $j$ l'objet subissant la force de trainée, et où
\begin{equation*}
\rho(r)=\rho_0 \exp{-(r-R_T)/\lambda}
\end{equation*}
\end{itemize}
Dans ces rélation $G= 6.674 \cdot 10^{-11}$ \si{\metre^3 \kilogram^{-1} \second^{-2}} est la constante de gravitation universelle, $\rho_0$
la valeur de $\rho(r)$ au niveau de la mer, $R_T = 6.3781\cdot 10^6$ le rayon de la Terre, $\lambda$ une épaisseur caractéristique, $S$ la surface
de section de l'objet j, $C_x$ le coefficient de traînée.
\subsection{Horbite régulière d'un objet autour de la terre}\label{horbitenormale}
Ici l'intérêt est celui de connaitre quelles doivent être les position et vitesse initiales d'un objet qui veut garder une horbite constante autour de la terre à
une distance minimale $h = 10000$ \si{\metre} de la surface de la Terre, et donc à $h_{min} = R_T + h$ du centre de la Terre. Ceci en connaissant
le module de la vitesse initiale $v_0$ et la distance initiale du centre de la Terre $r_0$.
Ici on suppose que la masse de l'objet $m_r \ll m_T$ où $m_T$ est la masse de la terre, donc l'action de gravitation subit par la Terre de la part de l'objet est négligeable. Dans ce cas la force de traînées n'est pas considérée, donc par conservation de l'énérgie mécanique la rélation suivante est obtenue :
Une ultérieure supposition est que l'objet, bougeant sur une horbite elliptique, a une vitesse exactement perpendiculaire au rayon liant l'objet au centre de la Terre. Par la conservation du moment angulaire la rélation suivante est détérminé :
où $\theta$ est l'angle entre la vitesse initiale $\vec{v_0}$ et le vecteur de position initiale $\vec{r_0}$ de l'objet.
L'équation (\ref{momang}) implique donc
\begin{equation}\label{teta}
\theta = \arcsin{\frac{h_{min}v_{max}}{r_0v_0}}
\end{equation}
Par le resultat en équation (\ref{teta}) il peut être déduit que le vecteur de vitesse initiale, si celui de position initiale $\vec{r_0}=(0,r_0)$, est donné par :
\begin{equation}\label{v0}
\vec{v_0} = v_0
\begin{pmatrix}
\sin{\theta} \\
-\cos{\theta}
\end{pmatrix}
\end{equation}
Voir Figure (\ref{}).
\subsection{Système Terre-Lune}\label{terrelune}
Ici, il est intéressant de considèrer le système binaire Terre-Lune, telle qu'il reste en mouvement circulaire uniforme par rapport au centre de gravité G.
Dans le reférentiel inertiel qui voit son origine en G, par définition du centre de gravité, les position de la Terre et de la Lune $\vec{r_T}$ et $\vec{r_L}$ sont liés par la rélation :
Ensuite pour détérminer la vitesse angulaire $\Omega$ du système il suffit d'appliquer le deuxième principe de newton en considèrant l'accéleration angulaire
$a_{a,\alpha} =\omega_{\alpha}^2r_{\alpha}$ et que la vitesse angulaire $\omega_\alpha = \Omega$ pour les deux corps $\alpha =$ T,L.
De ce resultat les modules des vitesses $v_T$ et $v_L$ respectivement de la Terre et de la Lune, qui sont opposée pour que la distance $d = cste$, sont données par :
\begin{equation}\label{vitesses}
v_T = \Omega r_T \qquad v_L = \Omega r_L
\end{equation}
Pour finir, une période de révolution $T$ pour ce système est donné par la rélation $T = 2\pi/\Omega$.
\subsection{Points de Lagrange}
\begin{minipage}{\textwidth}
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
Comme montré en cours, dans un {\it Système à 3 corps limité}, c'est à dire dans un système
où la masse du troisième corps $m_3 \ll m_1,\, m_2$, existent des point d'équilibre par rapports
aux deux premièrs corps, pourlequels si l'on y place le corps
de masse plus basse, ceci reste dans ce point si l'on suit le référentiel binaire des corps 1 et 2.
Ces points sont appelés Points de Lagrange, dont deux sont caractérisées par le fait que le système tertiaire lorsque
le troisème corps est placé en un de ces points, décrit un triangle équilateral.
Pour le système Terre Lune donc, en se plaçant dans le référentiel R' tournant avec vitesse angulaire $\Omega$ (ici on prend les constantes de la séction précedente) et centré en G, les deux points de Lagranges peuvent être déduit par une simple application du théorème de pitaghore.
\end{minipage}
\hspace{0.02\textwidth}
\begin{minipage}{0.48\textwidth}
\includegraphics[scale=0.8]{schema_lagrange.PNG}
\captionof{figure}{Schématisation géométrique pour l'étude du {\it Point de Lagrange} \cite{ref1}}
\label{schemalagrange}
\end{minipage}
\end{minipage}
Le premier point de Lagrange est donné, dans le referentiel R', par la rélation suivante :
\begin{equation}\label{lagrange}
\vec{P_0} =
\begin{pmatrix}
d(\frac{1}{2} - \frac{m_L}{m_T + m_L})\\
\\
d\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{pmatrix}
\end{equation}
où $d$ est la distance Terre-Lune.
Pour lancer une simulation correctement il faut que le corps situé en $P_0$ tourne correctement avec le système binaire Terre-Lune.
Il faut donc que sa vitesse initiale soit $\vec{v_0} = \Omega r \vec{e_\theta}$, où $\Omega$ est la vitesse angulaire du système, et
$r$ la norme de $\vec{P_0}$ (voir Figure (\ref{schemalagrange})).
$r$ est simplement donné par la rélation suivante :
\begin{equation}\label{rlagrange}
r = \sqrt{d^2(\frac{1}{2} - \frac{m_L}{m_T + m_L})^2 +d^2\frac{3}{4}} = d \sqrt{(\frac{m_L}{m_T+m_L})^2 - \frac{m_L}{m_T+m_L} +1}
\end{equation}
Pour finir, il est necéssaire de connaitre l'angle $\theta$ entre l'orizontale et $\vec{P_0}$ pour en déduire la direction $\vec{e_\theta}$.
Où $y_1$ et $y_2$ sont respectivement les résultat de la simulation pour un pas de temps où deux demi-pas de temps $dt$ et donc $|y_1 - y_2|$ est l'erreur sur entre les deux.
{\bf Schema(} $dt_{old}$ {\bf)} modifie $(y_1,y_2)$ pour que les deux soyent les résultat de la simulation pour un nouveu $dt_{old}$ et deux $dt_{old}$.
$n$ est l'ordre de convergence du schéma numérique utilisé pour la simulation. $dt_{old}$ et $dt_{new}$ sont respectivement le pas de temps avant et après modification. En fin $y$ est la valeur prise par la mesuration simulée pour ce point de la simulation.
\section{Simulations Numériques}
Le schéma numérique utilisé dans les simulations est celui de Runge-Kutta d'ordre 4, qui converge en effet à l'ordre 4.
En première étude il est interéssant de verifier par une simulation numérique sur les donnée trouvée en section \ref{horbitenormale}, que les conditions
imposées soyents respéctées.
Pour commencer, une simulation de la trajectoire de l'Apollo 13 est lancée avec le centre de la terre situé en origine.
La masse de l'Apollo est $m_A = 5809$\si{\kilogram}, à un distance verticale $r_0 = 3.14159\cdot 10^8$\si{\metre} et une vitesse initiale de module $v_0 = 1.2 \cdot 10^3$\si{\metre\per\second} dont le vecteur est donné par les relation (\ref{v0}) et (\ref{teta}). Le temps totale de simulation est
$t_{fin} = 2$ jours et la masse de la terre est $m_T = 5.972 \cdot 10^{22}$\si{\kilogram}.
%TODO inserire grafico Orbita
+\begin{figure}[h]
+\centering
+\resizebox{!}{0.6\textwidth}{
+\input{graphs/ex1/traj.tex}
+}
+\caption{Trajectorie élliptique de l'{\it Apollo 13}}
+\label{ellipse}
+\end{figure}
+
+% Giusto dei template
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\begin{comment}
+
+\begin{wrapfigure}{r}{0.6\textwidth}
+\centering
+\resizebox{!}{0.6\textwidth}{
+\input{graphs/ex1/traj.tex}
+}
+\end{wrapfigure}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+\begin{figure}
+\hspace{-0.1\textwidth}
+\begin{subfigure}{0.52\textwidth}
+\resizebox{!}{0.9\textwidth}{
+}
+\end{subfigure}
+\hspace{0.05\textwidth}
+\begin{subfigure}{0.52\textwidth}
+\resizebox{!}{0.9\textwidth}{
+}
+\end{subfigure}
+\end{figure}
+
+\end{comment}
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
Le graphe en Figure (\ref{}) montre que la trajectoire simulée est en effet elliptique, en tout respect des lois de Kepler.
Le graphe montre aussi que 2 jours ne sont pas assez pour parcurir une révolution complète, et de plus comme l'Apollo s'éloigne de la Terre,
sa vitesse dinimue, et il prendra plus de temps pour parcourir le reste de la trajectoire.
Ensuite un étude de convergence est porté sur l'erreur des valeurs de $h_{min}$ et $v_{max}$ (donnée par la rélation (\ref{vmax})) simulés par
rapport à celles cherchés analityquement, ceci en diminuant le pas de temps.
%TODO inserire grafico Convergenze
+%
+\begin{figure}[h]
+\centering
+\resizebox{!}{0.6\textwidth}{
+\input{graphs/ex1/convdt.tex}
+}
+\caption{Convérgence en $\Delta t$, pas de temps {\bf fixe}}
+\label{convdt}
+\end{figure}
Les graphes en Figure (\ref{}) et (\ref{}) montrent que le schéma converge en $dt$ et de plus les erreus sur les valeurs convergent à 0.
L'ordre de convergence, qui est donné par la pente de la droite de convergence en graphe loglog, est en effet 4, qui est l'ordre de convergence
effectif du Schéma utilisé.
Pour finir la même simulation est lancée avec un pas de temps adaptif, est un étude de convergence sur la précision $\epsilon$ est mené.
%TODO inserire grafico convergenza su epsilon
+%
+\begin{figure}[h]
+\centering
+\resizebox{!}{0.6\textwidth}{
+\input{graphs/ex1/conveps.tex}
+}
+\caption{Convérgence en $\epsilon$, pas de temps {\bf adaptif}}
+\label{conveps}
+\end{figure}
L'ordre de convergence de Runge-Kutta sur $\epsilon$ pour un temps adaptif est extrapolé par un fit linéaire sur la courbe obetnue en Figure (\ref{}), que dans ce cas revele que le schéma de Runge-Kutta 4 converge sur $\epsilon$ à l'ordre 1. En effet, l'ordre 4 est du schéma est tel seulment si l'étude de convergence est mené
sur dt lorsque ceci est constant pour une simple simulation. De cette affirmation l'on pourrait imaginer, contreintuitivement, qu'il est mieux d'utiliser un pas de temps fixe, mais il reste à comparer encore différentes caractéristiques des deux méthode .
Un autre étude interessant en effet, est celui de comparer le nombre de pas de temps utilisé dans le pas de temps adaptif et ceux pour un pas de temps fixe, pour une précision voulue.
De plus, il est intéréssant de voir comment varie le pas de temps en fonction de la distance que l'Apollo 13 a par rapport à la Terre.
%TODO inserire grafico differenza passi di tempo
+%
+\begin{figure}[h]
+\centering
+\resizebox{!}{0.6\textwidth}{
+\input{graphs/ex1/compare.tex}
+}
+\caption{Comparation du nombre de pas de temps entre fixe et adaptif}
+\label{compare}
+\end{figure}
Le graphe (\ref{}) montre le nombre de pas de temps effectués dans une simulations en fonction de la précision choisie sur une mésuration de propre choix. Dans ce cas la précision correspond à l'incértitude sur la valeur effective de $h_{min}$. En confrontant les deux courbes, il est possible de noter que pour une même valeur de précision vulue, le schéma à $dt$ fixe (voir graphe (\ref{})) a besoin de plus de pas de temps par rapport à celui à $dt$ adaptif (voir graphe (\ref{})), pour un ratio $\frac{n_{pasfixe}}{n_{pasadaptif}} \approx 10^2$
non négligéable si l'on nécéssite d'optimiser en nombre d'opérations.
%TODO inserire grafico dt adattativo in fuzione della distanza
+\begin{figure}[h]
+\centering
+\resizebox{!}{0.6\textwidth}{
+\input{graphs/ex1/dtevo.tex}
+}
+\caption{Pas de temps $\Delta t$ en fonction de la distance du centre de la terre $r$}
+\label{dtevo}
+\end{figure}
En fin, comme c'est possible de voir sur le graphe en Figure (\ref{}), le $dt$ est très petit lorsque la distance Terre-Apollo est petite. Ceci est du au fait que c'est en ces points que l'Apollo subit le plus d'accèlèration, et que donc si l'on prend un pas de temps lègèrement plus grands le resultat change beaucoup.
Comme en chaque pas de temps l'objet simulé par vers la tangente de la trajectoire, c'est en effet dans les point où cette dernière change le plus que le pas de temps doit rester petit pour que une certaine précision soit respéctée.
-
-
Dans les simulations qui suivent, le schéma numérique de Runge-Kutta sera utilisé avec un pas de temps $dt$ adaptif, vu que cela permet
d'épargner en temps et espace sur la simulation.
\subsection{Atterissage}\label{atterissage}
Pour cette simulation la force de trianée de l'air est prise en considération et agit sur Apollo 13 qui va donc atterir sur Terre sous l'action de freinage de cette force. Le but étant de trouver une direction initiale de l'Apollo pour laquelle ce dernier puisse atterir mais en subissant une accèlèration maximale qui soit le moindre possible. En donné il y a: $\rho_0 = 1.2$\si{\kilogram\per\metre^3}, $\lambda = 7238.2$\si{\metre}, le diamètre de l'Apollo, par lequel est mésurée sa surface, est $d = 3.9$\si{\metre}. Enfin $C_x = 0.3$. Ainsi la force de trainée de l'air sur l'Apollo est calculée par la rélation (\ref{friction}).
Dans un premier temps, la même vitesse initiale que celle prise dans la section précédente est prise en considération pour lancer une simulation.
La trajectoire de l'Apollo est illustré sur le graphe en Figure (\ref{}), et il peut être observé que la force de trainée est assez ample pour faire tomber à pique
l'Apollo vers le centre de la terre. En effet il peut-être observé que la trajectoire converge vers l'origine, où se trouve le centre de la Terre.
%TODO aggiungere considerazione sull'accellerazione massimale e potenza dell'attrito
%TODO studio di convergenza
+\begin{figure}[h]
+\centering
+\resizebox{!}{0.6\textwidth}{
+\input{graphs/ex2/conv.tex}
+}
+\caption{Étude de convérgence sur l'accéleration maximale}
+\label{convex2}
+\end{figure}
Dans un deuxième temps un étude de convergence en $\epsilon$ est mené sur le limite de convergence de l'accélération maximale $a_{max}$ subite par l'Apollo, et sur la puissance maximale de la force de trainée $P_{tr}$. Les graphes (\ref{}) et (\ref{}) montrent que cette limite existe, et de nouveau que l'ordre de convergence du schéma en $\epsilon$ est 1. Ces limites de convergence sont $a_{max} = 221.863$\si{\metre\per\second^2}
et $P_{tr} = 9.67 \cdot 10^9$\si{\watt}, qui sont énormes. Le but est donc de trouver les conditions qui minimisent ces valeurs.
En effet dans un troisième temps, plusieures simulations pour des angles $\theta$ différents injéctés en (\ref{v0}) sont lancées. De ces simulation
l'acceleration maximale est collectée et progetée sur un graphe en fonction d'un $\Delta\theta$ qui corréspond à la distance angulaire de l'angle $\theta$
défini en (\ref{teta}). Ceci pour observer comment l'accélération maximale se comporte lorsque l'angle s'éloingne de celui calculé analytiquement sous l'hypothès de l'absence de trainée. Le graphe qui suit illustre cette courbe :
%TODO inserire grafico accellerazione massimale e potenza
+%
+\begin{figure}[h]
+\centering
+\resizebox{!}{0.6\textwidth}{
+\input{graphs/ex2/ampio.tex}
+}
+\caption{Spectre de l'accéleration maximale en fonction de la déviation de la diréction de vitesse $\Delta \alpha$}
+\label{ampioex2}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[h]
+\hspace{-0.1\textwidth}
+\begin{subfigure}{0.52\textwidth}
+\resizebox{!}{0.9\textwidth}{
+\input{graphs/ex2/prec.tex}
+}
+\caption{Spectre plus precis de l'accéleration maximale}
+\label{precex2}
+\end{subfigure}
+\hspace{0.05\textwidth}
+\begin{subfigure}{0.52\textwidth}
+\resizebox{!}{0.9\textwidth}{
+\input{graphs/ex2/abs.tex}
+}
+\caption{Domaine precis pour lequel l'accéleration maximale est minimisée}
+\label{absex2}
+\end{subfigure}
+\end{figure}
L'analyse du graphe en Figure (\ref{}) aide dans la recherche de l'angle optimale pour la minimisation de l'accélération maximale $a_{max}$ subite par l'Apollo, et donc par les astronautes à son intérieur. Cette courbe tends à 0 pour des angles beaucoup plus amples que $\theta$, mais ceci parce-que pour ces angles
l'Apollo ne rentre jamais dans l'atmosphère terrestre. Le minimum de $a_{max}$ est à chercher donc à l'intérieur du domaine où $a_{max}$ n'approche pas 0. Le graphe montre qu'en effet existe un minimum dans ce domaine, et il est extrapolé par un fit quadratique dans la région intéréssée.
L'angle pour le minimum de $a_{max}$ est ainsi trouvé pour un $\Delta\theta = 5.445\cdot 10^{-4}$\si{\radian} et ici $a_{max} = 65.2549$\si{\metre\per\second^2}. Il est intéressant de noter que le meilleur scénario pour l'attérissage de l'Apollo est donné par une variation de l'angle $\theta$ presque impérceptible. L'ordre de grandeur de $\Delta\theta$ est en effet très petit pour un angle en radians.
Une autre observation intéressante est portée sur le graphe (\ref{}), sur lequel il peut être observé que le minimum globale se trouve avant la prèmière bosse. Les bosse corréespondent aux $\Delta\theta$ pour lesquels l'Apollo fait plusieurs tours autour de la terre (idéalement un tour par bosse).
Ceci implique que contre-intuitivement, l'angle qui minimise $a_{max}$ permet à l'Apollo de parcourir un seul tour autour de la Terre.
\subsection{Terre-Lune}
Pour tester les condition initiales sur les corps Terre et Lune trouvées en section \ref{terrelune}, une simulation avec ces conditions est lancée.
La masse de la lune est $m_L =7.3477 \cdot 10^{22}$\si{\kilogram} et la distance Terre-Lune $d = 3.84748\cdot10^8$\si{\metre}.
%TODO inserire grafico terraluna
+\begin{figure}[h]
+\centering
+\resizebox{!}{0.6\textwidth}{
+\input{graphs/ex3/traj.tex}
+}
+\caption{Trajectorie du système terre-lune dans le référentiel du centre de masse}
+\label{trajex3}
+\end{figure}
Le graphe en Figure (\ref{}) montre la trjectoire des deux corps dans les référentiel inertiel ayant pour origine le centre de masse G du système.
L'orbite décrite par les deux corps est en effet circulaire, et les graphes qui suivent
montrent que les gradeur comme $d$ (voir graphe (\ref{})) ou l'énérgie mécanique du système $E_m$ (voir graphe (\ref{})) ou la quantité de mouvement
$p$ (voir graphe), restent constants. En effet
ces valeurs oscillents, mais l'amplitude de l'oscillation est d'un ordre de grandeur assez petit pour que les variations sur $d$ et $E_m$ soyent
négligéable. Le schéma numérique est donc stable.
% TODO inserire grafici conservazione di d et E_m e quantità di moto
+% TODO Da fare in matlab sti grafici
+\begin{figure}[h]
+\centering
+\resizebox{!}{0.6\textwidth}{
+\input{graphs/ex3/momentum.tex}
+}
+\caption{Quantité de mouvement du système en fonction du temps}
+\label{momentum_ex3}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[h]
+\hspace{-0.1\textwidth}
+\begin{subfigure}{0.52\textwidth}
+\resizebox{!}{0.9\textwidth}{
+\input{graphs/ex3/energy.tex}
+}
+\caption{Energie du système en fonction du temps}
+\label{energy_ex3}
+\end{subfigure}
+\hspace{0.05\textwidth}
+\begin{subfigure}{0.52\textwidth}
+\resizebox{!}{0.9\textwidth}{
+\input{graphs/ex3/distance.tex}
+}
+\caption{Distance terre-lune en fonction du temps}
+\label{distance_ex3}
+\end{subfigure}
+\end{figure}
\subsection{Apollo-Terre-Lune}
Maintenant que le système binaire Terre-Lune à été implementé numériquement et testé et physiquement cohérent, il est intéressant d'observer comment la présence de la lune et la rotation du système binaire influence l'horbite de l'Apollo. Pour ce faire, le système est étudié dans le référentiel inertiel du centre de masse G, et le système Terre-Lune est soumis aux mêmes conditions initiales que dans la section précedente.
L'Apollo est positionné à $r_0 = 3.14159\cdot 10^8$\si{\metre} de la Terre, entre cette dérnière et la lune. Sa vitesse initiale reste la même que définie en
(\ref{v0}), elle a juste subit une rotation pour que l'angle $\theta$ entre $\vec{v_0}$ et le vecteur liant Terre et Apollo soit celui défini en (\ref{teta}).
Dans un premier temps, l'action de la force de trainée est négligée est arrétée à un temps $t_{fin} = 2$ jours.
%TODO grafico che mostra con la prima simulazione che h_min non è più rispettato
-
+\begin{figure}[h]
+\hspace{-0.1\textwidth}
+\begin{subfigure}{0.52\textwidth}
+\resizebox{!}{0.9\textwidth}{
+\input{graphs/ex4/hmin/init_traj.tex}
+}
+\caption{Trajéctoire sans déviation de la vitesse par rapport à (\ref{traj_ellipt})}
+\label{zero_deviation}
+\end{subfigure}
+\hspace{0.05\textwidth}
+\begin{subfigure}{0.52\textwidth}
+\resizebox{!}{0.9\textwidth}{
+\input{graphs/ex4/hmin/traj.tex}
+}
+\caption{Trajéctoire avec la bonne déviation de la vitesse par rapport à (\ref{traj_ellipt})}
+\label{right_hmin_deviation}
+\end{subfigure}
+\end{figure}
+
Le graphe en Figure (\ref{}) montre que pour les conditions analytiquement imposée en section \ref{horbitenormale}, la trjectoirne de Apollo et $h_{min}$ ne sont plus les mêmes. Ceci est du à l'influence de la Lune sur l'Apollo, qui n'est donc pas négligéable.
%TODO inserire grafico hmin
+\begin{figure}[h]
+\centering
+\resizebox{!}{0.6\textwidth}{
+\input{graphs/ex4/hmin/ampio.tex}
+}
+\caption{Spectre de l'hauteur minimale en fonction de la déviation de la diréction de vitesse initiale $\Delta \alpha$}
+\label{hmin_ampio}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[h]
+\hspace{-0.1\textwidth}
+\begin{subfigure}{0.52\textwidth}
+\resizebox{!}{0.9\textwidth}{
+\input{graphs/ex4/hmin/plus_better.tex}
+}
+\caption{TODO}
+\label{hmin_better}
+\end{subfigure}
+\hspace{0.05\textwidth}
+\begin{subfigure}{0.52\textwidth}
+\resizebox{!}{0.9\textwidth}{
+\input{graphs/ex4/hmin/plus.tex}
+}
+\caption{TODO}
+\label{hmin_abs}
+\end{subfigure}
+\end{figure}
Or il est intéressant de trouver pour quel nouveau $\theta$ le $h_{min}$ voulu pour l'horbite de l'Apollo est atteint. En faisant varier l'angle $\theta$ de différents $\Delta\theta \in [-2 , 2]$, il est possibler d'étudier
comment varie l'erreur de $h_{min}$ sur celui cherché de $10000$\si{\metre} en fonction de $\theta$.
Pour allégérer la notation, ici $h_{min}$ est défini comme la distance minimale entre la trajectoire de l'Apollo et la surface de la Terre.
En faisant ainsi, peut être observée sur le graphe (\ref{}) l'apparition d'un domaine où l'erreur sur $h_{min}$ tends vers des valuers rélativement petites. Dans ce domaire $h_{min}$ peut être nul, dans le cas où l'Apollo tombe sur Terre, mais aussi proche de la valeur cherchée. En relançant une serie de simulations
pour $\theta$ dans ce domaine, avec une meilleures précision, un angle pour lequel $h_{min} = (10000 \pm{100})$\si{\metre} est cherché
(voir Figure (\ref{})).
%TODO inserire grafico amax
+\begin{figure}[h]
+\centering
+\resizebox{!}{0.6\textwidth}{
+\input{graphs/ex4/hmin/ampio.tex}
+}
+\caption{Spectre de l'hauteur minimale en fonction de la déviation de la diréction de vitesse initiale $\Delta \alpha$}
+\label{amax_ampio}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[h]
+\hspace{-0.1\textwidth}
+\begin{subfigure}{0.52\textwidth}
+\resizebox{!}{0.9\textwidth}{
+\input{graphs/ex4/amax/plus_prec.tex}
+}
+\caption{TODO}
+\label{amax_prec}
+\end{subfigure}
+\hspace{0.05\textwidth}
+\begin{subfigure}{0.52\textwidth}
+\resizebox{!}{0.9\textwidth}{
+\input{graphs/ex4/amax/plus.tex}
+}
+\caption{TODO}
+\label{amax_abs}
+\end{subfigure}
+\end{figure}
Deux angles qui optimisent le $h_{min}$ sont trouvées pour $\Delta\theta$ positif $\Delta\theta_+ = 0.0174$\si{\radian} $\Delta\theta_- = -0.3646$\si{\radian}. $\theta = 0.1895$\si{\radian} ce qui implique que les angles optimaux sont $\theta_1 = \theta + \Delta\theta_+ = 0.2069$\si{\radian} et
Pour la suite la force de trainée est de nouveau prise en considération. Ici le même étude mené sur le l'accélération maximale en section \ref{atterissage}
est en tenant compte de l'influence de la Lune. Le graphe en Figure (\ref{}) montre la courbe $a_{max}$ en fonction de $\Delta\theta$, et le $\Delta\theta$
optimale est cherché de la même façon. Ils existent deux angles optimale de ce type, un pour lequel l'Apollo part dans le sens opposé à la vitesse de la Terre, et l'autre dans le son même sens. Pour le premier cas $\Delta\theta_{opt1} = -0.36523$\si{\radian} et $a_{max1} = 65.79$\si{\metre\per\second^2}, pour le deuxième cas
$\Delta\theta_{opt2} = 0.0179$\si{\radian} et $a_{max2} = 64.83$\si{\metre\per\second^2}. De nouveau, l'angle qui minimise l'accèlération maximale diffère de $\theta$ à un ordre très petit.
+\begin{figure}[h]
+\centering
+\resizebox{!}{0.6\textwidth}{
+\input{graphs/ex4/amax/traj.tex}
+}
+\caption{Trajéctoire où vitesse initiale avec l'angle optimale}
+\label{plus_deviation}
+\end{figure}
\subsection{Point de Lagrange}
Pour finir, on décide par sadicité et motifs scientifiques de placer l'Apollo dans le point de Lagrange définit par (\ref{lagrange}) avec une vitesse initiale donnée par la rélation (\ref{eteta}).
Ceci permet d'étudier si en effet la simulation montre que l'objet placé en ce point, lequel possède une masse négligéable par rapport à celle de la
Terre e de la Lune, reste dans le même point. La simulation est lancée pour un temps final $t_{fin}$ d'une année.
%TODO inserire grafico tre punti e quello con il punto spostato
+%
+\begin{figure}[h]
+\hspace{-0.1\textwidth}
+\begin{subfigure}{0.52\textwidth}
+\resizebox{!}{0.9\textwidth}{
+\input{graphs/ex5/fixed.tex}
+}
+\caption{Système répresenté dans un référentiel en suivant la rotation de la terre e de la lune}
+\label{lagrange_fixed}
+\end{subfigure}
+\hspace{0.05\textwidth}
+\begin{subfigure}{0.52\textwidth}
+\resizebox{!}{0.9\textwidth}{
+\input{graphs/ex5/offset1000.tex}
+}
+\caption{Oscillation du troisième corps autour du point de lagrange}
+\label{lagrange_offset}
+\end{subfigure}
+\end{figure}
+
Le graphe (\ref{}) montre les points occupés par les trois corps dans le referentiel R' tournant à vitesse
angulaire $\Omega$ autour de G, c'est à dire le référentiel qui suit le mouvement du système binaire Terre-Lune (pour l'algorithme qui permet de changer de referentiel voir en Section \ref{algo}).
Ces point sont en effet fixes, ce qui montre numériquement que le Point de Lagrange est un point d'équilibre pour un objet de masse négligéable.
Le graphe (\ref{}) montre la trajectoire de l'Apollo dans le référentiel R' si placé à une distance de $\approx 1000$\si{\kilo\metre} du Point de Lagrange. Malgré la long durée de la simulation, il peut être observé que l'Apollo reste sur une horbite singulière mais stable. En effet il reste dans celle que l'on pourrait appeler une {\it plage d'équilibre}, où le corps est contraint à bouger sans pouvoir s'éloigner.
\section{Conclusions}
\section{Annexes}
\subsection{Changement de Référentiel}\label{algo}
De suite est présenté un algorithme permettant de convertir des coordonnée cartésiennes dans un référentiel inertiel R à origine O
dans les cordonnées cartésiennes d'un référentiel non inertiel R' à origine O et tournant à vitesse angulaire constante $\Omega$.
L'algoritme s'applique lorsque le R' et R sont confondus à temps t = 0, en connaissant $\Omega, t$ et $(x,y)$ c'est à dire les coordonnées
que l'on veut convertir.
\begin{tabular}{|l|}
\hline
{\bf Algorithme}\\
\hline
Entrées : $x, y, t, \Omega$ \\
Sortie : $x', y'$ \\
\hline
$r = \sqrt{x^2 + y^2}$
\\
\\
$\;\;${\bf Si} : $y >0$\\
$\qquad \theta = \arccos{\frac{x}{r}}$
\\
$\;\;${\bf Si} : $y \leq 0$\\
$\qquad \theta = 2\pi - \arccos{\frac{x}{r}}$\\
\\
$\alpha = \theta - \Omega t$\\
\\
\hline
$x' = r \cos{\alpha}$
\\
$y' = r \sin{\alpha}$
\\
\hline
\end{tabular}
\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{ref1}
ECOLE POLYTECNIQUE FEDERALE DE LAUSANNE, Semestre d'automne 2018, Physique Numérique I - Exercice 4.
\bibitem{ref2}
L. VILLARD, PHYSIQUE NUMERIQUE I - II ,Swiss Plasma Center, Faculté des Sciences de Base, Section de Physique, Ecole Polytecnique Fédérale de Lausanne.
\bibitem{ref3}
L. VILLARD, Cours de Physique Numérique pour physiciens, Faculté des Sciences de Base, Section de Physique, Ecole Polytecnique Fédérale de Lausanne.