diff --git a/labo/A4/rapport.synctex.gz b/labo/A4/rapport.synctex.gz
index 29f26e3..72df4a2 100644
Binary files a/labo/A4/rapport.synctex.gz and b/labo/A4/rapport.synctex.gz differ
diff --git a/labo/A4/rapport.tex b/labo/A4/rapport.tex
index 4cd1934..f2e325a 100644
--- a/labo/A4/rapport.tex
+++ b/labo/A4/rapport.tex
@@ -1,447 +1,458 @@
\documentclass[a4paper, 12pt,oneside]{article}
%On peut changer "oneside" en "twoside" si on sait que le résultat sera recto-verso.
%Cela influence les marges (pas ici car elles sont identiques à droite et à gauche)
% pour l'inclusion de figures en eps,pdf,jpg,....
\usepackage{graphicx, caption}
\usepackage{gensymb}
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%Marges. Désactiver pour utiliser les valeurs LaTeX par défaut
%\usepackage[top=2.5cm, bottom=1.5cm, left=2cm, right=2cm, showframe]{geometry}
\usepackage[top=2.5cm, bottom=1.5cm, left=2cm, right=2cm]{geometry}
% quelques symboles mathematiques en plus
\usepackage{amsmath}
% chemie
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% quelques symboles mathematiques en plus
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%Pour changer la taille des titres de section et subsection. Ajoutez manuellement les autres styles si besoin.
\makeatletter
\renewcommand{\section}{\@startsection {section}{1}{\z@}%
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{\normalfont\normalsize\bfseries}}
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\makeatletter
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\makeatletter
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/pgfplots/flexible xticklabels from table/.code n args={3}{%
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\pgfplotstablegetcolumn{#2}\of{\coordinate@table}\to\pgfplots@xticklabels
\let\pgfplots@xticklabel=\pgfplots@user@ticklabel@list@x
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% layer definition
layers/my layer set/.define layer set={
background,
main,
foreground
}{
% you could state styles here which should be moved to
% corresponding layers, but that is not necessary here.
% That is why wo don't state anything here
},
% activate the newly created layer set
set layers=my layer set
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%Début du document
\begin{document}
\title{\normalsize{Lab Work Report - Group N$^\circ$\\ XX - Experiment}}
\date{\normalsize{\today}}
\author{\normalsize{Name} 1\and \normalsize{Name 2}}
%Crée la page de titre
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%Ajoute la table des matières
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%Début du rapport à la page suivante
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%En taille de police 12, la commande \large donne une taille de police 14
%On utilise la commande \sffamily pour créer des caractères sans-serif
\begin{center}
\large\textbf{\sffamily Experiment N$^\circ A4$: Oscillations libres et forcées.}\\%
\large\sffamily Group N$^\circ 16$: Ancarola Raffaele, Cincotti Armando\\%
\large\sffamily \today\qquad Dubey Quentin\\%
\end{center}
% Introduction
\section{Introduction}
Certaines équations analytiques se retrouvent souvent dans différents domaines de la
physique, dans le cas du rapport qui suit l'équation d'un oscillateur
harmonique amorti. Ce dernier en effet est étudié en mécanique dans le cadre des
oscillateurs harmoniques, mais trouve un modèle analogue en éléctronique aussi
dans l'implementation des circuit RLC, et dans d'autre domaine. Il est donc souvent utile d'étudier
ces phénomène dans tout type de domaine, car les résultat obtenus peuvent être transportés dans les
domaines analogues où la même équation apparaît. Le but de cette expérience est celui d'étudier
un disque tournant et oscillant, pour vérifier les carctéristiques du système déduites analytiquement
comme effets de résonnance et de battements.
\section{Théorie}
\subsection{Équation différentielle pour un disque tournant}
Dans cette experience le système étudié corréspond à un disque de moment d'inertie $I$ [\si{\kilogram\cdot\metre^2}] connu,
tournant autour de son axe principale passant uniquement par le centre du disque.
Le disque subit un couple $M_{k}$ de la part d'un ressort avec constante de couple de rappel $k$ [\si{\kilogram\cdot\metre^2\per\second^2}]
lorsque le disque tourne d'un angle $\theta$ par rapport à la position d'équilibre du système disque-ressort et donc $M_{k} = -k \theta$.
De plus, dans le système étudié le disque subit un couple d'amortissement magnétique $M_{fr}$ (voir Figure \ref{}) de coéfficient
$N$ \si{\kilogram\cdot\metre^2\per\second} d'où $M_{fr} = -N\dot{\theta}$. De plus, il est possible d'appiquer un moment supplementaire au disque
par une fonction $G(t) = P\sin(\Omega t)$ dépendant du temps.
Ayant que le moment cinétique $L = I\dot{\theta}$, en supposant $I$ constant dans le temps,
d'un bilan des moments de force $M_{ext} = G(t) + M_k + M_{fr}$
et en appliquant le théorème du moment cinétique $\frac{d L}{dt} = M_{ext}$ il est possible de détérminer l'équation suivante:
\begin{equation}\label{diff}
I \ddot{\theta} + N \dot{\theta} + k \theta = P\sin(\Omega t)
\end{equation}
En divisant en fin l'équation (\ref{diff}) par $I$ il en résulte l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique amorti et forcé :
\begin{equation}\label{osc}
\ddot{\theta} + 2\lambda \dot{\theta} + \omega_0^2 \theta = p \sin{(\Omega t)} \quad \lambda = \frac{N}{2I}, \; \omega_0^2 = \frac{k}{I}, \; p = \frac{P}{I}
\end{equation}
où $\lambda$ est le facteur d'amortissement, $\omega_0$ la pulsation propre de l'oscillateur harmonique,
et $p$ l'amplitude (en \si{\radian\per\second^2}) du forçage externe.
\subsection{Solutions de l'équation différentielle}
\paragraph{Oscillations libres, en régime non forcé.}
Dans le cas où la perturbation externe est inexistante $G(t) = 0$, existent trois solutions à l'équation (\ref{osc}) \cite{ref1}, lequelles
dépendent du signe de $\lambda^2-\omega_0^2$. Pour cet experience le cas étudié est celui où $\lambda^2 < \omega_0^2$
pour lequel l'amortissement est dit faible et la solution à (\ref{osc}) est donnée par :
\begin{equation}\label{nforce}
\theta(t)=\theta_0e^{-\lambda t}\cos{(\omega t - \phi)}
\end{equation}
où $\omega^2 = \omega_0^2 - \lambda^2$, $\tan{\phi} = - \frac{\lambda}{\omega}$ et où $\theta_0 = \theta(0)$.
Dans ce cas l'amortissement n'empêche pas l'apparition d'oscillations mais il en diminue l'amplitude de façon exponentielle.
\paragraph{Oscillations en régime forcé}
Dans le cas où le système subit une perturbation externe, c'est à dire $G(t) = P\sin{(\Omega t)} \neq 0$,
l'équation (\ref{osc}) admet trois solutions de la forme
\begin{equation}\label{force}
\theta(t) = A(\Omega)\sin{(\Omega t - \Psi(\Omega))} + h(t)
\end{equation}
où h(t) est dite solution transitoire correspondante à une des trois solutions de type homogène de l'équation
(\ref{osc}) qui décroissent de façons exponentielle dans le temps. Pour ce qui concerne cette experience
$h(t) = \theta_0e^{-\lambda t}\cos{(\omega t - \phi)}$ pour $\lambda^2 < \omega_0^2$ dans
le cas d'un amortissement faible.
À cause de cette décroissance du terme transitoire, le terme sinusoidale décrit le régime permanent
du système, pour des temps $t$ où $h(t)$ est donc négligéable.
Le terme permanent contient une amplitude et un déphasage dépendantes les deux de $\Omega$ comme suit \cite{ref1}:
\begin{equation}\label{aps}
A(\Omega) = \frac{p}{\sqrt{(\omega^2 - \Omega^2)^2 + 4\lambda^2\Omega^2}} \;\;\quad\quad
\Psi(\Omega) = \arctan\Big(\frac{2\lambda\Omega}{\omega^2-\Omega^2}\Big)
\end{equation}
Dans le cas d'amortissement faible de
l'équation de A il est possible de déduire une pulsation de résonance $\Omega_r = \sqrt{\omega_0^2 - 2\lambda^2}$
qui est définie par $A(\Omega_r) = A_{max}$ (voir aussi Figure \ref{}).
L'on défini aussi la largeur de raie à mi hauteur autour de
$\Omega_r$ par $\Delta\Omega = \Omega_2 - \Omega_1 = 2\lambda\omega/\Omega_r$, où $\Omega_2$ et $\Omega_1$ sont les deux valuers
pour lesquelles $A(\Omega_i)=\frac{A_{max}}{\sqrt{2}}$. De plus on défini un facteur de qualité
$Q = \frac{\Omega_r}{\Delta\Omega} = \frac{\Omega_r^2}{2\lambda\omega}$.
%TODO inserire aomega.png
Pour finir, dans un régime transitoire pour un amortissement faible, si $\Omega$ et $\omega$ sont voisins,
dans le système se manifeste un phénomène de battement où l'amplitude oscille (voir image \ref{})
avec une pulsation de battement \cite{ref1}:
\begin{equation}\label{batt}
\omega_B = |\omega- \Omega|
\end{equation}
%TODO inserire battement.png
\section{Apparat et démarche expérimentale}
L'apparat expérimental contient les éléments caractérisant le système physique décrit par l'équation (\ref{diff})
plus des manivelles pour regler la perturbation externe et l'hamortissement, et des potentiomètre fonctionnant de
capteur d'amplitude des oscillation du disque et de l'excitation.
%TODO inserire apparato.png
Dans un prémier temps, lorsque aucune perturbation de type $G(t)$ est introduite dans le système,
grace à un programme d'acquisition informatique, des courbes $\theta(t)$ peuvent être tracée
pour différentes valeures de $N$, en modifiant l'effet d'hamortissement magnétique, et du moment d'inertie $I$ aussi, en plaçant
des masses supplémentaires de façon simmétrique sur le disque. Une mésuration est déclanchée en laissant le disque tourner avec un
angle initial $\theta_0 = 135^\circ$.
Une fois tracées les courbes $\theta(t)$, comme l'hamortissement est faible
pour chaqune la pulsation $\omega$ peut être mésurée et le facteur d'amortissement $\lambda$
peut être extrapolé par un fit exponentiel des pics d'amplitudes.
L'équation (\ref{nforce}) montre en effet que l'amplitude décroit éxponentiellement d'un facteur $\lambda$.
Deuxièmement dans le cas d'une oscillation forcée ($G(t)\neq 0$), le système d'acquisition numérique permet de mésurer
la pulsation de l'oscillation forcée $\Omega$ et la pulsation de battement $\omega_b$ en les prenant des graphes comme montré en Figure \ref{}.
Par plusieures mésuration il est donc possible de vérifier l'équation (\ref{batt}).
Pour finir, toujour dans le cas d'une oscillation forcée, il est possible d'étudier l'amplitude $A(\Omega)$ et le déphasage $\Psi(\Omega)$
du régime premanent et de vérifier ainsi les équations en (\ref{aps}). Ainsi faisant sera aussi possible de donner les valeurs de
$\Omega_r$, $Q$ et $\Delta\Omega$ du système.
Pour les deux cas en oscillation forcée les mésuration sont faite sur un disque sans masses attachés dessous.
\section{Resultats et discussion}
Les valeurs de $\omega$, $\Omega$ et $\omega_b$ sont pris diréctement des graphes et les erreurs
sur ces mésures dependent de la précision du programme informatique d'acquisition de données.
\subsection{Oscillateur non-forcé}
%TODO inserire grafici sul fit esponenziale
Les graphes en Figure \ref{} et \ref{} montrent respectivement une courbe déssinnée $\theta(t)$
plus un fit exponentiel sur ses pics, et un fit linéaire en loglog sur ces mêmes pics
permettant de extrapoler le facteur d'hamortissement $\lambda$.
Comme prévu par l'équation (\ref{nforce}) dans ce cas les oscillations subissent en effet un
-amortissement exponentiel.
+hamortissement exponentiel.
Le Tableau \ref{} montre les valeurs mésurés des paramètres $\lambda$, $\omega$ et $\omega_0 =\sqrt{\omega^2 + \lambda^2}$
en fonction de l'hamortissement appliqué en pourcentage du maximum appliquable par la machine.
Ici il est possible d'observer que les trois valeurs diminuissent lorsque l'on ajoute des masses au disque. Ceci est du à
l'augmentation du moment d'inertie $I$ qui affecte donc les valeurs de $\lambda$ et de $\omega_0$ comme prévu dans les rélations
en (\ref{osc}). Il est possible en plus d'observer sur ce Tableau que les valeurs de $\omega$ restent constant
-pour un moment d'inertie $I$ donné et que $\omega_0$ est quasi-identique. Ceci est du en effet par le fait que
+pour un moment d'inertie $I$ donné comme aucune modification est apportée à la constante de rappel du ressort,
+et que $\omega_0$ est quasi-identique. Ceci est du en effet par le fait que
les valeurs de $\lambda$ restent relativement petites et donc $\lambda^2$ devient
presque négliegeable dans la détérmination de $\omega_0$. Pour finir il est possible d'observer
en Figure \ref{} que le facteur d'hamortissement
$\lambda$ diminuit exponentiellement avec le pourcentage d'intensité de la machine. Ceci ne tends par contre pas à 0 lorsque l'hamortissement
magnétique appliqué par la machine est nul, car en effet aussi
l'air applique un hamortissement visquex au disque, dont l'effet est mésurable comme pour l'hamortissement magnétique. L'on observe en fin
-que l'air a un effet négligéable par rapport à celui de l'hamortissement magnétique lorsque ceci est plus élévé.
+que l'air a un effet négligéable par rapport à celui de l'hamortissement magnétique lorsque ceci est pris pour un pourcentage $>50\%$.
%TODO inserire tabella e grafico di Lambda in funzione della percentuale di ammortizzamento applicato
\subsection{Oscillateur forcée}
\subsubsection{Battements}
%TODO inserire grafico sul battement
Le graphe en figure \ref{} illustre le phénomène de battement observable dans le cas d'un oscillateur forcé. La courbe choisie
en exemple est aussi celle où le phénomène de battement était le plus évident dans les mésurations faites pour
$\Omega = 4.74$ \si{\radian\per\second} . Ce phénomène
est caractérisé par une oscillation périodique de l'amplitude lorsque le système n'as pas encore atteint son état permanent.
C'est en effet par la mésuration de cette période qu'il est possible de déterminer $\omega_b$. Le Tableau \ref{}
expose les valeurs mésurés pour 4 hamortissement divers et 2 différentes valeurs de $\Omega$.
Il est possible d'osbserver que la rélation (\ref{batt}) est assez bien vérifée dans le cas de $\Omega = 4.74$ \si{\radian\per\second},
-mais moins dans les autres cas. Ceci est simplement du à l'imprecition de mésuration, en effet dans le premier cas le phénomène de battement est aussi
-mieux observable comme déjà mentionné. Il est possible or conclure en disant que la rélation est vérifiée.
+mais moins dans les autres cas. Ceci est simplement du à l'imprecision de mésuration, en effet dans le premier cas le phénomène de battement est aussi
+mieux observable comme déjà mentionné. Il est possible or de conclure en disant que la rélation est bien vérifiée.
%TODO inserire tabella su omega_b
\subsubsection{Résonnance et déphasage}
%TODO inserire grafici di ampiezza e fase
Les graphes en Figure \ref{} et \ref{} illustrent les valeurs mésurés d'amplitude $A$ et
déphasaghe $\Psi$ en fonction de $\Omega$, mésurés lorsque le système était
complétement dans l'état permanent. Les mésuration sont faite pour
une intensité d'hamortissement du $50\%$. Les deux images présentent
-aussi un fit donné par le support de ``fittype'' fonction de Matlab, en utilisant les rélation en (\ref{aps}).
+aussi un fit donné par le support de {\it fittype function} de Matlab, en utilisant les rélation en (\ref{aps}).
Le fit est nécéssaire pour obtenir les valeur de $\Omega_r$ et $\Delta\Omega$, et donc aussi du facteur
-de qualité $Q$
+de qualité $Q$.
+
%TODO inserisci valori di Omega_r DeltaOmega e Q misurati
-%TODO inserisci valore teorico Di Omega_r
+%TODO inserisci valore teorico Di Omega_r e DeltaOmega
+
+Il est souvent important de connaitre les valeur de résonnance $\Omega_r$, de largeur de raie
+$\Delta\Omega$ et le facteur de qualité $Q$. En effet il peut être nécaissaire de travailler avec des grandes amplitudes,
+dans ce cas l'on cherche de travaille avec une excitation proche de $\Omega_r$ pour lequel l'amplitude maximale est
+affectée aussi de la largeur de raie : plus elle est grande moindre sera l'amplitude maximale. Comme
+il est mentionné dans l'équation \ref{}, la valeur de largeur de raie dépend théoriquement de $\lambda$, ce
+qui permet de pouvoir en manipuler la valeur en connaissant comment faire varier le facteur d'hamortissement.
+De même vaut pour le facteur de qualité, plus grand pour une petite largeur de raie, indiquant que l'amplitude de résonnace est
+assez importante, comme il en est le cas pour les mésurations faites (voir graphe \ref{}).
%TODO poi finisco di commentare
\section{Conclusion}
\section{Annexes}
\subsection{Linear regression}
\paragraph{Variance et covariance} \label{varcov}
Soient $X$, $Y$ deux ensemble de donnés de taille $N$,
alors la covariance $cov_{XY}$ est donnée par:
\begin{align}
cov_{XY} &= \frac{1}{N} \sum\limits_{k = 1}^N (X_k - \bar{X})(Y_k - \bar{Y}) \\
\bar{X} &= \frac{1}{N} \sum\limits_{k = 1}^N X_k \\
\bar{Y} &= \frac{1}{N} \sum\limits_{k = 1}^N Y_k
\end{align}
Et les variances $\sigma_X^2$ et $\sigma_Y^2$ sont données par la relation:
\begin{align}
\sigma_X^2 &= cov_{XX} \\
\sigma_Y^2 &= cov_{YY}
\end{align}
\paragraph{Régression linéaire pour les {\it fit}}
Soit $X$ et $Y$ comme définits en avance, la régression linéaire $f(x)$
est donnée par:
\begin{align} \label{linear_reg}
f(x) &= m_{XY} \cdot x + b_{XY} \\
m_{XY} &= \frac{cov_{XY}}{\sigma_X^2} \\
b_{XY} &= \bar{Y} - m_{XY} \cdot \bar{X}
\end{align}
\paragraph{Détermination de $\lambda_{exp}$} \label{findlambda}
En suivant la relation (\ref{linear_reg}), remplacer
$Y$ par le \textbf{logaritme} des donnés de $\frac{U_{out}(0)}{U_{out}(t)}$, analoguement remplacer $X$ par
le temps:
\begin{equation}
\ln(\frac{U_{out}(0)}{U_{out}(t)}) = \lambda_{exp} \cdot t
\end{equation}
\textbf{NB:} Le calcul est automatisé informatiquement.
\subsection{À propos de l'erreur}
\subsubsection{Erreur sur la pente \cite{ref2}}
\paragraph{Déviation quadratique d'une fonction $f$} \label{err_slope}
Soit $X$, $Y$ et $f(x)$ comme en (\ref{varcov}), alors la déviation
quadratique de $f(x)$ est donnée par:
\begin{equation}
\epsilon_{XY}^2 = \frac{1}{N - 2} \sum\limits_{k = 1}^N (Y_k - f(X_k))
\end{equation}
\paragraph{Érreur sur $m_{XY}$ et $b_{XY}$} \label{slopeErr}
\begin{align}
\Delta m_{XY} &= 2 \frac{\epsilon_{XY}}{\sigma_X} \\
\Delta b_{XY} &= 2 \epsilon_{XY} \sqrt{\frac{1}{N} + \frac{s_X^2}{\sigma_X^2}} \\
s_X^2 &= \frac{1}{N} \sum\limits_{k = 1}^N X_k^2
\end{align}
% TODO reference
\paragraph{Application à l'érreur sur $\lambda_{exp}$}
Le même que dans la séction (\ref{slopeErr}): remplacer $Y$ par $\ln(U_{out}(0) / U_{out}(t))$
et $X$ par $t$, et appliquer le proceder de (\ref{err_slope}).
\par
\textbf{NB:} Le calcul est automatisé informatiquement.
\subsubsection{Èrreur systèmatiques}
\begin{itemize}
\item $R_L$ a été mésurée par un multimètre de précision $\Delta R_L = 0.001$ \si{\ohm}
\item $R_{gen}$ (résistance du générateur) à été éstimée par $\Delta R_{gen} = 10$ \si{\ohm}
\item L'érreur sur $t$ (axis $X$ de l'oscilloscope): $\Delta t = 4 \cdot 10^7$ \si{\second}
\item L'érreur sur $U$ (axis $Y$ de l'oscilloscope): $\Delta U \approx 0.01$ \si{\volt}
\item L'érreur sur la fréquence: $\Delta f \approx 1 \cdot 10^4$ \si{\hertz}
\item L'érreur sur le gain (axis $Y$ du diagramme de bode): $\Delta G \approx 1 \cdot 10^4$
\item L'érreur sur $L$ est donné par sa sensibilité: $\Delta L = 5 \cdot 10^{-2}$
\item L'érreur sur $C$ est donné par sa sensibilité: $\Delta C = 1 \cdot 10^{-8}$
\end{itemize}
\paragraph{Érreur sur la résistance}
En échangeant d'ordre de grandeur, la résistance $R$ n'a pas d'érreur fixe.
En particulier:
\begin{itemize}
\item $R = 900$ \si{\kilo\ohm} $\Rightarrow \Delta R = 50$ \si{\kilo\ohm}
\item $R = 160$ \si{\kilo\ohm} $\Rightarrow \Delta R = 5$ \si{\kilo\ohm}
\item $R = 12$ \si{\kilo\ohm} $\Rightarrow \Delta R = 1$ \si{\kilo\ohm}
\item $R = 1.32$ \si{\kilo\ohm} $\Rightarrow \Delta R = 0.01$ \si{\kilo\ohm}
\item $R = 0.32$ \si{\kilo\ohm} $\Rightarrow \Delta R = 0.01$ \si{\kilo\ohm}
\end{itemize}
\section{Références}
% Bibliographie
\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{ref1}
Notices des TP de physique A4: Oscillations libres et forcées
\bibitem{ref2}
Uncertainty Slope Intercept of Least Squares - Faith A. Morrison - \url{http://pages.mtu.edu/~fmorriso/cm3215/UncertaintySlopeInterceptOfLeastSquaresFit.pdf}
\end{thebibliography}
\end{document}
\end{document}