\subsection*{Trois\`eme partie, questions de type ouvert}
\noindent
R\'epondre dans l’espace d\'edi\'e. Votre r\'eponse doit \^etre soigneusement justifi\'ee,
toutes les \'etapes de votre raisonnement doivent figurer dans votre r\'eponse. Laisser libres les cases \`a cocher\,: elles sont r\'eserv\'ees au correcteur.
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%% Leave at least 2 empty lines after the \bigskip
\item[Question~\theAMCquestionaff :]\textit{Cette question est not\'ee sur 6 points.}
\end{description}
\correctorPointsPerGroup{6/2}
\correctorTwoFive{open-question-B}{~}
\correctorStop
\noindent Soient $V$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie, et $X,Y$ deux sous-espaces vectoriels de $V$
tels que $\operatorname{dim}(X)\geq\operatorname{dim}(Y)$. Montrer qu'il existe une application lin\'eaire $T : V\to V$ telle que $T(X)= Y$.
\vskip 5pt
\OpenBox{22cm}
%***************************
% Question C - 6points
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{description}
\item[Question~\theAMCquestionaff :]\textit{Cette question est not\'ee sur 6 points.}
\end{description}
\correctorSix{open-question-C}{~}
\correctorStop
Soit $\alpha\in\C$.
\begin{itemize}
\item [1.] Trouver la formule explicite pour les éléments de la matrice $A_n =\begin{pmatrix}\alpha &1\\0 &\alpha\end{pmatrix}^{n}$, o\`u $n \geq1$ est un entier. Montrer la formule par r\'eccurence.
% \item [1.] Trouver la formule pour $\begin{pmatrix}\alpha &1\\ 0 &\alpha\end{pmatrix}^{n}$, o\`u $n \geq 1$ est un entier. Montrer la formule par r\'eccurance.
\item [2.] On pose $\alpha=1+\textrm{i}$. Calculer $\alpha^{99}$ et $\alpha^{100}$.
\item[Question~\theAMCquestionaff :]\textit{Cette question est not\'ee sur 10 points.}
\end{description}
\correctorTenHalf{open-question-D}{~}
\correctorStop
Soit $\alpha\in\C$.
\begin{itemize}
\item [1.] Trouver la formule explicite pour les éléments de la matrice $A_n =\begin{pmatrix}\alpha &1\\0 &\alpha\end{pmatrix}^{n}$, o\`u $n \geq1$ est un entier. Montrer la formule par r\'eccurence.
% \item [1.] Trouver la formule pour $\begin{pmatrix}\alpha &1\\ 0 &\alpha\end{pmatrix}^{n}$, o\`u $n \geq 1$ est un entier. Montrer la formule par r\'eccurance.
\item [2.] On pose $\alpha=1+\textrm{i}$. Calculer $\alpha^{99}$ et $\alpha^{100}$.
\item[Question~\theAMCquestionaff :]\textit{Cette question est not\'ee sur 20 points.}
\end{description}
\correctorTwenty{open-question-C}{~}
\correctorStop
Soit $\alpha\in\C$.
\begin{itemize}
\item [1.] Trouver la formule explicite pour les éléments de la matrice $A_n =\begin{pmatrix}\alpha &1\\0 &\alpha\end{pmatrix}^{n}$, o\`u $n \geq1$ est un entier. Montrer la formule par r\'eccurence.
% \item [1.] Trouver la formule pour $\begin{pmatrix}\alpha &1\\ 0 &\alpha\end{pmatrix}^{n}$, o\`u $n \geq 1$ est un entier. Montrer la formule par r\'eccurance.
\item [2.] On pose $\alpha=1+\textrm{i}$. Calculer $\alpha^{99}$ et $\alpha^{100}$.