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Sat, Apr 27, 04:42

extra_section.tex
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\setlength{\parindent}{0pt}%
\newpage
%*******************************************************************%
% Suppress begin-question texts
\renewcommand{\AMCbeginQuestion}[2]{\QuestionText{#1}}
\def\QuestionText{\TEXT}
\def\TEXT#1{}
\def\NOTEXT#1{}
\setlength{\parindent}{0pt}%
%*******************************************************************%
\subsection*{Third part, open questions}
\noindent
Answer in the empty space below. Your answer should be carefully justified, and all the steps of your argument should be discussed in details. Leave the check-boxes empty, they are used for the grading.
\bigskip
%% Leave at least 2 empty lines after the \bigskip
%*******************************************************************%
% Question A - 5 points
%*******************************************************************%
\begin{description}
\addtocounter{AMCquestionaff}{1}
\item[Question~\theAMCquestionaff :] \textit{This question is worth 5 points.}
\end{description}
\correctorPointsPerGroup{5/3}
\correctorThreeFive{open-question-A}{~}
\correctorStop
Soit $\Psi : \R_3[x]\to \R_3[x]$ l'application d\'efinie par
$$\Psi(p)(x) = (x-1)p'(x)\text{.}$$
\begin{itemize}
\item [1.] Montrer que $\Psi$ est lin\'eaire. (1 pt)
\item [2.] Calculer la matrice $[\Psi]_{E,E}$ de $\Psi$ par rapport \`a la base canonique $E = (1,x, x^2, x^3)$. (2 pts)
\item [3.] Calculer le rang de $\Psi$. (2 pt)
\end{itemize}
\OpenGrid{16cm}
\FullPageOpenGrid
%*******************************************************************%
%*******************************************************************%
% Question B - 6 points
%*******************************************************************%
\begin{description}
\item[Question~\theAMCquestionaff :] \textit{This question is worth 6 points.}
\end{description}
\correctorPointsPerGroup{6/2}
\correctorTwoFive{open-question-B}{~}
\correctorStop
\noindent Soient $V$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie, et $X,Y$ deux sous-espaces vectoriels de $V$
tels que $\operatorname{dim}(X) \geq \operatorname{dim}(Y)$. Montrer qu'il existe une application lin\'eaire $T : V\to V$ telle que $T(X) = Y$.
\vskip 5pt
\OpenBox{22cm}
%***************************
% Question C - 6points
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{description}
\item[Question~\theAMCquestionaff :] \textit{This question is worth 6 points.}
\end{description}
\correctorSix{open-question-C}{~}
\correctorStop
Soit $\alpha\in \C$.
\begin{itemize}
\item [1.] Trouver la formule explicite pour les éléments de la matrice $A_n = \begin{pmatrix}\alpha &1\\ 0 &\alpha\end{pmatrix}^{n}$, o\`u $n \geq 1$ est un entier. Montrer la formule par r\'eccurence.
% \item [1.] Trouver la formule pour $\begin{pmatrix}\alpha &1\\ 0 &\alpha\end{pmatrix}^{n}$, o\`u $n \geq 1$ est un entier. Montrer la formule par r\'eccurance.
\item [2.] On pose $\alpha = 1+\textrm{i}$. Calculer $\alpha^{99}$ et $\alpha^{100}$.
\item [3.] Calculer $\begin{pmatrix} 1+\textrm{i} &1\\ 0 &1+\textrm{i}\end{pmatrix}^{100}$.
\end{itemize}
\OpenGrid{17cm}
% Question D - 10points
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{description}
\item[Question~\theAMCquestionaff :] \textit{This question is worth 10 points.}
\end{description}
\correctorTenHalf{open-question-D}{~}
\correctorStop
Soit $\alpha\in \C$.
\begin{itemize}
\item [1.] Trouver la formule explicite pour les éléments de la matrice $A_n = \begin{pmatrix}\alpha &1\\ 0 &\alpha\end{pmatrix}^{n}$, o\`u $n \geq 1$ est un entier. Montrer la formule par r\'eccurence.
% \item [1.] Trouver la formule pour $\begin{pmatrix}\alpha &1\\ 0 &\alpha\end{pmatrix}^{n}$, o\`u $n \geq 1$ est un entier. Montrer la formule par r\'eccurance.
\item [2.] On pose $\alpha = 1+\textrm{i}$. Calculer $\alpha^{99}$ et $\alpha^{100}$.
\item [3.] Calculer $\begin{pmatrix} 1+\textrm{i} &1\\ 0 &1+\textrm{i}\end{pmatrix}^{100}$.
\end{itemize}
\OpenGrid{17cm}
\FullPageOpenGrid
% Question E - 15points
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{description}
\item[Question~\theAMCquestionaff :] \textit{This question is worth 20 points.}
\end{description}
\correctorTwenty{open-question-C}{~}
\correctorStop
Soit $\alpha\in \C$.
\begin{itemize}
\item [1.] Trouver la formule explicite pour les éléments de la matrice $A_n = \begin{pmatrix}\alpha &1\\ 0 &\alpha\end{pmatrix}^{n}$, o\`u $n \geq 1$ est un entier. Montrer la formule par r\'eccurence.
% \item [1.] Trouver la formule pour $\begin{pmatrix}\alpha &1\\ 0 &\alpha\end{pmatrix}^{n}$, o\`u $n \geq 1$ est un entier. Montrer la formule par r\'eccurance.
\item [2.] On pose $\alpha = 1+\textrm{i}$. Calculer $\alpha^{99}$ et $\alpha^{100}$.
\item [3.] Calculer $\begin{pmatrix} 1+\textrm{i} &1\\ 0 &1+\textrm{i}\end{pmatrix}^{100}$.
\end{itemize}
\OpenGrid{17cm}
\FullPageOpenGrid
\FullPageOpenGrid

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