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Thu, Aug 15, 04:22

champsEB.tex
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%\noindent
\begin{description}
\setlength{\itemindent}{-10mm}
% \addtocounter{AMCquestionaff}{1}
\item[Question~\theAMCquestionaff :] \textit{Cette question est notée sur 9 points.}
\end{description}
\correctorNine{champsEB}{~}
\correctorStop
Une petite bille chargée positivement (charge $q>0$ et masse $m$) suit un rail en arc de cercle de rayon $R$ et d'angle au centre $\pi/6$\,. Ce rail se trouve dans un condensateur plan, d'armatures horizontales, dans lequel règne un champ électrique uniforme d'intensité $E_0$ permettant de plaquer la bille sur le rail.
Quittant le rail avec une vitesse $\vec{v}_1$\,, la bille entre dans une région (représentée en gris sur la
figure ci-dessous) dans laquelle règne un champ magnétique uniforme
$\vec B_0$ horizontal entrant.
\smallskip
{\bf Dans ce problème, le poids et les frottements sont supposés négligeables.}
\bigskip
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
\hskip -0.1 cm
\begin{tikzpicture}
% zone avec champ magnétique
\draw[black!10, fill] (-5,3.02) rectangle (7,10);
% champ B
\path (2,8) node[] {$\vec B_0$ $\otimes$};
% condensateur
\draw[thick] (-5,3) rectangle (-1.3,2.9);
\draw[thick] (-0.6,3) rectangle (7,2.9);
\draw[thick] (-5,0) rectangle (7,-0.1);
% rail (arc circulaire, cercle de rayon 8, centré en ()
\draw [black,ultra thick,domain=-90:-60] plot ({-5+8*cos(\x)}, {3+4*sqrt(3)+8*sin(\x)}) node[above left] {trou};
\draw[black,fill] (-5, {3+4*sqrt(3)}) circle (0.05);
\draw[dotted] (-5,{3-(8-4*sqrt(3))}) --(-5,{3+4*sqrt(3)}) --+ (-60:8);
\draw[<->] (-5.3, {3+4*sqrt(3)}) --+ (0,-8) node[pos=0.5,left] {$R$};
% % bille
% \draw[fill] (-5,{3-(8-4*sqrt(3))-0.13}) circle (0.1);
% \draw[->,thick] (-5,{3-(8-4*sqrt(3))-0.13}) --+(0.8,0) node[pos=0.6,below] {$\vec v_0$};
% bille
\draw[fill] ({-5+8.08*cos(-60)}, {3+4*sqrt(3)+8.08*sin(-60)}) circle (0.05);
\draw[->,thick] ({-5+8.08*cos(-60)}, {3+4*sqrt(3)+8.08*sin(-60)})--+({sqrt(3)/2},0.5) node[pos=0.6,above] {$\vec v_1$};
% bille
\draw[fill=black!70,black!70] ({-5+8.08*cos(-90)}, {3+4*sqrt(3)+8.08*sin(-90)}) circle (0.05);
\draw[->,thick,black!70] ({-5+8.08*cos(-90)}, {3+4*sqrt(3)+8.08*sin(-90)})--+(.9,0) node[pos=0.6,below] {$\vec v_0=$\,?};
% angle pi/6
\draw [black,thick,domain=-90:-60] plot ({-5+3*cos(\x)}, {3+4*sqrt(3)+3*sin(\x)});
\path[black] ({-5}, {3+4*sqrt(3)}) --+ (-75:3.3) node[] {$\pi/6$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bigskip
\begin{enumerate}
\item
Indiquer sur le dessin ci-dessus la direction et le sens du champ
électrique $\vec E_0$.
\item
Déterminer la condition que doit satisfaire la norme de $\vec v_1$ pour que la
bille soit plaquée sur le rail juste avant d'atteindre son extrémité.
\item Déterminer la norme de la vitesse horizontale de la bille sur le rail lorsqu'elle pénètre dans le condensateur.
\item
Esquisser la trajectoire de la bille dans la région où
règne le champ magnétique $\vec{B}_0$\,. Donner la nature précise de cette
trajectoire (ligne droite, parabole, hyperbole, etc) en justifiant
votre réponse.
\end{enumerate}
\ifEnonce{
%\OpenGrid{19cm}
\FullPageOpenGrid
\FullPageOpenGrid
\FullPageOpenGrid
\MorePageOpenGrid
}\else{
\vspace{5mm}{\bf Corrigé}\vspace{2mm}
\begin{enumerate}
\item
Le \textcolor{orange}{champ électrique $\vec E_0$} est vertical, dirigé vers le haut.
\item
Lors de son déplacement sur le rail, la petite bille subit deux
forces (si l'on suppose que la gravitation est négligeable): la force
électrique $q\vec E_0$ et le soutien $\vec S$ du rail.
\bigskip
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
\hskip -0.1 cm
\begin{tikzpicture}
% zone avec champ magnétique
\draw[black!10, fill] (-5,3.02) rectangle (7,10);
% champ B
\path (2,8) node[] {$\vec B_0$ $\otimes$};
% condensateur
\draw[thick] (-5,3) rectangle (-1.3,2.9);
\draw[thick] (-0.6,3) rectangle (7,2.9);
\draw[thick] (-5,0) rectangle (7,-0.1);
% rail (arc circulaire, cercle de rayon 8, centré en ()
\draw [black,ultra thick,domain=-90:-60] plot ({-5+8*cos(\x)}, {3+4*sqrt(3)+8*sin(\x)});
\draw[black,fill] (-5, {3+4*sqrt(3)}) circle (0.05);
\draw[dotted] (-5,{3-(8-4*sqrt(3))}) --(-5,{3+4*sqrt(3)}) --+ (-60:8);
% bille
\draw[fill] (-5,{3-(8-4*sqrt(3))-0.13}) circle (0.1);
\draw[->,thick] (-5,{3-(8-4*sqrt(3))-0.13}) --+(0.8,0) node[pos=0.6,below] {$\vec v_0$};
\draw[fill] (-0.9,2.92) circle (0.1);
\draw[->,thick] (-0.9,2.92) --+(30:1.1) node[pos=0.5,above] {$\vec v_1$};
% champ E_0
\draw[->, thick, orange] (4,0.5) --+ (0,2) node[pos=0.5,right] {$\vec E_0$};
% forces
\draw[fill] (-2.5,2.2) circle (0.1);
\draw[->, thick, red] (-2.5,2.2) --+ (0,1.7) node[pos=0.72,right] {$q\vec E_0$};
\draw[->, thick, red] (-2.5,2.2) --+ (-72:1.2) node[pos=0.8,left=3pt] {$\vec S$};
% repère
\draw[->, thick, blue] (-2.5,2.2) --+ ({-72+180}:0.5) node[pos=0.6,left] {$\vec e_n$};
\draw[->, thick, blue] (-2.5,2.2) --+ (18:0.5) node[pos=0.6,below right] {$\vec e_t$};
\draw[dotted, blue] (-5,{3-(8-4*sqrt(3))}) --(-5,{3+4*sqrt(3)}) --+ (-72:8);
% angle alpha
\draw [thick,domain=-90:-72, blue] plot ({-5+2.2*cos(\x)}, {3+4*sqrt(3)+2.2*sin(\x)});
\path[blue] ({-5}, {3+4*sqrt(3)}) --+ (-81:2.5) node[] {$\alpha$};
% angle pi/6
\draw [black,thick,domain=-90:-60] plot ({-5+3*cos(\x)}, {3+4*sqrt(3)+3*sin(\x)});
\path[black] ({-5}, {3+4*sqrt(3)}) --+ (-75:3.3) node[] {$\pi/6$};
% travjectoire dans le champ B
\draw [brown,dashed,thick,domain=-60:137] plot ({-2.6+3.3*cos(\x)}, {5.77+3.3*sin(\x)});
\draw[brown,fill] (-2.6,5.77) circle (0.05);
\path[brown] (2.7,5.4) node[] {cercle de rayon $R_B$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bigskip
La deuxième
équation de Newton s'écrit
$$
q\vec E_0 + \vec S = m\vec a\,.
$$
A la sortie du rail, on peut projeter cette équation selon $\vec e_n$:
$$
q E_0 \cos{\frac{\pi}{6}} - S = ma_n = m\frac{v_{1}^{\,2}}{R}\,,
$$
où $R$
est le rayon de courbure de la trajectoire.
Pour que la bille reste plaquée sur le rail, son soutien ne doit jamais
s'annuler (condition de non décrochement): $S>0$. Plus précisément,
$$
S = q E_0 \cos{\frac{\pi}{6}} - m\frac{v_{1}^{\,2}}{R} > 0
~~\Rightarrow~~
v_{1}^{\,2} < \frac{q E_0 R \sqrt{3}}{2m}\,.
$$
\item
La norme de la vitesse $\vec{v}_0$ à l'entrée du condensateur
peut être déterminée en appliquant le théorème de l'énergie cinétique
entre les instants où la bille arrive sur le rail et le quitte :
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{2}m v_{1}^{\,2} - \frac{1}{2}m v_{0}^{\,2}
&=& W_{0\rightarrow 1}(q\vec E_0)
+ W_{0\rightarrow 1}(\vec S) \\
&=& \int_{\text{pos } 0}^{\text{pos } 1}{q\vec E_0\cdot\vec dr}
+ 0~~~~~~(\text{car }\vec S \perp \vec e_t, \vec e_t \,/\!/\,\vec dr) \\
&=& q\vec E_0\cdot\int_{\text{pos } 0}^{\text{pos } 1}{\vec dr} \\
&=& q E_0 R \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{ \sin\alpha\,d\alpha}\\
&=& q E_0\, R\left(1-\cos\frac{\pi}{6}\right) \,.
\end{eqnarray*}
$$
\Rightarrow~~
v_{0}^{\,2} = v_{1}^{\,2}
- \frac{2q E_0 R}{m} \left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)
$$
\item
Dans la région représentée en gris, la bille subit une seule force: la
force de Lorentz $\vec F_{\text{Lorentz}} = q\,\vec v\times\vec B_0$\,.
Cette force est en permanence perpendiculaire à la vitesse. Elle ne
travaille donc pas et conduit à une accélération purement normale:
$$qv_1B_0 = m\frac{v_1^2}{R_B}\,.$$
Comme $\vec F_{\text{Lorentz}}$ est normale à $\vec{v}$\,, le mouvement est {\bf circulaire uniforme} (``vers la gauche''), de rayon
$$
R_B = \frac{mv_1}{qB_0}\,,
$$
où $v_1$ est la norme de la vitesse de la bille à la sortie du
condensateur.
\end{enumerate}
}\fi

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