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gong.tex
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Created
Fri, Oct 18, 16:25

gong.tex
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%\noindent
\begin{description}
\setlength{\itemindent}{-10mm}
% \addtocounter{AMCquestionaff}{1}
\item[Question~\theAMCquestionaff :] \textit{Cette question est notée sur 8 points.}
\end{description}
\correctorEight{gong}{~}
\correctorStop
Une petite boule de masse $m=1\,\text{kg}$ est suspendue à un fil de longueur $L=0.9\,\text{m}$ fixé à un plafond. Elle est lâchée (sans vitesse initiale) depuis une position où le fil, tendu, n'est pas vertical et vient frapper horizontalement un gong (plaque métallique) de masse $M=8\,\text{kg}$ avec une vitesse de norme $v_0=3\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$\,. Sous l'effet du choc, le gong acquiert une vitesse de norme $V=0.5\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$\,. On admettra $g=10\,\text{m}\,\text{s}^{-2}$\,.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth]
\path (0,.5) node {au départ};
\coordinate (O) at (0,0);
\pgfmathsetmacro{\fil}{2};
\pgfmathsetmacro{\initAngle}{40}
\draw (-1,0) -- (1,0);
\draw (O) -- +({-90+\initAngle}:\fil) node[pos=.6,above right] {$L$};
\draw[fill] ({-90+\initAngle}:\fil) circle (.1) node[below=3pt] {$m$};
\draw (O)++(-.1,0) -- +(0,-.5);
\draw[ultra thick] (-0.1,-.5) -- ++(0,-2.5) node[below] {gong $M$};
\begin{scope}[shift={(4,0)}]
\path (0,.5) node {juste avant le choc};
\coordinate (O) at (0,0);
\pgfmathsetmacro{\fil}{2};
\pgfmathsetmacro{\initAngle}{0}
\draw (-1,0) -- (1,0);
\draw (O) -- +({-90+\initAngle}:\fil);
\draw[fill] ({-90+\initAngle}:\fil) circle (.1);
\draw[->,thick] ({-90+\initAngle}:\fil) -- +(-1,0) node[pos=.5,below] {$\vec{v}_0$};
\draw (O)++(-.1,0) -- +(0,-.5);
\draw[ultra thick] (-0.1,-.5) -- ++(0,-2.5) node[below] {gong};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Quel a été l'angle entre le fil et la verticale à l'instant du départ de la boule?
\item Déterminer la vitesse de la boule juste après le choc.
\item Déterminer l'énergie mécanique dissipée (ou libérée) par le coup de gong.
\end{enumerate}
\ifEnonce{
\OpenGrid{13.5cm}
\FullPageOpenGrid
\MorePageOpenGrid
}\else{
\vspace{5mm}{\bf Corrigé}\vspace{2mm}
\begin{enumerate}
\item Notons $\alpha_0$ l'angle cherché.
Pour l'objet $m$\,, les forces sont le poids et la tension. Le poids est conservatif et la tension ne travaille pas: l'énergie mécanique est conservée: $E_\text{méc}(\text{dép}) = E_\text{méc}(\text{avant choc})$\,.
$$ mgL(1-\cos\alpha_0) = \frac{1}{2}mv_0^2 \Rightarrow \cos\alpha_0 = 1-\frac{v_0^2}{2gL} = 1-\frac{(3\,\text{m}\,\text{s}^{-1})^2}{2\cdot 10\,\text{m}\,\text{s}^{-2}\cdot 0.9\,\text{m}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha_0=\frac{\pi}{3}\,. $$
\item Pour l'objet formé de $m$ et de $M$ durant le choc (entre juste avant et juste après), les forces horizontales sont nulles: la quantité de mouvement horizontale est conservée durant le choc.
Selon $\leftarrow$: notons $v'$ la vitesse de $m$ juste après le choc.
$$P(\text{avant choc}) = P(\text{après choc}) \Rightarrow mv_0 = MV + mv' $$
$$\Rightarrow v'=v_0-\frac{M}{m}V =3\,\text{m}\,\text{s}^{-1}-\frac{8\,\text{kg}}{1\,\text{kg}} \,0.5\,\text{m}\,\text{s}^{-1} = -1\,\text{m}\,\text{s}^{-1} \,.$$
La boule rebondit en arrière.
\item L'énergie mécanique cinétique perdue est la différence des énergies cinétiques entre juste avant et juste après le choc
\begin{eqnarray*}
E_\text{perdue} &=& E_\text{cin}(\text{avant choc}) - E_\text{cin}(\text{après choc}) \\
&=& \frac{1}{2}mv_0^2 - \frac{1}{2}MV^2 - \frac{1}{2}mv'{}^2 \\
&=& \frac{1}{2}\,1\,\text{kg} \, (3\,\text{m}\,\text{s}^{-1})^2 - \frac{1}{2}\,8\,\text{kg} \, (0.5\,\text{m}\,\text{s}^{-1})^2
- \frac{1}{2}\,1\,\text{kg} \, (-1\,\text{m}\,\text{s}^{-1})^2 \\
&=& 3\,\text{J}\,.
\end{eqnarray*}
% $$E_\text{perdue} = E_\text{cin}(\text{avant choc}) - E_\text{son}(\text{après choc})
% = \frac{1}{2}mv_0^2 - \frac{1}{2}mv'{}^2 - \frac{1}{2}MV^2 = \frac{1}{2}\,1\,\text{kg} (3\,\text{m}\,\text{s}^{-1})^2\,.$$
\end{enumerate}
}\fi

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