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hydrostatique.tex
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Sun, May 5, 23:47

hydrostatique.tex
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%\noindent
\begin{description}
\setlength{\itemindent}{-10mm}
% \addtocounter{AMCquestionaff}{1}
\item[Question~\theAMCquestionaff :] \textit{Cette question est notée sur 7 points.}
\end{description}
\correctorSeven{hydrostatique}{~}
\correctorStop
Un tube cylindrique est obstrué inférieurement par un disque, de masse $m$ et de surface $S$\,, retenu par un fil.
Le tout est immergé dans un bac d'eau
à une hauteur $h$ de sorte que le fil peut être coupé: le disque reste plaqué contre le tube (voir figure de gauche).
On note $\rho_{\,\text{eau}}$ la masse volumique de l'eau et $\rho_{\,\text{air}}$ celle de l'air. L'épaisseur du tube est négligeable.
\vspace{0.5cm}
%
\begin{center}
\includegraphics[scale=1.25]{./media/Cylindre_1.pdf}
\vspace{0.5cm}
\includegraphics[scale=1.25]{./media/Cylindre_2.pdf}
\end{center}
%
\vspace{0.5cm}
\begin{enumerate}
%
\item Dans un premier temps, on verse de l'eau dans le tube. Lorsque l'eau atteint une certaine hauteur, on constate que le disque s'enfonce dans le bac d'eau. Déterminer cette hauteur.
%
\vspace{0.2cm}
%
\item Dans un deuxième temps, on attache un ballon rempli d'hélium de masse volumique $\rho_{\,\text{hélium}}$ à la surface supérieure du disque à l'aide d'une ficelle. On verse ensuite de l'eau dans le tube jusqu'à ce que la hauteur d'eau dans le tube soit égale à la hauteur $h$\,.
On suppose que les poids du ballon et de la ficelle sont négligeables par rapport au poids du disque. Déterminer le volume minimal $V$ d'hélium dans le ballon pour que le disque reste plaqué contre le tube.
%
\vspace{0.2cm}
%
\end{enumerate}
\ifEnonce{
\OpenGrid{7cm}
\FullPageOpenGrid
%\FullPageOpenGrid
\MorePageOpenGrid
}\else{
\vspace{5mm}{\bf Corrigé}\vspace{2mm}
\vspace{0.5cm}
%
\begin{center}
\includegraphics[scale=1.25]{./media/Cylindre_1_bis.pdf}
\vspace{0.5cm}
\includegraphics[scale=1.25]{./media/Cylindre_2_bis.pdf}
\end{center}
%
\begin{enumerate}
%
\item Les forces extérieures exercées sur le disque sont son poids $m\,\vec{g}$, la force $\vec{F}_{\,\text{sup}}$ exercée par l'eau du tube sur la surface supérieure et la force $\vec{F}_{\,\text{inf}}$ exercée par l'eau du bac sur la surface inférieure. A l'équilibre, la $2^e$ loi de Newton s'écrit,
%
\begin{equation*}
m\,\vec{g} + \vec{F}_{\,\text{sup}} + \vec{F}_{\,\text{inf}} = \vec{0}
\end{equation*}
%
Les normes des forces hydrostatiques $\vec{F}_{\,\text{sup}}$ et $\vec{F}_{\,\text{inf}}$, qui sont le produit de la pression hydrostatique et de la surface $S$ du disque, s'écrivent,
%
\begin{align*}
&\Vert\vec{F}_{\,\text{sup}}\Vert = \left(p_{\,\text{atm}} + \rho_{\,\text{eau}}\,g\,\delta\right)S\\
&\Vert\vec{F}_{\,\text{inf}}\Vert = \left(p_{\,\text{atm}} + \rho_{\,\text{eau}}\,g\,h\right)S
\end{align*}
%
où $p_{\,\text{atm}}$ est la pression atmosphérique. Ainsi, la projection de la $2^e$ loi le long de l'axe vertical orienté positivement vers le bas donne,
%
\begin{equation*}
m\,g + \rho_{\,\text{eau}}\,g\,\delta\,S -\,\rho_{\,\text{eau}}\,g\,h\,S = 0
\end{equation*}
%
Par conséquent,
%
\begin{equation*}
\delta = h -\,\frac{m}{\rho_{\,\text{eau}}\,S}
\end{equation*}
%
\item Lorsque le niveau d'eau dans le tube est le même que celui dans le bac, les forces hydrostatiques exercées sur les deux surfaces du disques sont égales et opposées, i.e. $\vec{F}_{\,\text{sup}} = -\,\vec{F}_{\,\text{inf}}$, car l'épaisseur du disque est négligeable. Comme les poids du ballon et de la ficelle sont négligeables, le poids du système formé du disque, du ballon et de la ficelle se réduit au poids $m\,\vec{g}$ du disque. A l'équilibre hydrostatique, la $2^e$ loi de Newton s'écrit,
%
\begin{equation*}
m\,\vec{g} + \vec{F}_A = \vec{0}
\end{equation*}
%
La norme de la poussée d'Archimède $\vec{F}_A$ exercée sur le ballon est égale au poids de l'air déplacé,
%
\begin{equation*}
\Vert\vec{F}_A\Vert = \rho_{\,\text{air}}\,V\,g
\end{equation*}
%
Ainsi, la projection de la $2^e$ loi le long de l'axe vertical orienté positivement vers le bas donne,
%
\begin{equation*}
m\,g -\,\rho_{\,\text{air}}\,V\,g = 0
\end{equation*}
%
Par conséquent,
%
\begin{equation*}
V = \frac{m}{\rho_{\,\text{air}}}
\end{equation*}
\end{enumerate}
}\fi

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