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rencontre.tex
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Tue, Sep 17, 16:42

rencontre.tex
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%\noindent
\begin{description}
\setlength{\itemindent}{-10mm}
\item[Question~\theAMCquestionaff :] \textit{Cette question est notée sur 8 points.}
\end{description}
\correctorEight{rencontre}{~}
\correctorStop
Un wagon de masse $M$ descend à vitesse constante $\vec{v}_\text{w}$ une pente inclinée d'un angle $\alpha=\frac{\pi}{6}$\,. A l'instant où le wagon passe à la hauteur d'un cascadeur de masse $m$\,, celui-ci s'élance dans le vide avec une vitesse horizontale. Il se trouve alors à une distance $d$ du wagon telle que $gd=\sqrt{3} v_\text{w}^2$\,.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth]
\coordinate (O) at (0,0);
\coordinate (D) at (5,0);
\coordinate (Dz) at ($(D) +(30:2)$);
\coordinate (C) at ($(D) +(30:1.5)$);
\coordinate (B) at ($(D) +({30+180}:5)$);
\coordinate (A) at ($(B) +(2,0)$);
\draw[dashed] (O) -- (D) node[pos=.5,above] {$d$};
\draw (D) -- (Dz);
\draw (D) -- (B);
\draw[dashed] (A) -- (B);
\path (A) pic["$\alpha$", draw=black, -,angle eccentricity=1.2, angle radius=1cm]
{angle=A--B--D};
% \draw
% (3,-1) coordinate (a) node[right] {a}
% -- (0,0) coordinate (b) node[left] {b}
% -- (2,2) coordinate (c) node[above right] {c}
% pic["$\alpha$", <->, angle eccentricity=1.2, angle radius=1cm]
% {angle=a--b--c};
\draw[fill=gray!50] (-2,0) -- (0,0) -- (0,-.5) -- (-2,-.5);;
% personnage courant à droite
% origine sous les pieds, à la verticale du corps
\begin{scope}[transform canvas={shift={(O)},rotate=0,scale=1},xscale=1,yscale=1]
% \draw (0,0) circle (0.01); % ancrage
\draw (0,.7) circle (0.1) node[right=3pt] {$m$}; % tête
\draw (0,.6) -- (0,.25); % corps
\draw (0,.25) -- (-.17,.1); % jambe arrière
\draw (-.17,.1) -- (-.3,.22);
\draw (0,.25) -- (.25,.35); % jambe avant
\draw (.25,.35) -- (.16,.13);
\draw (0,.5) -- (-.22,.4); % bras arrière
\draw (0,.5) -- (.2,.44); % bras avant
\end{scope}
\draw[->,thick] (O) -- +(1,0) node[pos=.8,below] {$\vec{v}_0=?$};
\draw ($(C)+({30+90}:.05)$) -- ++({30}:.2)-- ++({30+90}:.2);
\draw ($(C)+({30+90}:.05)$) -- ++({30+180}:.2)-- ++({30+90}:.2);
\draw[->,thick] ($(C)+({30+90}:.1)$) node[below right=0pt] {$M$} -- +({30+180}:1) node[pos=.5,above] {$\vec{v}_\text{w}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
Déterminer la vitesse de saut $\vec{v}_0$ du cascadeur de sorte à ce qu'il tombe dans le wagon.
\vspace{2mm}
\ifEnonce{
\OpenGrid{15.5cm}
\FullPageOpenGrid
\MorePageOpenGrid
}\else{
\vspace{5mm}{\bf Corrigé}\vspace{2mm}
Posons $t=0$ pour l'instant auquel cascadeur et chariot se trouvent à la même hauteur: c'est l'instant du saut.
Fixons aussi l'origine $O$ au départ du cascadeur.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth]
\coordinate (O) at (0,0);
\coordinate (D) at (5,0);
\coordinate (Dz) at ($(D) +(30:2)$);
\coordinate (C) at ($(D) +(30:1.5)$);
\coordinate (B) at ($(D) +({30+180}:5)$);
\coordinate (A) at ($(B) +(2,0)$);
\draw[dashed] (O) -- (D) node[pos=.5,above] {$d$};
\draw (D) -- (Dz);
\draw (D) -- (B);
\draw[dashed] (A) -- (B);
\path (A) pic["$\alpha$", draw=black, -,angle eccentricity=1.2, angle radius=1cm]
{angle=A--B--D};
% \draw
% (3,-1) coordinate (a) node[right] {a}
% -- (0,0) coordinate (b) node[left] {b}
% -- (2,2) coordinate (c) node[above right] {c}
% pic["$\alpha$", <->, angle eccentricity=1.2, angle radius=1cm]
% {angle=a--b--c};
% \draw[fill=gray!50] (-2,0) -- (0,0) -- (0,-.5) -- (-2,-.5);;
% personnage courant à droite
% origine sous les pieds, à la verticale du corps
\begin{scope}[transform canvas={shift={(O)},rotate=0,scale=1},xscale=1,yscale=1]
% \draw (0,0) circle (0.01); % ancrage
\draw (0,.7) circle (0.1) node[right=3pt] {$m$}; % tête
\draw (0,.6) -- (0,.25); % corps
\draw (0,.25) -- (-.17,.1); % jambe arrière
\draw (-.17,.1) -- (-.3,.22);
\draw (0,.25) -- (.25,.35); % jambe avant
\draw (.25,.35) -- (.16,.13);
\draw (0,.5) -- (-.22,.4); % bras arrière
\draw (0,.5) -- (.2,.44); % bras avant
\end{scope}
\draw[->,thick] (O) node[below] {$O$} node[left=2pt] {$t=0$} -- +(1,0) node[pos=.5,below] {$\vec{v}_0$};
\draw (D) node[above=5pt] {$t=0$} -- ++({30}:.2)-- ++({30+90}:.2);
\draw (D) -- ++({30+180}:.2)-- ++({30+90}:.2);
\draw[->,thick] (D) node[below right=0pt] {$M$} -- +({30+180}:1) node[pos=.5,below right] {$\vec{v}_\text{w}$};
\draw[->,orange] (.5,-.5) -- +(1,0) node[right] {$\vec{e}_x$};
\draw[->,orange] (.5,-.5) -- +(0,-1) node[below] {$\vec{e}_y$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
La condition de rencontre s'écrit
$$\exists\,t_r \text{ t.q. } \vec{r}_\text{c}(t_r)=\vec{r}_\text{w}(t_r)\,. \pnt{\quad \text{1\,pt}}$$
\begin{itemize}
\item Le cascadeur est en chute libre: $\vec{a}_\text{c}=\vec{g}$\,. Alors
$$\vec{r}_\text{c}(t) = \frac{1}{2}\vec{g}t^2+\vec{v}_0t\,. $$
\item Le wagon avance à vitesse constante:
$$\vec{r}_\text{w}(t) = \vec{v}_\text{w}t\,. $$
\item Rencontre à $t_r$
Selon $\vec{e}_x$ (avec $v_\text{w}>0$):
$$v_0 t_r = -v_\text{w} \cos\alpha t_r+d = - \frac{\sqrt{3}}{2} v_\text{w} t_r+d\,.$$
Selon $\vec{e}_y$:
$$\frac{1}{2}gt_r^2 = v_\text{w} \sin\alpha t_r = v_\text{w} \frac{1}{2} t_r\,.$$
\item De la deuxième équation, on a $t_r=0$ (sans intérêt) et
$$t_r=\frac{2v_\text{w} \sin\alpha}{g} = \frac{v_\text{w}}{g} \,.$$
Ainsi
$$v_0 = -v_\text{w} \cos\alpha +\frac{d}{t_r}= -v_\text{w} \cos\alpha +\frac{gd}{2v_\text{w} \sin\alpha} = - \frac{\sqrt{3}}{2} v_\text{w} +\frac{gd}{v_\text{w}} = - \frac{\sqrt{3}}{2} v_\text{w} +\frac{\sqrt{3} v_\text{w}^2}{v_\text{w}} = \frac{\sqrt{3}}{2} v_\text{w}\,.$$
\end{itemize}
}\fi

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