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Sat, Nov 9, 15:56

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\newpage
\subsection*{Troisi\`eme partie, questions de type ouvert}
\noindent
\begin{itemize}
\item Ceci est la plus petite partie de l'examen (elle compte {\bf 16 points}).
\item En g\'en\'eral, il ne s'agit pas de questions \`a choix multiple ; toutefois, il faut imp\'erativement que vous mettiez vos r\'eponses dans les cases pr\'evues \`a cet effet !
\item Vous pouvez utiliser les feuilles (recto-verso) comme brouillon. Seules les r\'eponses dans les cases sont valides !
\item Il est possible que parfois plusieurs r\'eponses soient valables !
\item Laisser libre les cases \`a cocher : elles sont r\'eserv\'ees au correcteur.
\end{itemize}
\bigskip
%% Leave at least 2 empty lines after the \bigskip
%% ===============================
\renewcommand{\correctorChoices}{
\correctchoice[0]{}\scoring{b=0}
\correctchoice[Y]{}\scoring{b=0.5}
\correctchoice[X]{}\scoring{b=1}
\correctchoice[W]{}\scoring{b=1.5}
\correctchoice[V]{\qquad}\scoring{b=2}
}
\correctorTwo{q-sem-01}{ \textit{Cette question est notée sur 4 points. (2 fois 2 points)} }
%\renewcommand{\AMCbeginQuestion}[2]{\QuestionText{#1}}
%\def\QuestionText{\TEXT}
%\def\TEXT#1{}
%\def\NOTEXT#1{}
\bigskip
%% Leave at least 2 empty lines after the \bigskip
\noindent
\begin{enumerate}
\item Existe-t-il des fonctions surjectives $f: A\to B$ ?
\begin{table}[h]
\Large
\centering
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$A$ & $B$ & Oui & Non \\
\hline
$\{1,2\}$ & $\{1,2,3\}$ && \\
\hline
$\{1,2,3\}$ & $\{1,2\}$ && \\
\hline
$\N$ & $\Z$ && \\
\hline
$]0,1[$ & $\R$ && \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
%% ===============================
\item Existe-t-il des fonctions surjectives \emph{et continues} $f: A \to B$ ?
\begin{table}[h]
\Large
\centering
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$A$ & $B$ & Oui & Non \\
\hline
$[0,1]$ & $[-1,2]$ && \\
\hline
$[-1,1]$ & $\R$ && \\
\hline
$]-1,1[$ & $\R\backslash \{0\}$ && \\
\hline
$[-2,0] \cup [1,4]$ & $[-1,0[ \cup [1, 2]$ && \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
\end{enumerate}
%% ===============================
\newpage
\correctorTwo{q-sem-02}{ \textit{Cette question est notée sur 4 points.} }
\bigskip
%% Leave at least 2 empty lines after the \bigskip
\noindent
Soit $A$ un ensemble ouvert et born\'e et $B$ un ensemble ferm\'{e} dans $\R$. On suppose que $A \cap B \neq \emptyset$.
Les sous-ensembles de $\R$ suivants sont-ils ouverts, ferm\'es, born\'es ? Justifier la r\'eponse !
\begin{table}[h]
\Large
\centering
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Ensemble & ouvert & ferm\'e & born\'e \\
\hline
$A\setminus B$ &&& \\
\hline
$B\setminus A$ &&& \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
\\
\noindent
\textit{Justification :}
\\
\OpenBox{8cm}
\bigskip
%% ===============================
\correctorTwo{q-sem-03}{ \textit{Cette question est notée sur 4 points.} }
\bigskip
%% Leave at least 2 empty lines after the \bigskip
\noindent
Calculer les rayons de convergence des s\'eries enti\`eres suivantes.
\begin{align*}
i)\quad \sum_{k=0}^\infty k (x-1)^k && ii)\quad \sum_{k=0}^\infty \frac1{2^k}\, x^k && iii)\quad \sum_{k=0}^\infty k! x^k
\end{align*}
\begin{table}[h]
\Large \centering
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
S\'erie & Rayon de convergence \\
\hline
$i)$ & \\
\hline
$ii)$ & \\
\hline
$iii)$ & \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
%% ===============================
\newpage
\correctorTwo{q-sem-04}{ \textit{Cette question est notée sur 4 points. (2 fois 2 points)} }
\bigskip
%% Leave at least 2 empty lines after the \bigskip
\noindent
\begin{enumerate}
\item L'assertion suivante est-elle vraie ou fausse ?
\newline Soient $f: [a,b]\to \R$ et $g: [a,b]\to \R$ deux fonctions escaliers relatives aux
partitions $P, Q\subset [a,b]$ respectivement. Alors, le produit $fg$ est encore une fonction escalier.
\begin{table}[h]
\Large
\centering
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
Vraie & Fausse \\
\hline
& \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
\item Si l'assertion est vraie, la fonction $fg$ est une fonction escalier relative \`a quelle partition?
\newline Si l'assertion est fausse, justifier la r\'eponse !
\end{enumerate}
\bigskip
%% Leave at least 2 empty lines after the \bigskip
\noindent
\textit{Partition ou justification :}
\\
\OpenBox{14cm}

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