{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### PROPOSITION：\n",
    "Soient $V=\\mathbb{R}^{n}$ muni du produit scalaire usuel et $A \\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ une matrice de taille $n \\times n$ à coefficients réels. Alors les conditions suivantes sont équivalentes.\n",
    "1. $\\|A X\\|=\\|X\\|$ pour tout $X \\in M_{n \\times 1}(\\mathbb{R})$\n",
    "2. $\\langle A X, A Y\\rangle=\\langle X, Y\\rangle$ pour tous $X, Y \\in M_{n \\times 1}(\\mathbb{R})$\n",
    "3. $A A^{T}=I_{n}=A^{T} A$\n",
    "4. Les lignes de $A$ forment une base orthonormée de $V$\n",
    "5. Les colonnes de $A$ (vues comme vecteurs de $\\mathbb{R}^{n}$ ) forment une base orthonormée de $V$.\n",
    "Aussi, si $A$ est orthogonale, alors det $A=\\pm 1$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
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 "metadata": {
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   "language": "python",
   "name": "python3"
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