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   "source": [
    "## Concepts-clés 10.3\n",
    "### DÉFINITION 1： \n",
    "Soit $A \\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$. On dit que $A$ est orthogalement diagonalisable s'il existe une matrice orthogonale $P \\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ telle que $P^{-1} A P$ soit diagonale. Aussi, si $V$ désigne un espace euclidien et $T: V \\rightarrow V$ une transformation linéaire de $V$, on dit que $T$ est orthogonalement diagonalisable si $V$ possède une base orthonormée formée de vecteurs propres de $T$.\n",
    "### REMARQUE 2:  \n",
    "Soit $A \\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ une matrice orthogonalement diagonalisable et supposons que $P \\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ soit comme ci-dessus. Alors $P^{T} A P=P^{-1} A P$\n",
    "### PROPOSITION 3:\n",
    "Soit $A \\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ une matrice orthogonalement diagonalisable. Alors $A$ est une matrice symétrique.  \n",
    "### REMARQUE 4:  \n",
    "La réciproque est également vraie!"
   ]
  },
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   "source": [
    "## Concepts-clés 10.4\n",
    "### PROPOSITION:  \n",
    "Soient $A \\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ une matrice symétrique et $\\lambda \\neq \\mu$ deux valeurs propres distinctes pour $A .$ Si $u \\in E_{\\lambda}$ et $v \\in E_{\\mu},$ alors $u$ et $v$ sont orthogonaux (pour le produit scalaire usuel de $\\mathbb{R}^{n}$ ).  \n",
    "### THÉORÈME SPECTRAL： \n",
    "Soit $A \\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ une matrice symétrique. Alors il existe une matrice $P \\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ orthogonale telle que $P^{T} A P$ soit diagonale, i.e. $A$ est orthogonalement diagonalisable.\n",
    "### REMARQUE： \n",
    "1. Soit $A \\in M_{n \\times n}$ ( $\\mathbb{R}$ ) . Alors $A$ est orthogonalement diagonalisable si et seulement si elle est symétrique.\n",
    "2. Soit $A \\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ une matrice symétrique. Alors il est possible de factoriser $c_{A}(t)$ en un produit de facteurs linéaires sur $\\mathbb{R}$. En particulier, $c_{A}(t)$ n'admet aucune racine purement complexe. Autrement dit, si $\\alpha$ est une racine de $c_{A}(t),$ alors $\\alpha \\in \\mathbb{R}$\n",
    "3. Pour chaque valeur propre $\\lambda \\in \\mathbb{R}$ de $A$, la dimension de l'espace propre $E_{\\lambda}$ est égale à la multiplicité algébrique de $\\lambda$ comme racine de $c_{A}(t)$\n",
    "\n",
    "### THÉORÈME #:  \n",
    "Soit $T: V \\rightarrow V$ une transformation linéaire d'un espace euclidien et $\\mathscr{B}$ une base orthonormée (arbitrairement choisie) de $V$. Alors $T$ est orthogonalement diagonalisable si et seulement si $[T]_{\\mathscr{B}}$ est symétrique."
   ]
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    "import plotly.graph_objects as go\n",
    "import sys, os\n",
    "sys.path.append('../Chapitre 8 - Valeurs propres, vecteurs propres, diagonalisation')\n",
    "from Ch8_lib import *\n",
    "sys.path.append('../Librairie')\n",
    "import AL_Fct as al\n",
    "from Ch10_lib import *\n",
    "from sympy import sqrt, sin, cos, pi"
   ]
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    "### Exercice 1\n",
    "En utilisant le cours et et les énoncés rappelés ci-dessus, repondez aux questions suivantes."
   ]
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    "vf_10_4_1()"
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    "### Exercice 2\n",
    "En étudiant les ensembles de valeurs propres et de vecteurs propres suivants, dire si les matrices correspondantes sont symétriques ou non, ou si il manque d'informations pour répondre."
   ]
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    "### Exercice 3 \n",
    "En utilisant les théorèmes vus dans ce chapitre, generez une matrice répondant aux conditions données dans l'énoncé  suivant."
   ]
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