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Mon, Jun 3, 11:34

corrections.py
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import sys
sys.path.insert(0, './../')
import numpy as np
import plotly
plotly.offline.init_notebook_mode(connected=True)
import ipywidgets as widgets
from IPython.display import display, Latex
from ipywidgets import interact_manual, Layout
from Librairie.AL_Fct import printA, texMatrix, isDiag, isSym
def Ex2Chapitre2_1():
"""Provides the correction of exercise 2 of notebook 2_1
"""
a = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r'Il existe \(\lambda\in \mathbb{R}\) tel que \((A-\lambda B)^T\) soit échelonnée réduite',
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='30px')
)
b = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r'Il existe \(\lambda\in \mathbb{R}\) tel que \((A-\lambda B)^T\) soit échelonnée (mais pas réduite)',
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='30px')
)
c = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r"Il n'existe pas de \(\lambda\in \mathbb{R}\) tel que \((A-\lambda B)^T\) soit échelonnée",
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='30px')
)
def correction(a, b, c):
if a and not c and not b:
display(Latex("C'est correct! Pour $\lambda=-3$ La matrice échelonnée réduite est:"))
A = [[1, 0, -2, 3], [0, 1, -1, 7]]
printA(A)
else:
display(Latex("C'est faux."))
interact_manual(correction, a=a, b=b, c=c)
return
def Ex3Chapitre2_1():
"""Provides the correction of exercise 3 of notebook 2_1
"""
a = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r'\(C_{32}\) vaut -14',
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='30px')
)
b = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r'\(C_{32}\) vaut 14',
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='30px')
)
c = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r'\(C_{32}\) vaut -10',
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='30px')
)
d = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r"\(C_{32}\) n'existe pas",
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='30px')
)
def correction(a, b, c, d):
if c and not a and not b and not d:
display(Latex("C'est correct! La matrice C vaut:"))
C = [[-6, 64], [-32, -22], [28, -10], [-2, 6]]
printA(C)
else:
display(Latex("C'est faux."))
interact_manual(correction, a=a, b=b, c=c, d=d)
return
def Ex1Chapitre2_2():
"""Provides the correction of exercise 1 of notebook 2_2
"""
a = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r'Le produit $AB$ vaut: <br>'
r'\begin{equation*} \qquad AB = \begin{pmatrix}-1 & 4\\-3& -3\\2 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}',
disabled=False,
layout=Layout(width='100%', height='110px')
)
b = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r'Le produit $AB$ vaut: <br>'
r'\begin{equation*} \qquad AB =\begin{pmatrix}-1 & 8\\-3& 3\\-2 & 4\end{pmatrix}\end{equation*}',
disabled=False,
layout=Layout(width='100%', height='110px')
)
c = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r'Le produit $AB$ vaut: <br>'
r'\begin{equation*} \qquad AB =\begin{pmatrix}5 & -4\\1 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}',
disabled=False,
layout=Layout(width='100%', height='90px')
)
d = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r"Le produit $AB$ n'est pas défini",
disabled=False,
layout=Layout(width='100%', height='60px')
)
def correction(a, b, c, d):
if b and not a and not c and not d:
display(Latex("C'est correct!"))
else:
display(Latex("C'est faux."))
interact_manual(correction, a=a, b=b, c=c, d=d)
return
def Ex2Chapitre2_2():
"""Provides the correction of exercise 2 of notebook 2_2
"""
a = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r'Le produit $AB$ appartient à $\mathcal{M}_{3 \times 3}(\mathbb{R})$',
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='50px')
)
b = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r'Le produit $AB$ appartient à $\mathcal{M}_{3 \times 2}(\mathbb{R})$',
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='50px')
)
c = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r'Le produit $AB$ appartient à $\mathcal{M}_{2 \times 1}(\mathbb{R})$',
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='50px')
)
d = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r"$AB$ n'est pas définie",
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='50px')
)
def correction(a, b, c, d):
if c and not a and not b and not d:
A = [[14], [6]]
texA = '$' + texMatrix(A) + '$'
display(Latex(r"C'est correct! Le produit $ AB$ vaut: $AB$ = " + texA))
else:
display(Latex("C'est faux."))
interact_manual(correction, a=a, b=b, c=c, d=d)
return
def Ex3Chapitre2_2():
"""Provides the correction of exercise 3 of notebook 2_2
"""
display(Latex("Insérez les valeurs de a et b"))
a = widgets.FloatText(
value=0.0,
step=0.1,
description='a:',
disabled=False
)
b = widgets.FloatText(
value=0.0,
step=0.1,
description='b:',
disabled=False
)
display(a)
display(b)
def f():
A = np.array([[-1, 2], [5, -2]])
B = np.array([[-1, 1], [a.value, b.value]])
AB = np.dot(A,B)
texAB = '$' + texMatrix(AB) + '$'
BA = np.dot(B,A)
texBA = '$' + texMatrix(BA) + '$'
if a.value == 5/2 and b.value == -3/2:
display(Latex(r"Correcte! Le produits $AB$ et $BA$ valent chacun: " + texAB))
else:
display(Latex(r"Incorrecte! Le produit $AB$ vaut " + texAB + r"et par contre le produit "
r"$BA$ vaut " + texBA + r". Entrez de nouvelles valeurs!"))
interact_manual(f)
return
def Ex1Chapitre2_3(A, B, C):
"""Provides the correction to exercise 1 of notebook 2_3
:param A: original matrix
:type A: list[list] or numpy.ndarray
:param B: matrix such that A+B should be diagonal
:type B: list[list] or numpy.ndarray
:param C: matrix such that A+C should be symmetric and not diagonal
:type C: list[list] or numpy.ndarray
:return:
:rtype:
"""
if not type(A) is np.ndarray:
A = np.array(A)
if not type(B) is np.ndarray:
B = np.array(B)
if not type(C) is np.ndarray:
C = np.array(C)
ans1 = isDiag(A+B)
ans2 = isSym(A+C) and not isDiag(A+C)
if ans1 and ans2:
display(Latex('Correcte!'))
else:
display(Latex('Incorrecte! Entrez des nouvelles valeurs pur le matrices B et C!\n'))
if ans1:
display(Latex("A+B est bien diagonale!"))
else:
display(Latex("A+B est n'est pas diagonale!"))
texAB = '$' + texMatrix(A+B) + '$'
display(Latex(r"A+B=" + texAB))
if ans2:
display(Latex("A+C est bien symétrique et non diagonale!"))
elif isSym(A + C) and isDiag(A + C):
display(Latex("A+C est bien symétrique mais elle est aussi diagonale!"))
else:
display(Latex("A + C n'est pas symétrique"))
texAC = '$' + texMatrix(A + C) + '$'
display(Latex(r"A+C=" + texAC))
return
def Ex2Chapitre2_3():
"""Provides the correction to exercise 2 of notebook 2_3
"""
a = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r'$(A^{-1})^T$ et $(A^T)^{-1}$ sont triangulaires supérieures mais différentes',
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
b = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r'$(A^{-1})^T$ et $(A^T)^{-1}$ sont triangulaires inférieures mais différentes',
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
c = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r'$(A^{-1})^T$ et $(A^T)^{-1}$ sont triangulaires inférieures et identiques',
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
d = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r'$(A^{-1})^T$ et $(A^T)^{-1}$ sont triangulaires supérieures et identiques',
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
def correction(a, b, c, d):
if d and not a and not c and not b:
A = np.array(([-1, 0, 0], [3, 1/2, 0], [1, 2, 1]))
res = np.transpose(np.linalg.inv(A))
texAres = '$' + texMatrix(res) + '$'
display(Latex("C'est correct! $(A^T)^{-1}$ est donnée par: $\quad$" + texAres))
else:
display(Latex("C'est faux."))
interact_manual(correction, a=a, b=b, c=c, d=d)
return
def Ex1Chapitre2_4():
"""Provides the correction to exercise 2 of notebook 2_4
"""
a = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r'Le système admet une solution unique et elle est:'
r'$$\qquad \qquad x = \begin{pmatrix} 1&4/3&4/3\end{pmatrix}^T$$',
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='70px')
)
b = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r"Le système n'admet aucune solution",
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
c = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r'Le système admet une solution unique et elle est:'
r'$$\qquad \qquad x = \begin{pmatrix} 1&4/3&8/3\end{pmatrix}^T$$',
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='70px')
)
d = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r'Le système admet plusieurs solutions',
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
e = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r'$A$ est inversible et son inverse est: <br>'
r'$$\qquad \qquad A^{-1} = \begin{pmatrix} 1/2&0&1/2\\1/2&-1/3&5/3\\1/2&-2/3&5/6\end{pmatrix}$$',
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='100px')
)
f = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r"$A$ n'est pas inversible",
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
g = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r'$A$ est inversible et son inverse est:'
r'$$\qquad \qquad A^{-1} = \begin{pmatrix} 1/2&0&1/2\\1/2&-1/3&5/3\\1/2&-2/3&-1/2\end{pmatrix}$$',
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='100x')
)
def correction(a, b, c, d, e, f, g):
if c and e and not a and not b and not d and not f and not g:
display(Latex("C'est correct!"))
else:
display(Latex("C'est faux."))
interact_manual(correction, a=a, b=b, c=c, d=d, e=e, f=f, g=g)
return
def Ex2Chapitre2_4():
"""Provides the correction to exercise 3 of notebook 2_4
"""
a = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r"Le système n'admet une solution unique que si $\alpha < 2$",
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
b = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r"Le système n'admet une solution unique que si $\alpha \geq 2$",
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
c = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r'Le système admet une solution unique $\forall \alpha \in \mathbb{R}$',
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
d = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r"Le système n'admet aucune solution si $\alpha < 2$, alors qu'il admet une solution unique si "
r"$\alpha \geq 2$",
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
e = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r"Le système admet plusieurs solutions si $\alpha \neq 2$, alors qu'il admet une solution unique si"
r" $\alpha = 2$",
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
f = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r"Le système n'admet jamais une solution unique, quelle que soit $\alpha \in \mathbb{R}$",
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
def correction(a, b, c, d, e, f):
if f and not a and not b and not c and not d and not e:
display(Latex("C'est correct!"))
else:
display(Latex("C'est faux."))
interact_manual(correction, a=a, b=b, c=c, d=d, e=e, f=f)
return
def Ex1aChapitre2_5():
"""Provides the correction to exercise 1a of notebook 2_5
"""
a = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r'\(E_1E_2\) multiplie la ligne 4 par -6 et échange les lignes 2 et 3',
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
b = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r'\(E_1E_2\) ajoute 6 fois la ligne 4 à la ligne 2 et échange les lignes 1 et 3',
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
c = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r'\(E_1E_2\) échange les lignes 1 et 3 et ajoute -6 fois la ligne 4 à la ligne 2',
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
d = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r"\(E_1E_2\) ajoute -6 fois la ligne 4 à la ligne 2 et échange les lignes 1 et 2",
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
def correction(a, b, c, d):
if c and not(a) and not(d) and not(b):
display(Latex("C'est correct! Par exemple, si on applique le produit à la matrice ci-dessous"))
A=[[1,-1,0,0], [0,0,0,1], [1,2,1,2], [1,0,0,1]]
B=[[1,0,0,0], [0,1,0,-6], [0,0,1,0], [0,0,0,1]]
C=[[0,0,1,0], [0,1,0,0], [1,0,0,0], [0,0,0,1]]
BCA = np.linalg.multi_dot([B,C,A])
texA = '$' + texMatrix(A) + '$'
texBCA = '$' + texMatrix(BCA) + '$'
display(Latex('$\qquad A = $' + texA))
display(Latex("on obtient"))
display((Latex('$\qquad \hat{A} = $' + texBCA)))
else:
display(Latex("C'est faux."))
interact_manual(correction,a=a,b=b,c=c,d=d)
return
def Ex1bChapitre2_5(inv):
"""Provides the correction to exercise 1b of notebook 2_5
:param inv: inverse of the matrix to be calculated
:type inv: list[list]
"""
if inv == [[0, 0, 1, 0], [0, 1, 0, 6], [1, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 1]]:
display(Latex("C'est correct!"))
else:
display(Latex("C'est faux."))
return
def Ex2aChapitre2_5(A, B, T, D, L):
"""Provides the correction to exercise 2a of notebook 2_5
:param A: starting matrix
:type A: list[list]
:param B: target matrix
:type B: list[list]
:param T: permutation (type I) matrix
:type T: list[list]
:param D: scalar multiplication (type II) matrix
:type D: list[list]
:param L: linear combination (type III) matrix
:type L: list[list]
"""
if ~(B - np.linalg.multi_dot([L, D, T, A])).any():
display(Latex("C'est correct!"))
else:
display(Latex("C'est faux."))
str = 'Il faut entrer la/les matrice(s) {'
if (np.asmatrix(T) - np.asmatrix([[0, 0, 1], [0, 1, 0], [1, 0, 0]])).any():
str = str + ' T, '
if (np.asmatrix(D) - np.asmatrix([[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 5]])).any():
str = str + ' D, '
if (np.asmatrix(L) - np.asmatrix([[1, 0, 0], [-4, 1, 0], [0, 0, 1]])).any():
str = str + ' L, '
str = str + '}. Le produit des matrices entrées vaut:'
display(Latex(str))
tmp = np.linalg.multi_dot([L, D, T, A])
texM = '$' + texMatrix(tmp) + '$'
display(Latex('$\qquad \hat{B} = $' + texM))
return
def Ex2bChapitre2_5(inv):
"""Provides the correction to exercise 2b of notebook 2_5
:param inv: inverse of the matrix to be calculated
:type inv: list[list]
"""
if inv == [[0, 0, 1/5], [4, 1, 0], [1, 0, 0]]:
display(Latex("C'est correct!"))
else:
display(Latex("C'est faux."))
return
def Ex1Chapitre2_6_7():
"""Provides the correction to exercise 1 of notebook 2_6-7
"""
a = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r'$A^{-1}$ existe et le système admet plusieurs solutions, quelle que soit la valeur de $b$',
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
b = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r'$A^{-1}$ existe et le système admet une solution unique ou plusieurs solutions en fonction '
r'de la valeur de $b$',
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
c = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r'$A$ est inversible et le système admet une solution unique, quelle que soit la valeur de $b$',
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
d = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r'$A^{-1}$ existe et le système admet au moins une solution, quelle que soit la valeur de $b$',
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
e = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r"$A$ n'est pas inversible et le système admet une unique solution ou plusieurs solutions, "
r"selon la valeur de $b$ ",
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
f = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r"$A$ n'est pas inversible et le système admet une solution unique, "
r"quelle que soit la valeur de $b$",
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
g = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r"Le système admet une solution unique et $A$ n'est pas inversible",
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
h = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r'Le système admet une solution unique et $A$ est inversible',
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
def correction(a, b, c, d, e, f, g, h):
if c and d and h and not a and not b and not e and not f and not g:
display(Latex("C'est correct!"))
else:
display(Latex("C'est faux."))
interact_manual(correction, a=a, b=b, c=c, d=d, e=e, f=f, g=g, h=h)
return
def Ex2Chapitre2_6_7():
"""Provides the correction to exercise 2 of notebook 2_6-7
"""
a = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r'$A_1$ est inversible',
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
b = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r'$A_2$ est inversible',
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
c = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r'$A_3$ est inversible',
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
def correction(a, b, c):
if a and not b and not c:
A1 = np.array([[2, 0, 1], [0, 6, 4], [2, 2, 1]])
A1_inv = np.linalg.inv(A1)
texA1inv = '$' + texMatrix(A1_inv) + '$'
display(Latex("C'est correct! $A_1$ est la seule matrice inversible et son inverse est: $\quad A_1^{-1} = $"
+ texA1inv))
else:
display(Latex("C'est faux."))
interact_manual(correction, a=a, b=b, c=c)
return
def Ex3Chapitre2_6_7():
"""Provides the correction to exercise 3 of notebook 2_6-7
"""
style = {'description_width': 'initial'}
a = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r"Si $\alpha = 4$ et $\beta = 2$, alors $A$ n'est pas inversible et le système linéaire "
r"admet une infinité de solutions",
disabled=False,
style=style,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
b = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r"Si $\alpha=8$ et $\beta=-1$, alors $A$ n'est pas inversible et le système linéaire n'admet pas de"
r" solutions",
disabled=False,
style=style,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
c = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r"Si $\alpha=-2$ et $\beta=-4$, alors $A$ n'est pas inversible et le système linéaire admet "
r"une infinité de solutions",
disabled=False,
style=style,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
d = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r"Si $\alpha=8$ et $\beta=1$, alors $A$ n'est pas inversible et le système linéaire admet "
r"une infinité de solutions",
disabled=False,
style=style,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
e = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r"Si $\alpha=-4$ et $\beta=-2$, alors $A$ n'est pas inversible et le système linéaire n'admet pas "
r"de solutions",
disabled=False,
style=style,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
f = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r'Si $\alpha=4$ et $\beta=1$, alors $A$ est inversible et le système linéaire admet une infinité '
r'de solutions',
disabled=False,
style=style,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
g = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r'Si $\alpha=4$ et $\beta=1$, alors $A$ est inversible et le système linéaire admet une solution'
r' unique',
disabled=False,
style=style,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
h = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r"Pour infinite de valeurs de $\alpha$ et $\beta$ $A$ n'est pas inversible, mais seulement pour l'un"
r" d'eux le système admet une infinité de solutions",
disabled=False,
style=style,
layout=Layout(width='100%', height='40px')
)
def correction(a, b, c, d, e, f, g, h):
if c and e and g and h and not a and not b and not d and not f:
display(Latex(r"C'est correct! En effet $A$ n'est pas inversible si $\alpha = \dfrac{8}{\beta}$ (résultat "
r"obtenu en divisant par élément les lignes de A les unes par les autres et en imposant que "
r"les résultats des divisions soient les mêmes). De plus, si $\alpha = -2$ et $\beta = -4$, "
r"alors le système admet une infinité de solutions, puisque les rapports obtenus par la "
r"division est $-\dfrac{1}{2}$, qui est égal au rapport entre les éléments du vecteur de droite "
r"$b$."))
else:
display(Latex("C'est faux."))
interact_manual(correction, a=a, b=b, c=c, d=d, e=e, f=f, g=g, h=h)
return
def Ex4Chapitre2_6_7():
"""Provides the correction of exercise 4 of notebook 2_6-7
"""
display(Latex("Insérez les valeurs de a et b"))
a = widgets.FloatText(
value=0.0,
step=0.1,
description='a:',
disabled=False
)
b = widgets.FloatText(
value=0.0,
step=0.1,
description='b:',
disabled=False
)
display(a)
display(b)
def f():
A = np.array([[0.5, a.value, 1], [0, 2, -1], [-2, 1, b.value]])
B = np.array([[-6, -2, -2], [4, 2, 1], [8, 3, 2]])
AB = np.dot(A, B)
texAB = '$' + texMatrix(AB) + '$'
BA = np.dot(B, A)
texBA = '$' + texMatrix(BA) + '$'
if a.value == -1 and b.value == -2:
display(Latex(r"Correcte! Le produits $AB$ et $BA$ valent chacun: $I$ = " + texAB))
else:
display(Latex(r"Incorrecte! Le produit $AB$ vaut " + texAB + r" et le produit "
r"$BA$ vaut " + texBA + r", donc $A$ ne peut pas être l'inverse de $B$. "
r"Entrez de nouvelles valeurs!"))
interact_manual(f)
return
def Ex1Chapitre2_8_9(E1, E2, E3, E4):
"""Provides the correction of exercise 2 of notebook 2_8_9
:param E1:
:type E1:
:param E2:
:type E2:
:param E3:
:type E3:
:param E4:
:type E4:
:return:
:rtype:
"""
# MATRIX A1
E_pre_1 = [[1, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1]]
E_post_1 = [[1, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 0], [1, 0, 0, 1]]
# MATRIX A2
E_pre_2 = [[1, 0, 0, 0], [0, 0, 1, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 0, 1]]
E_post_2 = [[1, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 1/2, 0], [0, 0, 0, -1]]
# MATRIX A3
E_pre_3 = [[1, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, -1]]
E_post_3 = [[1, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 1, -2], [0, 0, 0, 1]]
# MATRIX A4
E_pre_4 = [[1/2, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1]]
E_post_4 = [[1, 0, 0, 0], [0, 1, 1, 0], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, -1]]
E_bool = np.zeros(4).astype(bool)
E_bool[0] = E1[0] == E_pre_1 and E1[1] == E_post_1
E_bool[1] = E2[0] == E_pre_2 and E2[1] == E_post_2
E_bool[2] = E3[0] == E_pre_3 and E3[1] == E_post_3
E_bool[3] = E4[0] == E_pre_4 and E4[1] == E_post_4
correct = set(np.where(E_bool)[0]+1)
wrong = set(np.arange(1,5)) - correct
if wrong:
if correct:
display(Latex(f"Corrects: {correct}"))
else:
display((Latex("Corrects: {}")))
display(Latex(f"Manqué: {wrong}"))
else:
display(Latex("C'est correcte."))
return
def Ex3Chapitre2_8_9():
"""Provides the correction of exercise 3 of notebook 2_8_9
"""
a_1 = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r'La matrice $A_1$ admet la décomposition LU',
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='30px')
)
a_2 = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r'La matrice $A_2$ admet la décomposition LU',
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='30px')
)
a_3 = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r'La matrice $A_3$ admet la décomposition LU',
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='30px')
)
def correction(a_1, a_2, a_3):
if not a_1 and a_2 and not a_3:
display(Latex("C'est correct! Plus précisément, la matrice $A_1$ n'admet pas décomposition LU car elle n'est pas inversible, la matrice $A_2$ admet décomposition LU et la matrice $A_3$ n'admet pas décomposition LU car elle ne peut pas être réduite sans échanger deux lignes pendant la méthode d'élimination de Gauss"))
else:
display(Latex("C'est faux."))
interact_manual(correction, a_1=a_1, a_2=a_2, a_3=a_3)
return
def Ex1Chapitre2_10():
"""Provides the correction to exercise 1 of notebook 2_10
"""
a = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r"Le système linéaire n'admet aucune solution",
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
b = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r"Le système linéaire admet une solution unique",
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
c = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r"Le système linéaire admet deux solutions distinctes",
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
d = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r"Le système linéaire admet une infinité de solutions",
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
e = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r"La décomposition LU de $A$ ne peut pas être calculée",
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
f = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r"La dernière colonne de $U$ est entièrement composée de zéros",
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
g = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r'La dernière ligne de $U$ est entièrement composée de zéros',
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
h = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r'La première entrée de la première ligne de $L$ est égale à 1',
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
def correction(a, b, c, d, e, f, g, h):
if not a and not b and not c and d and not e and not f and g and not h:
display(Latex("C'est correct. En effet, $A$ n'est clairement pas inversible, car la dernière ligne est "
"égale à la seconde moins la première, et il en va de même pour le vecteur de droite $b$. "
"Par conséquent, la dernière ligne de $U$ est entièrement composée de zéros (réponse 7) et la "
"dernière entrée du vecteur de droite $b$, après l'application de la méthode d'élimination de "
"Gauss, est également égale à 0. Ainsi, la dernière équation du système linéaire résultant a "
"tous les coefficients égaux à 0, ce qui donne lieu à une infinité de solutions "
"(réponse 4)."))
else:
display(Latex("C'est faux."))
interact_manual(correction, a=a, b=b, c=c, d=d, e=e, f=f, g=g, h=h)
return
def Ex2Chapitre2_10(L, U, b, x, y):
"""Provides the correction to exercise 2 of notebook 2_10
:param L: lower triangular matrix from LU decomposition
:type L: list[list]
:param U: upper triangular matrix from LU decomposition
:type U: list[list]
:param b: right-hand side vector
:type b: list[list]
:param x: system solution
:type x: list[list]
:param y: temporary variable
:type y: list[list]
"""
if type(L) is list:
L = np.array(L)
if type(U) is list:
U = np.array(U)
if type(x) is list:
x = np.array(x)
if type(y) is list:
y = np.array(y)
y_true = np.linalg.solve(L, b)
x_true = np.linalg.solve(U, y)
res_x = np.linalg.norm(x - x_true) / np.linalg.norm(x_true) <= 1e-4
res_y = np.linalg.norm(y - y_true) / np.linalg.norm(y_true) <= 1e-4
if res_x and res_y:
display(Latex("C'est correct"))
else:
display(Latex("C'est faux"))
return
def Ex3Chapitre2_10():
"""Provides the correction to exercise 3 of notebook 2_10
:return:
:rtype:
"""
a = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r"If L is such that all its diagonal elements equal 1, then the temporary variable y is a vector "
r"of ones as well",
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
b = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r"Matrix L is diagonal",
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
c = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r"Matrix U is diagonal",
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
d = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r"The second entry of the solution is always 2.5 times the fourth one",
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
e = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r"The second entry of the solution is always 5 times the fourth one",
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
f = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r"The sum of all the entries always equals 2.5",
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
g = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r"The sum of all the entries but the second one always equals 0",
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
h = widgets.Checkbox(
value=False,
description=r"The vector $\hat{x} = (1, 0 -1, 0)$ is one of the solutions to the linear system",
disabled=False,
layout=Layout(width='80%', height='40px')
)
def correction(a, b, c, d, e, f, g, h):
if a and not b and not c and d and not e and not f and g and h:
display(Latex("C'est correct. Indeed the set of all possible solutions can be written as "
"$x = [1-4a, 2.5a, 3a-1, a]$. From this, it is clear that the second entry is 2.5 times the "
"fourth one (answer 4), that the sum of all the entries but the second one equals $0$ "
"(answer 7) and that $x^* = [1,0,-1,0]$ is a solution, in case $a$ is set to 0 (answer 8). "
"Also, if L is computed so that it has ones on its diagonal, it is immediate to deduce that "
"the temporary vector $y$ that solves the system $Ly=b$ is actually all made of ones."))
else:
display(Latex("C'est faux."))
interact_manual(correction, a=a, b=b, c=c, d=d, e=e, f=f, g=g, h=h)
return
def Ex1Chapitre2_11():
"""Provides the correction to exercise 1 of notebook 2_11
"""
print("Cliquer sur CTRL pour sélectionner plusieurs réponses")
style = {'description_width': 'initial'}
ans1 = widgets.SelectMultiple(
options=['Addition', 'Multiplication', 'Addition par blocs', 'Multiplication par blocs'],
description='Cas 1:',
style=style,
layout=Layout(width='30%', height='90px'),
disabled=False,
)
ans2 = widgets.SelectMultiple(
options=['Addition', 'Multiplication', 'Addition par blocs', 'Multiplication par blocs'],
description='Cas 2:',
style=style,
layout=Layout(width='30%', height='90px'),
disabled=False,
)
ans3 = widgets.SelectMultiple(
options=['Addition', 'Multiplication', 'Addition par blocs', 'Multiplication par blocs'],
description='Cas 3:',
style=style,
layout=Layout(width='30%', height='90px'),
disabled=False,
)
ans4 = widgets.SelectMultiple(
options=['Addition', 'Multiplication', 'Addition par blocs', 'Multiplication par blocs'],
description='Cas 4:',
style=style,
layout=Layout(width='30%', height='90px'),
disabled=False,
)
def correction(ans1, ans2, ans3, ans4):
res_ans = np.zeros(4).astype(bool)
res_ans[0] = 'Sum' in ans1 and 'Multiplication' in ans1 \
and 'Block Sum' in ans1 and not 'Block Multiplication' in ans1
res_ans[1] = 'Sum' in ans2 and 'Multiplication' in ans2 \
and not 'Block Sum' in ans2 and 'Block Multiplication' in ans2
res_ans[2] = not 'Sum' in ans3 and 'Multiplication' in ans3 \
and not 'Block Sum' in ans3 and 'Block Multiplication' in ans3
res_ans[3] = not 'Sum' in ans4 and 'Multiplication' in ans4 \
and not 'Block Sum' in ans4 and not 'Block Multiplication' in ans4
if res_ans.all():
display(Latex("C'est correct!"))
else:
display(Latex("C'est faux."))
correct = set(np.where(res_ans)[0] + 1)
wrong = set(np.arange(1, 5)) - correct
if correct:
display(Latex(f"Corrects: {correct}"))
else:
display((Latex("Corrects: {}")))
display(Latex(f"Manqué: {wrong}"))
interact_manual(correction, ans1=ans1, ans2=ans2, ans3=ans3, ans4=ans4)
return
def Ex2Chapitre2_11():
"""Provides the correction of exercise 2 of notebook 2_11
"""
display(Latex("Insérez votre réponse ici"))
a = widgets.IntText(
value=0,
step=1,
description='Answer:',
disabled=False
)
display(a)
def f():
A_tex = "$$ \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad \\quad" \
" A = \\left(\\begin{array}{@{}cc|cc|c@{}} " \
"a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\\\" \
" a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25} \\\\ " \
"a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{35} \\\\ " \
"a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} & a_{45} " \
"\\end{array}\\right)$$"
if a.value == 8:
display(Latex(r"Correcte! En effet les colonnes de la matrice A doivent être décomposées comme suit, "
r"afin de satisfaire les contraintes de dimensionnalité" + A_tex + r"Ensuite, la décomposition "
"en blocs par lignes peut être effectuée dans l'une des $2^{n-1}=8$ possibilités disponibles."))
else:
display(Latex(r"Incorrecte! Aide: Faites attention à la façon dont A doit être décomposé en blocs par "
r"colonnes."))
interact_manual(f)
return
def Ex3Chapitre2_11(C1, C2, C3):
"""Provides the correction of exercise 3 of notebook 2_11
:param C1:
:type C1:
:param C2:
:type C2:
:param C3:
:type C3:
:return:
:rtype:
"""
C1_true = [[]]
C2_true = [[-1,-4,1], [4,6,2], [1,-1,2]]
C3_true = [[6,7,2], [-10,-11,-2], [4,12,8], [-4,-8,-4]]
C_bool = np.zeros(3).astype(bool)
C_bool[0] = C1 == C1_true
C_bool[1] = C2 == C2_true
C_bool[2] = C3 == C3_true
correct = set(np.where(C_bool)[0]+1)
wrong = set(np.arange(1,4)) - correct
if wrong:
display(Latex("C'est faux."))
if correct:
display(Latex(f"Corrects: {correct}"))
else:
display((Latex("Corrects: {}")))
display(Latex(f"Manqué: {wrong}"))
else:
display(Latex("C'est correcte."))
return
def Ex4Chapitre2_11(A1_inv, A2_inv):
"""Provides the correction to exercise 4 of notebook 2_11
:param A1_inv: inverse of matrix A1
:type A1_inv: list[list]
:param A2_inv: inverse of matrix A2
:type A2_inv: list[list]
"""
A1 = np.array([[1, 2, 0, 1, 0], [0, -2, 1, -1, 0], [-2, -1, 1, 0, 1], [0, 0, 0, 2, 0], [0, 0, 0, 0, 1]])
A1_inv_true = np.linalg.inv(A1)
A1_inv = np.array(A1_inv)
A2_inv_true = [[]]
A_inv_bool = np.zeros(3).astype(bool)
A_inv_bool[0] = A1_inv.shape == A1_inv_true.shape and np.linalg.norm(A1_inv - A1_inv_true) < 1e-6
A_inv_bool[1] = A2_inv == A2_inv_true
correct = set(np.where(A_inv_bool)[0] + 1)
wrong = set(np.arange(1, 3)) - correct
if wrong:
display(Latex("C'est faux."))
if correct:
display(Latex(f"Corrects: {correct}"))
else:
display((Latex("Corrects: {}")))
display(Latex(f"Manqué: {wrong}"))
else:
display(Latex("C'est correcte."))
return

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