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4.9. Rang-ligne et rang-colonne d'une matrice.ipynb
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Sun, Nov 10, 21:06

4.9. Rang-ligne et rang-colonne d'une matrice.ipynb
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{
"cells": [
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"from Ch4Functions import *"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"# Concept(s)-clé(s)\n",
"\n",
"\n",
"\n",
"### DÉFINITION 1 :\n",
"\n",
"Soit $A\\in M_{m\\times n}(\\mathbb{R})$ une matrice de taille $m\\times n$ à coefficients réels.\n",
"\n",
"\n",
"\n",
"1. Le *rang ligne* de $A$ est la dimension de l'espace ligne de $A.$\n",
"\n",
"2. Le *rang colonne* de $A$ est la dimension de l'espace colonne de $A.$\n",
"\n",
"\n",
"\n",
"### REMARQUES 1 :\n",
"\n",
"\n",
"\n",
"1. Le rang ligne de $A$ est plus petit ou égal à $n,$ car c'est un sous-espace vectoriel de $\\mathbb{R}^n.$\n",
"\n",
"2. Le rang ligne de $A$ est plus petit ou égal à $m,$ car engendré par $m$ vecteurs.\n",
"\n",
"3. Le rang colonne de $A$ est plus petit ou égal à $m$ et $n,$ par le même raisonnement.\n",
"\n",
"4. Le rang colonne de $A$ est égal au rang ligne de $A^T.$\n",
"\n",
"5. Le rang ligne de $A$ est égal au rang colonne de $A^T.$\n",
"\n",
"\n",
"\n",
"### PROPOSITION 1 :\n",
"\n",
"Soient $A,B\\in M_{m\\times n}(\\mathbb{R})$ des matrices ligne équivalentes. Alors l'espace ligne de $A$ est égal à l'espace ligne de $B.$ Par conséquent, le rang ligne de $A$ est égal au rang ligne de $B.$\n",
"\n",
"### PROPOSITION 2 :\n",
"\n",
"Soit $A$ une matrice échelonnée. Alors le rang ligne de $A$ est égal au nombre de pivots. Aussi, une base de l'espace ligne de $A$ est donnée par les lignes contenant un pivots."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"### EXERCICE 1\n",
"\n",
"Soit la matrice A :\n",
"\n",
"$$A = \\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6 \\end{pmatrix}$$\n",
"\n",
"Sélectionnez les propositions correctes\n",
"(maintenez CTRL pour sélectionner plusieurs cellules à la fois)"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
<<<<<<< HEAD:Chapitre 4 - Bases et dimension/Prototype 4.9.ipynb
"Ex1Chapitre4_9()\n"
=======
"ch4_9ex1()"
>>>>>>> f0d0ff90679b8d9ae532cb975fb9356f97afc89a:Chapitre 4 - Bases et dimension/4.9. Rang-ligne et rang-colonne d'une matrice.ipynb
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"### EXERCICE 2\n",
"#### 2.1\n",
"Soit la matrice $A$ :\n",
"\n",
"$$A = \\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 2 \\end{pmatrix}$$\n",
"\n",
"Donnez le rang ligne de $A$."
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"ch4_9ex2_1()"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"#### 2.2\n",
"Parmi les ensembles suivants, séléctionnez l'ensemble générant l'espace ligne de $A$\n",
"\n",
"$E_1 = \\begin{Bmatrix}\\begin{pmatrix} 1 \\\\ 2 \\\\ 3 \\end{pmatrix}, \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ 2 \\end{pmatrix}\\end{Bmatrix}$ $E_2 = \\begin{Bmatrix}\\begin{pmatrix} 1 \\\\ 2 \\\\ 3 \\end{pmatrix}, \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ 2 \\end{pmatrix}, \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 0 \\\\ 1 \\end{pmatrix}\\end{Bmatrix}$ \n",
"$E_3 = \\begin{Bmatrix}\\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0\\end{pmatrix}, \\begin{pmatrix} 2 \\\\ 1 \\end{pmatrix}, \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 2 \\end{pmatrix}\\end{Bmatrix}$\n",
"$E_4 = \\begin{Bmatrix}\\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0\\end{pmatrix}, \\begin{pmatrix} 2 \\\\ 1 \\end{pmatrix}\\end{Bmatrix}$"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"ch4_9ex2_2()"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"#### 2.3\n",
"Utilizez la remarque 2 ainsi que les propositions 3 et 4 pour trouver le rang colonne de $A$"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {
"jupyter": {
"source_hidden": true
}
},
"outputs": [],
"source": [
"ch4_9ex2_3()"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"[Passez au notebook du chapitre 4.10](./Prototype%204.10.ipynb)"
]
}
],
"metadata": {
"kernelspec": {
"display_name": "Python 3",
"language": "python",
"name": "python3"
},
"language_info": {
"codemirror_mode": {
"name": "ipython",
"version": 3
},
"file_extension": ".py",
"mimetype": "text/x-python",
"name": "python",
"nbconvert_exporter": "python",
"pygments_lexer": "ipython3",
"version": "3.6.8"
}
},
"nbformat": 4,
"nbformat_minor": 4
}

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