En effet, les quatres vecteurs ne sont pas linéairement indépendants (Déf. 1-2) car il est possible d'exprimer l'un en fonction d'une combinaison des autres. Par exemple :
On ne peut pas générer $\mathbb{R}^3$ à partir de cet ensemble. En effet, on ne peut par exemple pas représenter le vecteur $\\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \end{pmatrix} \\in \mathbb{R}^3$ comme combinaison linéaire de $\\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ 1 \end{pmatrix}$ et $\\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \end{pmatrix}$.
Graphiquement les deux vecteurs ne peuvent engendrer qu'un plan - et non un espace :
""",lambda:plot_vectors([[1,0,0]],[0,1,0],[1]))
defch4_3ex1c():
ch4_3ex1(0,"""
Ces trois vecteurs sont linéairement indépendants, ils engendrent donc $\mathbb{R}^3$ et forment une base de cet espace.
display(Markdown("C'est incorrect, ce vecteur ne permet pas de former une base."))
defch4_6ex1():
text=widgets.IntText(
description='Réponse :',
disabled=False
)
button=widgets.Button(description='Vérifier')
out=widgets.Output()
defcallback(e):
out.clear_output()
r=text.value
feedback=""
is_correct=False
ifr==6:
feedback="Comme la matrice n'est pas nulle, au moins une variable n'est pas libre."
elifr>=7:
feedback="La dimension de l'espace des solutions ne peut excéder la dimension de l'espace des variables."
elifr==5:
is_correct=True
feedback="Le nombre maximal de variables libres dans ce système est $5$. Par la proposition 1 on en déduit la dimension maximale de l'espace des solutions du système homogène $AX = 0$."
elifr>=2andr<=4:
feedback="Ce n'est pas le nombre maximal de variables libres dans ce système."
elifr<=1:
feedback="Le nombre maximal de variables libres dans ce système ne peut être inférieur à $2$ ($\\text{nb. colonnes} - \\text{nb. lignes}$)."
other="<br>La dimension de l'espace des solutions dépend du nombre de variables libres : dans ce système celle-ci peut être au plus $5-3=2$."
ifselect.value!=('0','1','2'):
display(Markdown("C'est incorrect!"+other))
else:
display(Markdown("C'est correct."+other))
button.on_click(verification)
defch4_7_8ex2():
text=widgets.IntText(description='Réponse :')
button=widgets.Button(description='Vérifier')
out=widgets.Output()
defcallback(e):
out.clear_output()
r=text.value
without:
other="<br />En effet, comme la solution de $S_1$ est un plan les deux équations sont dépendantes. La solution de $S_2$ est donc aussi un plan, donc sa dimension est $2$."
ch4_7_8ex3(2,"$V$ est un sous-ensemble de $W$, donc $\dim (W + V) = \dim W = 2$.",lambda:go.Figure(data=[ch4_7_8ex3_plane('A','red',0),ch4_7_8ex3_line('B','blue',0)]).show())
defch4_7_8ex3b():
ch4_7_8ex3(3,"$W$ et $V$ sont deux espaces indépendants, donc $\dim (W + V) = \dim W + \dim V = 2 + 1 = 3$.",lambda:go.Figure(data=[ch4_7_8ex3_plane('A','red',0),ch4_7_8ex3_line('B','blue',3)]).show())
defch4_7_8ex3c():
ch4_7_8ex3(1,"La somme d'un même espace n'a pas d'effet : $\dim (V + V) = \dim V = 1$.",lambda:go.Figure(data=[ch4_7_8ex3_line('A','red',0),ch4_7_8ex3_line('B','blue',0)]).show())
defch4_7_8ex3d():
ch4_7_8ex3(2,"$V_1$ et $V_2$ sont deux espaces indépendants, donc $\dim (V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 = 1 + 1 = 2$.",lambda:go.Figure(data=[ch4_7_8ex3_line('A','red',0),ch4_7_8ex3_line('B','blue',2)]).show())