{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "import numpy as np\n",
    "import sympy as sp\n",
    "from IPython.display import display, Latex\n",
    "from Ch8_lib import *"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Définition 1:\n",
    "Soient $A\\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ et $t$ une indéterminée. Le polynôme caractéristique de $A$, noté $c_A(t)$, est le polynme défini par $$c_A(t)=\\det (A-tI)$$\n",
    "\n",
    "### Proposition 2:\n",
    "Soient $A,P\\in M_{n\\times n}(\\mathbb{R})$ et supposons que soit inversible. Alors \n",
    "$$c_A(t)=c_{PAP^{-1}}(t).$$\n",
    "\n",
    "### Définition 3:\n",
    "Soit $T:V \\to V$ une transformation linéaire d'un $\\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie $V$. On définit le polynôme caractéristique de $T$ par $c_T(t)=c_A(t),$ où $A=[T]_{\\mathscr{B}}$ pour une base ordonnée quelconque $\\mathscr{B}$ de $V$.\n",
    "\n",
    "\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "$\\lambda \\in \\mathbb{R}$ est une valeur propre de $A\\in M_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ si et seulement si: $$ c_A(\\lambda) = \\det (A-\\lambda I) = 0$$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Exemple 1\n",
    "Méthode pour calculer les valeurs propres d'une matrice $3 \\times 3$.\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "# Définition de la matrice (Par défaut, les coefficients sont fixés à 1)\n",
    "A = sp.Matrix([[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]])\n",
    "\n",
    "l = sp.symbols('\\lambda')\n",
    "I = sp.eye(3)\n",
    "\n",
    "# Calcul étape par étape du polynome caractéristique (degré 3 ici).\n",
    "Determinant_3x3(A-l*I, True, True, 3)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "On a donc le polynome caractéristique de la matrice A, les valeurs propres sont les racines de ce polynôme.\n",
    "On résout $$\\det (A- \\lambda I) = 0$$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "# Résolution de l'équation avec sympy\n",
    "eq = sp.Eq(sp.det(A-l*I),0)\n",
    "sol = sp.solve(eq, l)\n",
    "\n",
    "display(Latex(\"Les racines du polynôme caractéristiques (les valeurs propres de A) sont: $\" + \n",
    "              sp.latex(sol) + \"$.\"))"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Exercice 1\n",
    "Trouver les valeurs propres des matrices données ci-dessous en trouvant les racines du polynôme caractéristique.\n",
    "\n",
    "*Pour trouver les racines des polynômes caractéristiques de degré 3 ou 4, factorisez à l'aide de racines évidentes $\\in [-2, -1, 0, 1, 2]$*"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "# Trouver les valeurs propres des matrices suivantes\n",
    "A_1 = sp.Matrix([[-2, 4], [5, -1]])\n",
    "A_2 = sp.Matrix([[1, 2], [3, 1]])\n",
    "A_3 = sp.Matrix([[1, 0, 4], [1, 3, 1], [2, 4, -1]])\n",
    "A_4 = sp.Matrix([[4, 0, 1], [-2, 1, 0], [-2, 0, 1]])\n",
    "A_5 = sp.Matrix([[1, 2, 0, 0], [2, 1, 0, 0], [-4, 2, 2, -1], [-8, 5, 0, 1]])\n",
    "A_6 = sp.Matrix([[4, 0, 0, 0], [7, -11, 0, 0], [-0.5, 2.3, sp.sqrt(2), 0], [-8, 5, 2, 11]])\n",
    "\n",
    "# Matrice à afficher\n",
    "A = A_1\n",
    "display(Latex(\"Trouvez les valeurs propres de la matrice $A =\" + latexp(A) + \"$\"))"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "# Affiche la solution étape par étape pour la matrice spécifiée comme argument de la fontion valeurs_propres\n",
    "valeurs_propres(A_1)"
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
   "version": "3.7.2"
  }
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 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 2
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