{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Théorème\n",
    "Soit $\\phi: V \\rightarrow V$ une transformation linéaire d'un $\\mathbb{R}$-espace vectoriel $V$ de dimension finie $n \\in \\mathbb{N}$. Alors $\\phi$ est diagonalisable si et seulement si il existe $a \\in \\mathbb{R}, \\lambda_{1}, \\ldots, \\lambda_{r} \\in \\mathbb{R}$ distincts et $m_{1}, \\ldots, m_{r} \\in \\mathbb{N}$ tels que\n",
    "$$c_{\\phi}(t)=a\\left(t-\\lambda_{1}\\right)^{m_{1}} \\ldots\\left(t-\\lambda_{r}\\right)^{m_{r}}$$\n",
    "et $m_{i}=\\operatorname{dim} E_{\\lambda_{i}}$ pour tout $1 \\leq i \\leq n$\n",
    "\n",
    "### Critère equivalent de diagonalisabilité\n",
    "Une matrice $A$ $n \\times n$ est diagonalisable si et seulement si A possède $n$ vecteurs propres linéairement indépendant."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "import sys, os\n",
    "sys.path.append('../Librairie')\n",
    "import AL_Fct as al\n",
    "import numpy as np\n",
    "import sympy as sp\n",
    "from IPython.utils import io\n",
    "from IPython.display import display, Latex, Markdown\n",
    "import plotly\n",
    "import plotly.graph_objects as go\n",
    "from Ch8_lib import *"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Exercice 1\n",
    "À l'aide de la représentation graphique des espaces propres associés aux différentes valeurs propres d'une matrice, determinez si cette dernière est diagonalisable. (Aucun long calcul requis).\n",
    "\n",
    "**Si besoin, la méthode à appliquer est donnée plus bas.**"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "A1 = [[3, 4], [0, 3]]\n",
    "A2 = [[1, 3], [4,5]]\n",
    "A3 = [[5, 0, 0],[0, 1, 0], [1, 0, 1]]\n",
    "A4 = [[1, 0, -2],[2 ,1, 0], [0, 0, 3]]\n",
    "\n",
    "# Choisir matrice (A = A1 ou A = A2 ...)\n",
    "A = A1\n",
    "\n",
    "# Executez cette cellule pour faire l'exercice pour la matrice A\n",
    "ch8_8_ex_1(A)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "#### Méthode exercice 1 (en utilisant le théorème donné dans le MOOC)\n",
    "On sait que le polynôme caractéristique d'une matrice $A (n \\times n)$ est d'ordre $n$. \n",
    "\n",
    "Avec $c_A(t)=a(t-\\lambda_{1})^{m_{1}} \\ldots (t-\\lambda_{r})^{m_{r}}$, avec $a \\in \\mathbb{R}$, $r\\leq n$ et  $\\lambda_{1}, \\ldots, \\lambda_{r} \\in \\mathbb{R}$ distincts, on peut en déduire que $\\sum_{i=1}^r m_i = n$\n",
    "\n",
    "Sachant également que $\\dim E_{\\lambda_i} \\leq m_i$, on a $m_i = \\dim E_{\\lambda_i} $ pour tout $ i = 1, .., r$ si et seulement si $\\sum_{i=1}^r \\dim E_{\\lambda_i} = n$ \n",
    "\n",
    "Le théorème donné plus haut indique qu'une matrice est diagonalisable si et seulement si $m_i = \\dim E_{\\lambda_i}$ pour tout $ i = 1, .., r$. \n",
    "\n",
    "On vient de montrer que c'est équivalent à $\\sum_{i=1}^r \\dim E_{\\lambda_i} = n$.\n",
    "\n",
    "Grâce à la représentation graphique des espaces propres, on connait la dimension de chaque espace propre (droite -> $\\dim E_{\\lambda_i} = 1$, plan -> $\\dim E_{\\lambda_i}=2$). Il suffit donc de vérifier que la somme des dimensions de tous les espaces propres est bien égal à $n$.\n",
    "\n",
    "#### Méthode exercice 1 (en utilisant le critère equivalent de diagonalisabilité)\n",
    "Plus simplement, on peut simplement vérifier si il existe $n$ vecteur propres linéairement indépendants. En sachant que deux vecteurs propres associés à des valeurs propres différentes sont linéairement indépendants.\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Exercice 2\n",
    "Determinez si les matrices suivantes sont diagonalisables. Essayez d'utiliser la méthode la plus simple pour chaque cas.\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "# Executez cette cellule pour faire l'exercice avec la matrice A\n",
    "A1 = [[1, 2], [3, 2]]\n",
    "A2 = [[5, -7], [0, 5]]\n",
    "A3 = [[3, 5, -10], [1, 7, 2], [-2, 2, 4]]\n",
    "A4 = [[3, 5, -10], [1, 7, 2], [-2, 2, 4]]\n",
    "A5 = [[1, 0, 0, 0],[11, -5, 0, 0],[-1, 2, 3, 0],[0, -2, 1, -3]]\n",
    "A6 = [[-1, 0, 0, 0],[11, -5, 0, 0],[-1, 2, -1, 0],[0, -2, 1, -1]]\n",
    "\n",
    "# Choisir matrice (A = A1 ou A = A2 ...)\n",
    "A = A6\n",
    "\n",
    "interactive_is_diag(A)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Méthode de diagonalisation\n",
    "Une matrice diagonalisable peut s'exprimer comme: $$A = PDP^{-1}$$ avec $D$ une matrice diagonale, si et seulement si les colonnes de $P$ sont $n$ vecteurs propres de $A$ linéairement indépendants. Dans ce cas, les éléments diagonaux de $D$ sont les valeurs propres de $A$ qui correspondent, respectivement, aux vecteurs propres dans $P$."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Exercice 3\n",
    "Pour les matrices $A$ diagonalisables suivantes, donnez les matrices $P$ et $D$ telles que $A = P D P^{-1}$."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "$$ A_1 = \\left(\\begin{matrix}2 & 3\\\\1 & 4\\end{matrix}\\right) \\hspace{30mm}\n",
    "A_2 = \\left(\\begin{matrix}0 & 0\\\\-2 & -4\\end{matrix}\\right) $$   \n",
    "$$ A_3 = \\left(\\begin{matrix}1 & 6 & 2\\\\0 & 3 & 0\\\\2 & -6 & 1\\end{matrix}\\right) \\hspace{30mm}\n",
    "A_4 = \\left(\\begin{matrix}-2 & -7 & -1\\\\0 & 1 & 0\\\\-1 & -13 & -2\\end{matrix}\\right) $$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "A1 = sp.Matrix([[2, 3], [1, 4]])\n",
    "A2 = sp.Matrix([[0, 0], [-2, -4]])\n",
    "A3 = sp.Matrix([[1, 6, 2], [0, 3, 0], [2, -6, 1]])\n",
    "A4 = sp.Matrix([[-2, -7, -1], [0, 1, 0], [-1, -13, -2]])\n",
    "\n",
    "\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "# Choisir la matrice (A = A1)\n",
    "A = A1\n",
    "\n",
    "# Entrez les matrices P et D trouvée\n",
    "P_user = [[1, 0], [0, 1]]\n",
    "D_user = [[0, 0], [0, 0]]\n",
    "\n",
    "find_P_D(A, P_user, D_user)"
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
   "version": "3.7.2"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 2
}