{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# **Concept(s)-clé(s) et théorie**\n",
    "\n",
    "## Définition 1 - Produit Scalaire\n",
    "Soit $V$ un $\\mathbb{R}$-espace vectoriel. Un **produit scalaire** sur $V$ est une application qui fait correspondre à chaque paire ordonnée $(u,v) \\in V \\times V$ un nombre réel, noté $\\langle u, v \\rangle \\in \\mathbb{R}$, telle que les conditions suivantes soient vérifiées, pour tous $u,v,w \\in V, \\alpha \\in \\mathbb{R}$:\n",
    "\n",
    "1. *Symmétrie*: $\\langle u,v \\rangle = \\langle v, u \\rangle$\n",
    "2. *Additivité*: $\\langle u+v, w \\rangle = \\langle u,w \\rangle + \\langle v,w \\rangle$\n",
    "3. *Bilinearité (combinè avec 2)*: $\\langle \\alpha u, v \\rangle = \\alpha \\langle u,v \\rangle = \\langle u, \\alpha v \\rangle$\n",
    "4. *Definié Positivité*: $\\langle u,u \\rangle \\geq 0 \\forall u \\in V$ et si $\\langle u,u \\rangle = 0$ alors $u=0$.\n",
    "\n",
    "## Définition 2 - Espace Euclidien\n",
    "Un $\\mathbb{R}$-espace vectoriel *de dimension finie* muni d'un produit scalaire s'appelle un **espace euclidien**.\n",
    "\n",
    "## Example 1 \n",
    "Un example de produit scalaire dans $V = \\mathcal{M}_{n \\times n}(\\mathbb{R})$ est: $$ \\langle A,B \\rangle = Trace(A^TB)$$ ou la trace d'un matrice carée est definie comme suit: $$Trace(A) = \\sum\\limits_{i=0}^n a_{ii}$$\n",
    "\n",
    "## Example 2\n",
    "Un example de produit scalaire dans $V = \\mathcal{C}([a;b], \\mathbb{R}) =: \\{f: [a;b] \\rightarrow \\mathbb{R} : f \\ fonction \\ continue\\}$ (avec $[a;b]$ un intervalle de $\\mathbb{R}$) est: $$ \\langle f,g \\rangle = \\int_a^b f(x)g(x) dx$$ où $\\int_a^b f(x) dx$ désigne l'intégrale de Riemann de $f$ dans l'intervalle $[a;b]$."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Exercises et Examples"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "import Librairie.AL_Fct as al\n",
    "import Corrections.corrections as corrections\n",
    "import numpy as np"
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
   "version": "3.7.4"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 4
}