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Thu, Jan 30, 12:06

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\documentclass[a4paper,12pt,twoside]{article}
% pour l'inclusion de figures en eps,pdf,jpg
\usepackage{graphicx}
% quelques symboles mathematiques en plus
\usepackage{amsmath}
% le tout en langue francaise
\usepackage[francais]{babel}
% on peut ecrire directement les caracteres avec l'accent
% a utiliser sur Linux/Windows
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% a utiliser sur le Mac
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% pour l'inclusion de links dans le document
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% module pour les graphiques
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% module pour positionner les images
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% quelques abreviations utiles
\def \be {\begin{equation}}
\def \ee {\end{equation}}
\def \dd {{\rm d}}
\newcommand{\mail}[1]{{\href{mailto:#1}{#1}}}
\newcommand{\ftplink}[1]{{\href{ftp://#1}{#1}}}
%pgfplots setup
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/pgfplots/flexible xticklabels from table/.code n args={3}{%
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\pgfplotstablegetcolumn{#2}\of{\coordinate@table}\to\pgfplots@xticklabels
\let\pgfplots@xticklabel=\pgfplots@user@ticklabel@list@x
},
% layer definition
layers/my layer set/.define layer set={
background,
main,
foreground
}{
% you could state styles here which should be moved to
% corresponding layers, but that is not necessary here.
% That is why wo don't state anything here
},
% activate the newly created layer set
set layers=my layer set
}
\makeatother
%
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% pdflatex SqueletteRapport.pdf % compile et produit un pdf
% ======= Le document commence ici ======
\begin{document}
% Le titre, l'auteur et la date
\title{Physique Numérique I - II - Exercice 5}
\date{\today}
\author{Ancarola Raffaele, Cincotti Armando\\{\small \mail{raffaele.ancarola@epfl.ch}}, {\small \mail{armando.cincotti@epfl.ch}}}
\maketitle
\tableofcontents % Table des matieres
% Quelques options pour les espacements entre lignes, l'identation
% des nouveaux paragraphes, et l'espacement entre paragraphes
\baselineskip=16pt
\parindent=15pt
\parskip=5pt
\section{Introduction} %-----------------------------------------
Le but de ce rapport est celui d'étudier numériquement un problème
physique à conditions aux bords. En effet, lorsque les conditions du système
ne sont pas assez homogènes, il est impossible d'obtenir de solution
analytique explicites du système. Il est pourtant nécéssaire d'étudier
le système numériquement, et en physique sont nombreux les
problèmes de ce type, dont un exemple est donné par le système
étudié dans ce rapport.
\section{Analyse du problème}
On étudie ici un problème de transport de chaleur dans un milieu homogène.
Le flux de chaleur est défini par:
\begin{equation}\label{flux}
\vec{j}=-\kappa\nabla T
\end{equation}
avec $\kappa = cste$, où $T$ désigne une témpérature en Kelvin.
En injectant $\vec{j}$ dans l'équation de continuité $\delta T/ \delta t = -\nabla \cdot \vec{j}$
l'équation de chaleur suivante est détérminée:
\begin{equation}\label{chaleur}
\frac{\delta T}{\delta t} = \kappa \nabla^2 T
\end{equation}
Celle ci est l'équation qui décrit l'évolution de la témpérature dans le temps et dans l'éspace.
\paragraph{Puissance thérmique :}
Lorsque dans le milieu d'étude est présente une source de chaleur constante, la
puissance thérmique $P_{th}$ dégagée par cette source se définie, par la rélation suivante:
\begin{equation}\label{power}
\iint \limits_{\Sigma} \vec{j} \cdot d\vec{\sigma} = P_{th}
\end{equation}
où $\Sigma$ est une surface entourant complètement cette source.
Lorsque deux source de chaleurs sont positionnés dans le milieu, les puissances produites ou
réçues par les deux, sont obtenues par l'équation (\ref{power}) en faisant attention à que les surfaces
entourant les sources ne passent pas par l'autre source.
\paragraph{L'intégrale du flux autour de deux sources} équivaut, dans le cas stationnaire, à la somme des puissances
produites/réçues par les deux source singulièrement. C'est à dire :
\begin{equation}\label{powers}
\iint \limits_{\Sigma_1} \vec{j} \cdot d\vec{\sigma} + \iint \limits_{\Sigma_2} \vec{j} \cdot d\vec{\sigma} = \iint \limits_{\Sigma_3} \vec{j} \cdot d\vec{\sigma}
\end{equation}
où $\Sigma_1$, $\Sigma_2$ et $\Sigma_3$ sont les surfaces entourant respectivement la source
1, 2 et les deux sources et ne se croisant pas dans un domaine connexe.
Par la suite dans le rapport l'équation (\ref{powers}) sera vue sous la forme $P_c + P_f = P_{tot}$.
\paragraph{Demonstration :} La condition de stationnarité du système implique $\frac{\delta T}{\delta t} = 0$, ceci implique
par l'équation (\ref{chaleur}) $-\kappa \nabla^2 T =\nabla \cdot \vec{j} = 0$.
Soit $V = int(\Sigma_3) \setminus (int(\Sigma_1) \cup int(\Sigma_2))$ et $\delta V$ le bord de $V$
alors :
\begin{equation*}
\iint \limits_{\delta V} \vec{j} \cdot d\vec{\sigma} = \iint \limits_{\Sigma_3} \vec{j} \cdot d\vec{\sigma} - \iint \limits_{\Sigma_2} \vec{j} \cdot d\vec{\sigma} - \iint \limits_{\Sigma_1} \vec{j} \cdot d\vec{\sigma}
\end{equation*}
En utilisant le théorème de Gauss et l'information $-\kappa \nabla^2 T =\nabla \cdot \vec{j} = 0$,
on conclu:
\begin{align*}
\iint \limits_{\delta V} \vec{j} \cdot d\vec{\sigma} = \iiint \limits_{V} \nabla \cdot \vec{j} \:dV = 0 \\
\Rightarrow \iint \limits_{\Sigma_1} \vec{j} \cdot d\vec{\sigma} + \iint \limits_{\Sigma_2} \vec{j} \cdot d\vec{\sigma} = \iint \limits_{\Sigma_3} \vec{j} \cdot d\vec{\sigma}
\end{align*}
Donc pour $t\rightarrow +\infty$ la rélation $P_c(t) + P_f(t) = P_{tot}(t)$ est vérifiée.
\subsection{Description du système}
\begin{minipage}{\textwidth}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
Le système physique étudié se décrit comme étant un mileu (bidimensionnel) homogène, conducteur de chaleur,
dans lequel deux sources de chaleurs à témpératures constantes $T_c$ et $T_f$ sont positionnées pour faire
évoluer le système. Le système est décrit géomètriquement en figure (\ref{scheme}), et comme il peut
être observé, le mileu est entouré d'un bord à témpérature constante $T_b$.
Au temps initial $T(x,y,t = 0) = T_b$ $\forall (x,y) \in \Omega$, où $\Omega$ correspond
au mileu moins la place occupée par les sources de chaleur dans le système.
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\includegraphics[width= \textwidth]{schema.png}
\captionof{figure}{Géometrie du système \cite{ref1}.}
\label{scheme}
\end{minipage}
\end{minipage}
\paragraph{Les paramètres du système sont :} $L = 10$\si{\centi\metre}, $T_c = 200^\circ$C, $T_f = -100^\circ$C,
$T_b = 0^\circ$C, $x_a = 2$\si{\centi\metre}, $x_b = 4$\si{\centi\metre}, $x_c = 7.5$\si{\centi\metre}, $x_d = 8.5$\si{\centi\metre},
$y_a = 3$\si{\centi\metre}, $y_b = 8$\si{\centi\metre}, et $\kappa = 10^{-3}$\si{\watt\per\kelvin\per\metre}.
\subsection{Discretisation du problème et méthode de computation}\label{method}
Pour étudier le système numériquement, il est important de discrétiser le problème. Pour ce faire, le milieu est discrétisé
par une grille bidimensionnelle de $(N+1)^2$ points. À chaque point un indice i et j est associé avec $i,j = 0,1, ... , N$.
Une discrétisation témporelle aussi est faite, et un indice d'itération k est définit pour le temps tel que le {\it temps courant} se
défini par $t = t_0 + k\cdot\Delta t$, où $t_0$ est le temps initial (dans notre cas $t_0 = 0$) et $\Delta t$ un pas de temps
défini au début de chaque simulation numérique.
Un pas d'éspace $h = L/N$ se défini aussi, car ces paramètre sont nécéssaires pour
la méthode des différences finies, laquelle est utilisée pour étudier l'évolution de chaleur dans le système.
\paragraph{Equation de chaleur :}
Pour l'étude numérique, le terme de gauche de l'équation (\ref{chaleur}) est approché par une différence finie progressive et celui de droite
par une différence finie centrée. Ceci donne l'équation qui suit:
\begin{equation}\label{chaleurdiscret}
\frac{T_{i,j}^{(k+1)} - T_{i,j}^{(k)}}{\Delta t} = \kappa \frac{T_{i-1,j}^{(k)} +T_{i+1,j}^{(k)}+T_{i,j-1}^{(k)}+T_{i,j+1}^{(k)} - 4 T_{i,j}^{(k)}}{h^2}
\end{equation}
où $T_{i,j}^{k}$ est la témpérature au point d'indices i,j et au temps d'indice k.
Le calcul est défini pour $i,j = 1,2, ... , N-1$.
De cette équation il est possible de déduire une formule explicite pour le calcule de $T_{i,j}^{(k+1)}$:
\begin{equation}\label{Tnew}
T_{i,j}^{(k+1)} = (1 - 4 \frac{\kappa \Delta t}{h^2})T_{i,j}^{(k)} + \frac{\kappa \Delta t}{h^2}(T_{i-1,j}^{(k)} +T_{i+1,j}^{(k)}+T_{i,j-1}^{(k)}+T_{i,j+1}^{(k)})
\end{equation}
\paragraph{Flux calorifique :}
L'équation (\ref{flux}) peut être approximée par une différence finie progréssive sur une dimension d'éspace pour obtenir l'équation qui suit:
\begin{equation}\label{fluxapp}
\vec{j_{a,b}} = \frac{T_b - T_a}{h}
\end{equation}
où $T_a$ et $T_b$ sont respectivement les température d'un point a et b se trouvant sur la ligne sur laquelle se pose $\vec{j_{a,b}}$.
Cette équation est utile pour le calcul du flux $\vec{j}(x,y,t)$ comme il est démandé et décrit dans la consigne au point 5.1 (c) \cite{ref1}.
En effet, pour étudier le flux de chaleur $\vec{j}$, pour chaque carré {\it unitaire}
(d'aire $h^2$) de la grille un flux calorifique
est calculé par la somme des flux orthogonaux $j_x$ et $j_y$, lesquelles sont intérpolés
par les flux mésurés aux bords de chaque carré (pour une
meilleure description voir l'indication au point 5.1 (c) de la consigne\cite{ref1}).
Ainsi faisant, $N^2$ vecteurs flux $\vec{j_{a,b}}$ sont calculés, et seront associés
donc à des point d'une nouvelle grille $N\times N$ pouvant être
contenue (grafiquement) dans la prémière grille $N+1\times N+1$.
Il est intéressant en fin de noter que les indices d'un point dans cette nouvelle grille,
dont les points representent le centre des carrés unitaires,
correspondent tous aux indices des points dans le coin en bas à gauche du carré
respectif. Cette information est utile pour des plus faciles implementations
de programmation pour ce qui concerne la recherche des indices.
\section{Simulations Numériques}
\paragraph{Méthode d'intégration}
Le schéma numérique utilisé pour la simulation
est une version particulière de celui de Jacobi vu en cours \cite{ref3}.
Il se résume en deux étapes:
pour chaque point de la grille $N+1\times N+1$ la témpérature à l'étape $k+1$ est calculée
par l'équation (\ref{Tnew}),
et en suite on il es pris le plus grand différentiel temporel de témpérature
, donné par le terme à gauche de l'équation (\ref{chaleurdiscret}), sur tous les points
de la grille et si il est inférieur à un facteur de précision $\epsilon$ assez petit,
la simulation s'arrète et les dernières valeurs de la grille sont sauvegardées.
Le fait que le plus grand différentiel temporel de témpérature est très pétit signifie qu'on approche
la situation stationnaire dans laquelle le système n'évolue plus.
À chaque étape l'indice $k$ d'itération de temps est incrémenté pour que le temps puisse
être connu, et la simulation s'arrête automatiquement si $k$ dépasse une valeur limite, dans
le cas où la solution diverge ou si le système veut être étudié à un certain temps limite.
\subsection{Prémière simulation et étude de convergence}
Pour créer la grille de travail, un $N = 40$ est choisi, et la simulation numérique est lancée avec un
pas de temps $\Delta t$ assez petit, pour
calculer les témpératures dans le système au moment où $\frac{\delta T}{\delta t} \rightarrow 0 $.
\begin{figure}[h]
\hspace{-0.05\textwidth}
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
\includegraphics[width= 1.1\textwidth, viewport= 260 24 770 480, clip]{outs/temperature/square.eps}
\caption{Configuarion normale}
\label{T1}
\end{subfigure}
\hspace{0.05\textwidth}
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
\includegraphics[width= 1.1\textwidth, viewport= 260 24 770 480, clip]{outs/temperature/square_inv.eps}
\caption{Configuration test}
\label{T2}
\end{subfigure}
\caption{Mappe des témpératures à 0.1s .}
\label{MT}
\end{figure}
Le résultat de la simulation est illustré en Figure \ref{T1} où par une légénde couleur
il est possible d'observer comment se distribuent les témpératures dans le système.
En effet les témpératures, en jaune très élévés en bleu très basses, se distribuent assez homogènement
et graduellement autour des sources de chaleur.
Les témpératures de plus ne dépassent pas les limites
du système $T_f$ et $T_c$. Cela montre que le résultat est physiquement cohérent et qu'il ne diverge pas.
Il est intéressant en fin d'observer que l'action de la source chaude est majeure que celle de la source froide:
en effet la région de températures supérieures au $0^{\circ}$C est plus ample de celle des témpératures inférieures à cette valeur.
Cet effet doit être causé par le fait que la source chaude occupe une surface majeur par rapport à la source
froide, et de plus, par le fait que $T_c$ représente un écart plus grand du $0^{\circ}$C par rapport à $T_f$ ce qui
se traduit dans un gradient de témpérature majeur et donc dans un flux de chaleur plus élévé (voir équation \ref{flux}).
En effet en Figure \ref{T1} peut être observé que la suface de témpératures en dessous du 0 est majeure par rapport à
celle observée en Figure \ref{T2} et vice-versa pour les témpératures en dessous, car ici $T_f = - 250^{\circ}$C donc
l'écart au 0 est augmenté par rapport à sa valeur originelle, de mêmte pour $T_c = 100^{\circ}$C.
\paragraph{Etude de convergence :}
Pour étudier la convergence du schéma numérique, un point de la grille qui ne tombe pas sur une des sources de chaleur
est choisi, une valeur limite de sa témperature $T_{lim}$ à $t=0.1$\si{\second} est mésuré pour un pas de temps très petit.
En suite, en variant le pas de temps $\Delta t$ d'une valeur grande à une petite, il peut être observé si le schéma converge vers $T_{lim}$
en ce point.
\begin{figure}[h]
\hspace{-1.8cm}
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
\resizebox{1.1\textwidth}{!}{
\input{graphs/conv.tex}
}
\caption{Erreur sur la témpérature du point choisi en fonction de $\Delta t$}
\label{convtest}
\end{subfigure}
\hspace{0.5cm}
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
\resizebox{1.4\textwidth}{!}{
\input{graphs/conv40.tex}
}
\caption{Point de rupture dans le cas \textcolor{blue}{N = 40} comparé avec le cas \textcolor{red}{N = 80}}
\label{breakdown_dt}
\end{subfigure}
\caption{Tests de convergence en $\Delta t$.}
\end{figure}
En Figure \ref{convtest} est possible observer que le schéma converge dans le point choisi vers $T_{lim}$.
L'ordre de convergence, donné par la pente décrite par le fit linéaire, est 1.
Par la suite il est intéressant de téster la limite de convergence du système, or le pas de temps $\Delta t$ est augmenté
jusqu'à observer une divergence sur le graphe montrant l'erreur sur $T_{lim}$ du point en fonction de $\Delta t$.
En effet sur le graphe \ref{breakdown_dt} il est possible d'observer un saut dans l'erreur pour des $\Delta t$
supérieurs à une certaine limite.
Pour $N = 40$ le pas de temps limite est $\Delta t = 1.64\cdot10^{-3}$\si{\second}
et pour $N = 80$ il est donné par $\Delta t = 3.90\cdot10^{-4}$\si{\second} qui est plus petit d'un ordre 10,
ce qui montre que une discretisation
en plus de points a besoin de plus de pas de temps pour donner le même résultat qu'une disctretisation en moins
de points, mais par contre la résolution du résultat est inévitablement meilleure.
Donc au moment du choix du nombre de points
il faut faire un compromis entre résolution d'image et temps de calcul.
\subsection{Flux de chaleur j}\label{etflux}
Pour $N = 40$ et un $\Delta t$ fixe on cherche ici à évaluer $\vec{j}(x,y,t)$ à $t = 0.1$\si{\second}.
Le flux en un certain point de la grille $N\times N$ est approximé par différences finies comme décrit
dans le dérnier paragraphe de la section \ref{method} et le calcule est fait directement sur les valeurs
de témpérature au temps $t = 0.1$\si{\second}.
\begin{figure}[h]
\hspace{-0.05\textwidth}
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
\includegraphics[width= 1.1\textwidth, viewport= 260 24 770 480, clip]{outs/stream/square.eps}
\caption{Configuarion normale}
\label{j1}
\end{subfigure}
\hspace{0.05\textwidth}
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
\includegraphics[width= 1.1\textwidth, viewport= 260 24 770 480, clip]{outs/stream/square_inv.eps}
\caption{Configuration test}
\label{j2}
\end{subfigure}
\caption{Mappe du flux calorifique à 0.1s .}
\end{figure}
Le graphe en Figure \ref{j1} illustre le résultat de la simulation avec directions et intensité du champ vectoriel
$\vec{j}(x,y,0.1)$. L'intensité est representée par la couleur sur ce graphe et les source sont bleu car
pour elle il n'existe aucun gradient de témpérature $\nabla T$ et donc $\vec{j} = 0$ (voir équation (\ref{flux})).
Plusieures observations peuvent être faites sur ce graphe:
La prémière est que le champs se dirige vers l'extérieur dans le cas de la source chaude et vers l'intérieur
pour la source froide, ceci est du en effet au fait que par définition du flux calorifique
ceci se dirige d'une région chaude à une région froide, et les deux source sont maintenus à une témpérature constante
de façons qu'elles soyent en dessous ou en dessus de la témpérature initiale du système.
Comme déjà observé et argumenté dans la section précedente, pour la configuration normale (voir graphe \ref{j1})
il peut être observé que l'intensité du flux est plus grande
en proximitée de la source chaude que de la source froide, à cause d'un gradient de témpérature plus important.
De plus ils peuvent être observée des points de très grande intensité aux coins des rectangles representant les sources de chaleur.
Ces points correspondes à des singularités mathématiques et le phénomène en physique est appelé {\it effet de pointe}, car pour des
champs vectoriels de ce type en toute pointe se manifeste une singularité mathématique se traduisante à une grande intensité de champ.
Pour finir, la dernière observation concerne la forme du champ $\vec{j}$, qui est normale à la surface des source sauf en proximité
des coins où le champ change de direction et d'intensité en passant par l'effet de pointe pour retourner en suite à être normale à la surface
de la source.
\subsection{Puissance}
Pour le calcul numérique des puissances il est nécessaire de {\it discrétiser} l'équation (\ref{power}).
Pour ce faire, les surfaces d'intégrations sont approximées à des rectangles passant par les point
de la grille $N\times N$ pour lesquels les flux de chaleur $\vec{j_{i,j}}$ ont étés calculés précédemment.
Ainsi faisant, le flux peut se calculer par itération sur les points au bord du réctangle comme $\Sigma \vec{j} \cdot d\vec{\sigma}$,
où pour tous les points sauf les coins $d\vec{\sigma} =\pm h \vec{e_{\alpha}}$
avec $\alpha = x,y$ et signe positf pour les bords du haut et de droite, négatif pour les deux autres.
\begin{minipage}{\textwidth}
\vspace{0.3cm}
\hspace{-0.05\textwidth}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
Pour les points aux coins du réctangle $\vec{j} \cdot d\vec{\sigma}$ est approximé par
$(\pm j_x \pm j_y )\cdot h/2$, où $j_{\alpha}$ est la composante
en direction $\alpha$ de $\vec{j}$ et les signes dépendent du coin.
Numériquement, ici on s'occupe de vérifier l'évolution dans le temps des puissances produites
ou récues par les deux sources individuellement ($P_c(t)$ et $P_f(t)$) ou ensemble ($P_{tot}(t)$).
Il s'agit ici aussi de vérifier que pour $t \rightarrow + \infty$ $P_c(t) + P_f(t) = P_{tot}(t)$ comme
décrit par l'équation (\ref{powers}).
Sur le graphe en Figure \ref{evp} peut être observée l'évolution des différentes puissances.
\end{minipage}
\hspace{0.03\textwidth}
\begin{minipage}{0.7\textwidth}
\resizebox{\textwidth}{!}{
\input{graphs/power.tex}
}
\captionof{figure}{Évolution des puissances thérmique en fonction du temps.}
\label{evp}
\end{minipage}
\vspace{0.3cm}
\end{minipage}
Du graphe l'on observe prémièrement le signe des puissances: $P_c$ est produite avec donc signe positif,
$P_f$ est réçue avec signe négatif, ce qui est cohérent physiquement.
La deuxième observation à faire pour ces deux puissances est que globalement le module des deux puissances diminue,
ceci parce que au début le gradient de témpérature est plus
grand qu'à la fin car il n'y a pas encore eu dispersion de chaleur.
Pour finir il peut être observé que $P_{tot}$ et $P_c + P_f$ ne correspondent pas tout affait, mais les deux quantités
semblent approcher une même asymptote, et la différence entre les deux pourra être approximée à 0 pour $t \rightarrow + \infty$
comme l'on voulait vérifier.
\subsection{Flux de chaleur en fonction de la distance entre les corps}
En choisissant le point centrale entre les deux source à témpérature $T_c$ et $T_f$, il est
intéréssant d'étudier comment varie l'intensité du flux calorifique en fonction de la distance
$d = \abs*{x_d - x_c}$ (voir Figure \ref{scheme})
entre les deux sources, sans pourtant modifier la géométrie de ces dernières.
\begin{minipage}{\textwidth}
\vspace{0.3cm}
\hspace{-0.05\textwidth}
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
Sur le graphe en Figure \ref{fd} il est possible d'observer cette évolution. L'intensité
de flux augmente considérablement à l'approchement des deux sources.
Sur le graphe il peut être observé que la courbe est hyperbolique
et que idéalement elle devrait approcher une asymptote verticale au point $d = 0$.
L'augmentation d'intensité est justifiée par le fait que plus les sources s'approchent, plus
dans le point intérmédiaire le gradient de témpérature augmente, car le changement
de temperature devient de moins en moins graduel et il se fait dans un espace très étroit.
\end{minipage}
\hspace{0.03\textwidth}
\begin{minipage}{0.65\textwidth}
\resizebox{\textwidth}{!}{
\input{graphs/approaching.tex}
}
\captionof{figure}{Intensité de flux au point centrale de la surface entre les deux source en fonction de leur distance.}
\label{fd}
\end{minipage}
\vspace{0.3cm}
\end{minipage}
\subsection{Source de chaleur circulaire}
Il est intéressant d'étudier quelle forme prend le champ de flux de chaleur $\vec{j}$ lorsque une source de forme autre que réctangulaire
est introduite dans le système. Ici les sources prennent une forme circulaire dans le milieu conducteur de chaleur.
\begin{figure}[h]
\hspace{-0.05\textwidth}
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
\includegraphics[width= 1.1\textwidth, viewport= 260 24 770 480, clip]{outs/temperature/circle.eps}
\caption{Mappe des témpératures}
\label{Tc1}
\end{subfigure}
\hspace{0.03\textwidth}
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
\includegraphics[width= 1.1\textwidth, viewport= 250 24 770 480, clip]{outs/stream/circle.eps}
\caption{Mappe du champ de flux $\vec{j}$}
\label{jc1}
\end{subfigure}
\caption{Etude sur sources circulaires (petit rayon).}
\end{figure}
En figure \ref{Tc1} peut être observé que la surface de témpératures supérieures (respectivement
inférieures) à $0^{\circ}$C a une forme circulaire
car dépéndand de la forme de la source, comme arrivait en Figure \ref{MT} où les sources étaient réctangulaire, et les régions
chaudes ou froides aprrochaient une forme réctangulaire.
En Figure \ref{jc1} est possible de remarquer que le champ est radiale comme il était possible de le déduire intuitivement.
En effet la forme du champ de flux calorifique dépénd fortement de la forme de la source, comme il a été observé en section
\ref{etflux}.
\begin{figure}[h]
\hspace{-0.05\textwidth}
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
\includegraphics[width= \textwidth, viewport= 260 24 770 480, clip]{outs/temperature/circle_bigger.eps}
\caption{Mappe des témpératures}
\label{Tc2}
\end{subfigure}
\hspace{0.03\textwidth}
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
\includegraphics[width= \textwidth, viewport= 250 24 770 480, clip]{outs/stream/circle_bigger.eps}
\caption{Mappe du champ de flux $\vec{j}$}
\label{jc2}
\end{subfigure}
\caption{Etude sur sources circulaires (grand rayon).}
\end{figure}
\paragraph{Discrétisation du cercle et singularités.}
Dans le garphe \ref{jc1} peuvent être observés des effet de pointe disparates sur toute la surface du cercle.
Ces effet de pointe ne sont pas justifiés physiquement mais dérivent de la discrétisation du cercle. En effet
la surface du cercle est seulement approchée par plusieures {\it marches d'éscalier} dans la grille numérique,
et l'effet de pointe se manifeste donc aux coins de ces marches. Ceci influence inévitablement le résultat numérique
mais une bonne approximation du résultat peut être fait pourtant en s'éloignant de la surface de la source.
En comparant les graphes \ref{jc1} et \ref{jc2} il est possible d'oserver qu'en diminuant le rayon du cercle le nombre
d'effets de pointes diminu, ceci parce que la surface d'un cercle plus grand est mieux approximée pour un même nombre de
points discrétisés du système.
\subsection{Dispersion des sources}\label{disp}
Pour cette dernière simulation sont gardées des sources circulaires
à témpératures $T_f$ et $T_c$ . Par contre la source chaude n'est plus gardée constante mais
elle évolue en témpérature comme le reste du milieu. Donc la source de
chaleur chaude ne correspond plus à une conditions limite, mais elle fait partie des conditions
initiales du système numérique.
Les graphes en Figure \ref{dispersione} illustrent l'évolution d'un tel système.
\begin{minipage}{\textwidth}
\vspace{0.3cm}
\hspace{-0.05\textwidth}
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\subsubsection{Evolution des témpératures.}
La situation au prémier instant pour $t = 0.03$\si{\second} (voir graphes \ref{eT1} et \ref{ej1}) correspond
à une prémière dispersion de chaleur de forme circulaire pour les deux source. Il faut pourtant
rémarquer que la source chaude commence immédiatement à perdre sa témpérature initiale : en confrontant
avec le graphe \ref{} décrivant la situation initiale, il est évident que le
le rayon du cercle à $T_c = 200^{\circ}$C diminue dans le temps.
Il est intéressant aussi d'observer que le plus grand gradient de témpérature
provient de la dispersion de chaleur de la source chaude (voir graphe \ref{ej1}).
\end{minipage}
\hspace{0.02\textwidth}
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\includegraphics[width= \textwidth, viewport= 260 24 770 480, clip]{outs/variable/temperature_t=0.eps}
\captionof{figure}{Dispérsion des sources: témperatures au temps $t = 0$}
\label{fd}
\end{minipage}
\vspace{0.3cm}
\end{minipage}
\begin{figure}[p]
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
\includegraphics[width= \textwidth, viewport= 260 24 770 480, clip]{outs/variable/temperature_t=003.eps}
\caption{Témpératures au temps $t = 0.03$ \si{\second}}
\label{eT1}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
\includegraphics[width= \textwidth, viewport= 260 24 770 480, clip]{outs/variable/stream_t=003.eps}
\caption{Flux au temps $t = 0.03$ \si{\second}}
\label{ej1}
\end{subfigure}
\vspace{0.3cm}
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
\includegraphics[width= \textwidth, viewport= 260 24 770 480, clip]{outs/variable/temperature_t=01.eps}
\caption{Témpératures au temps $t = 0.1$ \si{\second}}
\label{eT2}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
\includegraphics[width= \textwidth, viewport= 260 24 770 480, clip]{outs/variable/stream_t=01.eps}
\caption{Flux au temps $t = 0.1$ \si{\second}}
\label{ej2}
\end{subfigure}
\vspace{0.3cm}
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
\includegraphics[width= \textwidth, viewport= 260 24 770 480, clip]{outs/variable/temperature_t=inf.eps}
\caption{Témpératures au temps $t \rightarrow \infty$}
\label{eT3}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
\includegraphics[width= \textwidth, viewport= 260 24 770 480, clip]{outs/variable/stream_t=inf.eps}
\caption{Flux au temps $t \rightarrow \infty$}
\label{ej3}
\end{subfigure}
\caption{Evolution témporelle du système à une source maintenue constante et l'autre dispersive.}
\label{dispersione}
\end{figure}
Au temp $t = 0.1$\si{\second}, il peut être observé que les hautes témpératures ont baissés (voir graphe \ref{eT2})
en partie à cause de l'effet de la source froide laquelle génère un flux de chaleur en sa direction (voir graphe \ref{ej2}).
Pour finir, dans la limite de $t \rightarrow \infty$, dans la situation stationnaire, il est possible d'observer sur le
graphe \ref{eT3} qu'il n y a plus de témpérature en dessus du 0, et que la témpérature se baisse graduellement en approchant
la source froide. Pour finir il est intéressant d'observer sur le graphe \ref{ej3}, que le flux provenant du bord persiste en proximité de la
source froide. En effet, le bord du système en restant à témpérature constante $T_b = 0^\circ$C, se comporte comme étant une source de
chaleur comme les deux autres. Sur toutes les Mappes de témpérature pouvant être observées dans le rapport, il est en effet possible
de remarquer que la témpérature {\it de fond} est toujours à $0^\circ$C, à cause de l'effet du bord.
\section{Conclusions}
Il a été montré que le schéma numérique utilisé converge et donne des résultats physiquement cohérents.
Il a été donc utilisé pour étudier un problème à conditions aux bords sans solutions analytique explicite, et
on a montré donc l'utilité d'un tel schéma par une application concrète.
Le schéma a permi de déduire de différentes caractéristiques physiques de la dispersion de chaleur
dans un milieu homogène, comme les effets de pointe, ou même d'étuder un sistème avec conditions initiales
particulièrement complexe comme dans le cas de l'étude en section \ref{disp}.
Il a même permis de vérifier un résultat analytique décrit par l'équation (\ref{powers}).
On peut conclure donc en disant qu'un tel schéma est un puissant outil pour l'étude de problèmes
à conditions limites.
\section{Annexes}
\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{ref1}
ECOLE POLYTECNIQUE FEDERALE DE LAUSANNE, Semestre de printemps 2019, Physique Numérique I - II - Exercice 5.
\bibitem{ref3}
L. VILLARD, Cours de Physique Numérique pour physiciens, Faculté des Sciences de Base, Section de Physique, Ecole Polytecnique Fédérale de Lausanne.
\bibitem{ref2}
L. VILLARD, PHYSIQUE NUMERIQUE I - II ,Swiss Plasma Center, Faculté des Sciences de Base, Section de Physique, Ecole Polytecnique Fédérale de Lausanne.
\end{thebibliography}
\end{document} %%%% THE END %%%%

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